品數學史韻味，促思維之花綻放

數學史不僅是數學知識產生、發展的歷史，更是數學思想與文化的傳承脈絡。格子乘法，這一古老而獨特的計算方法，承載著先輩們的智慧結晶。然而，現行教材中對其算理的隱藏與歷史背景的缺失，使得教學難以觸及數學文化的深層次價值。本文基于HPM（數學史與數學教育）視角，以人教版四年級上冊“格子乘法”為例，探討如何通過融入數學史促進學生對乘法算理的深度理解。

一、說文解字，埋下伏筆

師：同學們，這節課我們要學習的課題叫“鋪地錦”。（板書：鋪地錦）

師：請大家開動腦筋，想象一下，“鋪地錦”這個詞語可能蘊含著怎樣的意義呢？

生1：鋪地毯。

生2：鋪瓷磚。

師：學完這節課答案自然揭曉。

設計意圖：開門見山，以我國明朝數學家程大位的“鋪地錦”導入新課，激發學生好奇心的同時，為后面的古今對話埋下伏筆，做好鋪墊。

二、提出問題，嘗試探究

1.嘗試計算，解決問題

出示問題：“士兵12隊，每隊14人，共有幾人？”理解題目要求：要知道總共有多少人，其實就是求12個14相加是多少。列出橫式： 14×12= 請用自己喜歡的方法計算 14×12 的積。展示算法：同學板演計算過程。

豎式計算： 口算：14×12 14×2=28 28 14×10^-140 28+140=168

討論：豎式計算和口算有哪些相同點和不同點？我們可以通過連線的方式，來直觀地展現它們之間的聯系和區別。

相同點：都是先算14乘2，再算14乘10，最后把兩個積相加；計算過程中都用到“二四得八、一二得二、一四得四、一一得一”這四句乘法口訣。

不同點：計算過程的書寫形式不同。

設疑小結，引出問題。

看來條條大路通羅馬。剛才我們用不同的方法計算出 14×12 的正確結果，那除了口算和豎式計算外還有別的方法嗎？

生：格子乘法。

師：格子乘法是怎么計算的呢？是如何演變來的呢？

師：接下來我們就一起去探索吧！

設計意圖：激活已有的知識經驗，找準知識的生長點，為后面的格子乘法的重構做好鋪墊。

三、跨越時空，解密格子乘法

同學們還記得遠古時代的計數方法嗎？

生：石子計數，結繩計數，刻痕計數。

師：是的，這些都是古代最常用的計數方法，是人類智慧的創造，在人類文明的長河中熠熠生輝。盡管現代計數方法已經高度發達，但這些古老的計數方法依然在我們的日常生活中發揮著重要作用，比如幼兒園和一年級的小朋友們，他們常常用小豆子、玉米粒、小石子等實物學習計數。古希臘的大數學家畢達哥拉斯和他的弟子們就喜歡用小石子來研究數學問題，創造了累累碩果。今天我們就一起穿越到古代，借助小石子來探尋乘法的計算方法。

（一）重構第一步：借助石子圖，抽象格子圖

1.想一想，擺一擺。

師：如果用擺小石子的方法表示乘法算式 14×12 該怎樣擺呢？

生：一排擺14個，擺12排。（如圖1）

2.圈一圈，算一算。

師：請同學們把剛才計算 14×12 過程在石子圖上圈出來。

交流探究成果。

生1：先圈出10個14，也就是14乘10，再圈出2個14，也就是14乘2。

生2：10個14還可以圈成10個10和10個4；2個 14可以圈成2個10和2個4。（如圖2）

3.抽象出格子圖。

師：如果去掉小石子，只剩格子圖，你還知道每個格子里裝的是幾個小石子嗎？（如圖3）

（二）重構第二步：引入位置制，簡化格子圖

師：把圖4中每個數中的 0 去掉行不行？你是怎么想的？

四人小組討論后匯報交流：可以，但要把每一格的數位寫上去。

師：每一個格子代表哪個數位？

學生指著圖交流：左上角的格子表示百位；右上角和左下角的格子都表示十位；右下角的格子表示個位。（如圖4）

師：圖中每個格子大小不一，看起來不那么整齊，可否統一換成大小一樣的正方形格子呢？為什么？

生：可以，因為有了數位，不管格子大還是小，它表示的數不變。

師：你能從格子圖中讀出得數嗎？

生：能，168。（如圖5）

（三）重構第三步：創造進位格，完善格子圖嘗試完成練習，引發認知沖突。（如圖6、圖7）

16×12=

師：請試著利用格子圖計算出上面算式的得數。

師：在計算過程中你遇到什么問題？

生：在計算 6×2=12 ， 4×6=24 ， 3×4=12 時出現了進位數，但進位數沒有地方寫。

同桌交流：進位數沒有地方寫，怎么辦？

生1：我把進位數小小地寫在前一位。

生2：我用手指記著進位數。

生3：我把小正方形分成上下兩部分，進位數寫在上面。

生4：我把小正方形分成左右兩部分，進位數寫在左面。

在學生多重表達的基礎上，一步一步從自然、直觀的“不標準”的格子乘法演變成為“標準”的簡潔的格子乘法。（圖8、圖9）

（四）重構第四步：總結歸納格子乘法的計算方法

1.畫格子：兩位數乘兩位數就畫兩行兩列，連接每個格子右上到左下的對角線。

2.寫乘數：順時針排列乘數，即把乘數對應寫在格子的上方和右側。

3.計算：把上方的乘數和右側的乘數兩兩相乘并把積寫在對應的位置，進位就寫在左上角，若沒有進位就在左上角寫0，最后把每個斜排中的數相加寫在對應的位置，滿十向前一位進1。

4.讀積：逆時針讀數為積，最高位不能為 0

四、中外對話，見方法之美

這種算法相傳在1150年印度數學家婆什迦羅的《麗羅娃提》一書中就有記錄，12世紀以后廣泛流傳于阿拉伯地區，后來通過阿拉伯人傳入歐洲。15世紀中葉，意大利數學家帕喬利在《算術、幾何及比例性質摘要》一書中介紹了這種算法并把它叫作格子乘法。無獨有偶，我國明朝數學家程大位在《算法統宗》一書中也記錄了這種算法并把它稱為“鋪地錦”。

師：同學們知道為什么程大位要將它取名為“鋪地錦”嗎？

生：因為計算過程寫出來后的樣子就像是一塊漂亮的地錦。

師：你現在知道數學中的鋪地錦是什么了嗎？

生：原來它是一種計算乘法的方法。（如圖10）

設計意圖：附加式介紹格子乘法的簡單歷史資料，讓學生體會知識之諧與方法之美。

五、古今對比，促知識之諧

四人小組討論：豎式乘法和格子乘法的相同點和不同點，交流并匯報。

相同點：

生1：它們都能簡潔、工整、清晰地記錄乘法計算的過程和結果。

生2：它們的計算過程都是先分后合。

生3：它們都是相同數位上的數才可以直接相加。

不同點：

生1：豎式乘法不需要畫格子，但數位要對齊，一般要從低位算起。

生2：格子乘法要畫格子，可以從任意一位算起。

設計意圖：沒有比較就沒有思維。對古今兩種算法進行對比，體會二者的不同點和相同點，建立不同計算方法之間的內在聯系，一方面促進了學生對這些方法的進一步理解和掌握，另一方面也能夠逐步提高學生的數學思維能力。

六、追問總結，生德育之效

通過這節課的學習，你有什么收獲？你還有什么疑問？

生1：我知道了原來鋪地錦就是格子乘法。生2：今天我們用擺石子的方法發現了格子乘法。生3：我想知道到底是誰最先發現格子乘法？

師：隨著時間的流逝，很多數學方法的創造過程淹沒在了歷史的長河之中。格子乘法是誰發明的，發明的過程是怎樣的，具體在什么時間發明的都已經無從知曉了，非常遺憾。不過遺憾也是一種美，因為這樣的遺憾，給了我們想象的空間。今天，我們借助石子圖，重新構建了格子乘法的發明過程，體驗了一次像數學家一樣探索數學知識的美妙旅程。

數學在其發展中走過漫長而曲折的道路，它不斷地修正自己的進程、避開彎路、繞過死胡同，再重新明確前進的方向。弗賴登塔爾認為：“學習數學的唯一正確方法是實行再創造，也就是由學生本人把要學的東西自己去發現和創造出來，教師的任務是引導和幫助學生去進行這種再創造的工作，而不是把現成的知識灌輸給學生。”本課的設計核心在于，讓學生通過親身體驗，感悟古人創造數學知識的過程，理解通過個人創造獲得的知識，方能真正掌握并靈活應用。學習猶如游泳，唯有在水中方能學會游泳，同理，數學學習也需在實踐中進行，即在創造數學的過程中學習數學。