用動態圓法巧解帶電粒子在磁場中運動的臨界問題

帶電粒子在磁場中的運動是高中物理的重要內容之一，其中臨界問題更是高考的熱點和難點.解決這類問題需要綜合運用物理知識和數學方法，具有較高的思維難度.動態圓法作為一種有效的解題方法，能夠幫助學生直觀地分析和理解帶電粒子在磁場中的運動情況，從而快速準確地找到問題的答案.

1用旋轉圓求解臨界問題

例1如圖1所示，在直角坐標系 xOy 第一象限內 x 軸上方存在磁感應強度大小為 B 、方向垂直紙面向里的勻強磁場，在 軸上 s 處有一粒子源，它可向右側紙面內各個方向射出速率相等的質量均為m 、電荷量均為 q 的同種帶電粒子，所有粒子射出磁場后離 s 最遠的位置是 x 軸上的 P 點.已知粒子帶負電， ，粒子重力及粒子間的相互作用均不計，則（ ）

（A）粒子的速度大小為"

（B）從 O 點射出磁場的粒子在磁場中的運動時間為πmqB

（C）從 x 軸上射出磁場的粒子在磁場中運動的

最長時間與最短時間之比為 g：2 （D）沿平行 x 軸正方向射入的粒子離開磁場時

的位置到 o 點的距離為 ·

解析由題意可知，帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，粒子射出磁場時離 s 最遠的位置是 x 軸上的 P 點，可以畫出其軌跡1，如圖2所示，可知 SP 為直徑，由幾何關系則有 ，得R=d ，由洛侖茲力提供向心力可得 ，得 ，（A）錯誤；

（

粒子的運動周期 得 ，從 O 點射出磁場的粒子如軌跡3，由幾何知識可得軌跡2所對應的圓心角為 60^° ，在磁場中的運動時間 ，故（B）錯誤；

從 x 軸上射出磁場的粒子中，軌跡與 x 軸相切的粒子（軌跡3）運動的時間最長，圓心角為 270^° ，得 ，運動時間最短的粒子為從原點飛出磁場的粒子（軌跡2），此時對應的圓心角為 60^° ，得到 t₃= ，所以 t₂：t₃=9：2 ，故（C）正確；

沿平行 x 軸正方向射入的粒子，圓心在原點處，運動軌跡為四分之一圓，離開磁場時的位置到 o 點的距離為 d ，故（D）錯誤.

點評當帶電粒子的速度大小不變，而方向在一定范圍內變化時，可以以粒子的入射點為圓心，以速度大小對應的半徑為半徑，畫出一系列動圓.通過觀察這些動圓與磁場邊界的位置關系，找出粒子能夠射出磁場的臨界情況.

2用放縮圓求解臨界問題

例2半徑為 R 的半圓形區域內分布著垂直紙面向里的勻強磁場（含邊界），磁感應強度大小為 B ，P是直徑上一點，且PO=. 如圖3所示，質量為ψ_m 、電荷量為 -q（qgt;0） ）的帶電粒子從 P 點垂直射入磁場，已知粒子的速度大小可調、方向始終與直徑邊界成 θ=30^° 角，若從直徑邊界射出的粒子在磁場中的運動時間為 t₁ ，則從圓弧邊界射出的粒子在磁場中的運動時間為 t₂ .則（ ）

解析 從直徑邊界射出的粒子在磁場中的運動軌跡如圖4，由 ，又 ，聯立兩式，得 ，根據幾何知識，軌跡對應的圓心角為5 π，則粒子的運動時間為t1 5πB，故（A）錯誤，（B）正確；

粒子恰好不從圓弧邊界射出的粒子運動軌跡如圖5所示，由幾何關系可知 ，在磁場中的運動時間為 則從圓弧邊界射出的粒子在磁場中的運動時間為 故（C）正確，（D）錯誤.

點評當帶電粒子的速度方向不變，而大小在一定范圍內變化時，可以以磁場中的某一點為圓心，以不同速度大小對應的半徑畫出一系列動圓.通過觀察這些動圓與磁場邊界的位置關系，找出粒子能夠到達的最遠位置或最長時間等臨界情況.

3結語

動態圓法是一種巧妙解決帶電粒子在磁場中運動臨界問題的方法.通過分析動圓的變化規律，可以直觀地找到粒子在磁場中的臨界情況，從而快速準確地求解問題.在實際應用中，學生需要根據問題的具體條件，靈活運用動態圓法，結合物理公式和幾何關系進行分析和計算.同時，學生還需要加強對物理概念和規律的理解，提高分析問題和解決問題的能力，為進一步學習物理知識打下堅實的基礎.

參考文獻：

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[3」單艷輝.帶電粒子在磁場中運動的“動態圓”問題J].高中數理化，2011（22）：36-37.