基于多保真度代理模型的混凝土泵車臂架銷軸輕量化設計

關鍵詞：混凝土泵車；空心銷軸；輕量化設計；多保真度代理模型

中圖分類號：TH122

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2025.04.019 開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：

Lightweight Design of Concrete Pump Truck Boom Pins Based on Multi-fidelity Surrogate Model

LI Peng1，2，3，4LI Mengcong1，4XIAO Libo2，3WANG Yitang1，4*SONG Xueguan1，4YANG Ling5 1.School of Mechanical Engineering，Dalian University of Technology，Dalian，Liaoning，116024 2.National Key Laboratory of Hoisting Machinery Key Technology，Changsha，410013 3.Zoomlion Heavy Industry Science amp; Technology Co.，Ltd.，Changsha，410013

4.State Key Laboratory of High-performance Precision Manufacturing，Dalian，Liaoning，116024 5.Hunan College of Information，Changsha，410200

Abstract： As a key connecting and supporting component in a concrete pump truck boom system， how to reduce the mass of the pin shafts was a noteworthy issue in boom design. A parameterized finite element model of the holow dumbbell pin shafts was constructed based on control parameters. Then，a more accurate feature mapping based MFS（FM-MFS） model was established through the mutual disturbance of high and low fidelity models and the reasonable allocation of high and low fidelity data.Genetic algorithm was used for optimization to obtain the optimal design scheme for the hollow dumbbell pins based on this surrogate model，achieving a weight reduction of 36% . Through theoretical，simulation，and experimental verification，it is shown that the hollow dumbbell pin shafts constructed based on the optimal parameters of the surrogate model may achieve lightweight and material consumption savings while still ensuring the physical and mechanical properties， which provides data support and reference for further applications in the future.

Key words： concrete pump truck; hollow pin; lightweight design; multi-fidelity surrogate（MFS） model

0 引言

混凝土泵車作為基礎設施建設的重要工程機械，用于將混凝土輸送至施工現場，在施工時能夠提高工程施工效率，降低人力和時間成本。隨著市場客戶的現實需求以及國家法規的日益嚴苛，超長臂架以及重量合規已成為混凝土泵車發展的重要方向。超長米段泵車在巨大的載荷作用下，要想實現重量合規是非常困難的，因此輕量化設計需求急迫且難度較大。

臂架系統是混凝土泵車的關鍵組成部分，位于轉臺上方，擔負著輸送混凝土至指定位置的任務。臂架系統由臂架、連桿、銷軸、油缸、混凝土輸送管等零部件組成[1-2]。其中，銷軸用于連接臂架的各節臂，從而形成連續的結構，起到連接和傳遞力、彎矩、扭矩和運動的關鍵作用。常規混凝土泵車通常采用實心銷軸。在極限米段泵車臂架系統中，實心銷軸的總質量可達1t以上。因此，在滿足銷軸強度、剛度、可靠性和使用壽命等要求下，實現其輕量化設計是十分有意義的。

采用空心銷軸是實現結構輕量化的一種方法。空心銷軸的設計允許將材料在軸心位置向邊緣移動，在相同的負荷條件下，通過合理的壁厚設計，可以顯著節約材料，進而減小零部件質量，從而達到減小質量的目標。目前，雖已有學者對空心銷軸展開設計[3-5]，但研究較少且大多采用傳統結構優化設計方法。雖然傳統方法可以滿足產品的功能和性能要求，但設計結構未必是最合理和最輕量化的選項，并且傳統設計方法存在著設計周期長、改進不明確等問題[6-7]。代理模型技術在工程設計與優化中扮演著重要的角色，它能顯著縮短優化時間，并使復雜過程的優化成為可能[8-9]。代理模型大致可分為單保真度代理模型和多保真度代理模型兩種，前者由單一高保真度樣本信息構成，對維度高、非線性程度高的復雜問題計算較為耗時；后者可融合多種保真度的信息，能在保證精度的同時節省計算資源與時間成本。

近年來，多保真度代理模型引起了國內外學者的廣泛關注，并被應用到結構優化設計中。LIU等[10]利用高斯過程和徑向基函數提出了一種基于多保真度代理模型的優化框架，并將其用到了天線設計中。TAO等[11]提出了一種適用于馬赫數不確定條件下翼型和機翼的魯棒優化的多保真度代理優化框架。CHAKRABORTY等[12]針對魯棒設計優化問題，結合進化計算與多保真度代理模型，提出了一種優化框架并驗證了方法的性能。

本文利用多保真度代理模型技術對涉及多控制參數以及非線性接觸的泵車臂架銷軸進行輕量化設計。經理論計算、仿真和試驗三重驗證，在保有工件物理力學性能的同時，成功地將銷軸質量降低了 36% ，證明了多保真度代理模型相對于傳統代理模型的優越性能，及其與中小型機械部件結構優化的適配性。

1銷軸結構參數化有限元模型

空心啞鈴型銷軸有諸多變量，如圖1所示，僅憑重復嘗試難以確定全局最優值。為獲得足夠擬合代理模型的數據集，需要建立幾何基體的參數化有限元模型。

空心啞鈴型銷軸各尺寸間的關系表述如下：

式中： L_T 為銷軸軸向總長； L₄ 為銷軸的直徑，因裝配需要，在此不予變動； L₁ 為銷軸與軸套接觸部位長度； L₂ 為啞鈴段的長度； L₃ 為啞鈴段的直徑； D 為內部空心的直徑； R 為倒角尺寸； ρ 為比例因子。

不難看出，如果將 L_2，L3 和 ρ 作為控制參數，則足夠引導參數模型的整體變化，因此選取這三個參數作為后續優化設計的設計變量。

銷軸和軸套的三維模型如圖2所示，據此建立銷軸及其配合軸套的參數化有限元模型。銷軸材料為 42CrMo ，屈服強度為 650MPa ，抗壓強度為 900MPa ，密度為 7850kg/m³ ，彈性模量為200MPa ，泊松比為0.3。對銷軸進行自由網格劃分，對軸套進行掃掠網格劃分，共生成兩種網格尺度的參數化有限元模型。這里，網格尺寸為 6mm 的模型稱為高保真模型，如圖3所示；網格尺寸為10mm 的模型稱為低保真模型，如圖4所示。

在銷軸與軸套間建立接觸對，設定摩擦因數為0.2。在軸套與轉臺連接部位進行固定約束，在軸套與油缸柄頭連接部位施加大小為 1425kN 的力載荷（兩側），對銷軸與轉臺配合端施加遠端位移約束（只約束銷軸軸向位移，其他自由）。考慮銷軸的安裝方式，最終的邊界條件與載荷施加如圖5所示。

對于控制參數 L_2，L3 和 ρ ，在給定的區間內任取一合理值，在同樣尺寸參數下對高、低保真模型進行非線性接觸分析，對比觀察仿真結果的合理性。高、低保真模型的位移及應力分布情況分別如圖6和圖7所示。

經測算，對于隨機給定設計參數的模型，運行一次高保真仿真計算平均需要2640s左右，使用相同計算機運行一次低保真仿真計算平均需要220s左右。另外，從圖6和圖7中可以看出，高保真模型的位移結果約為 0.98mm ，而低保真模型的位移結果為 1.18mm 。高保真模型的中間啞鈴段Mises應力為 373.75MPa ，而低保真模型的中間啞鈴段Mises應力為 442.87MPa 。這說明，網格尺寸會影響非線性接觸計算，從而影響結構傳力特性。選取網格尺寸 6～10mm 進行網格無關性驗證，得到網格尺寸對仿真結果的影響如圖8所示，隨著網格的細化，仿真結果逐漸收斂和可信。綜上，有必要研究多保真代理模型，相較于完全采用高保真數據的單一保真度代理模型，多保真度代理模型可以在滿足一定計算精度的前提下，使得多參數和非線性計算成本更為低廉。

2 基于特征映射的多保真度代理模型

代理模型的方法多樣，從建模數據可靠性角度可分為單一保真度代理模型和多保真度代理模型，其中單一保真度代理模型包括響應面模型、克里金（KRG）模型、徑向基函數（RBF）模型、支持向量機回歸（SVR）模型等，多保真度代理模型包括MFS-KRG、MFS-RBF、基于特征映射的多保真度代理模型（feature mapping based multi-fidelitysurrogate，FM-MFS）等。多保真度代理模型由于可以用大量成本較低的低保真度數據混合高保真度數據進行建模，因此在工程實際應用中往往更具優勢。主要體現在：在相同的數據成本下，多保真度代理模型精度更高；或者在給定的目標精度下，多保真度代理模型成本更低。本文采用FM-MFS對空心啞鈴銷軸進行優化設計，建立過程如圖9所示。

首先通過低保真訓練集構建低保真模型 ，采用徑向基函數模型，具體計算公式如下：

式中： x 為測試樣本； x_li 為第 i 個低保真訓練樣本； m 為低保真樣本數： ?λ_i 為第 i 個基函數的權重系數； 為歐氏距離； φ（?） 表示基函數，選用二次函數。

式（2）中權重系數通過插值條件求解，第 i 個訓練樣本的低保真響應為

式中： 為 x_li 對應的低保真響應。

將式（2）代入式（4），權重系數可通過下式求解：

式中： 為相關矩陣， 為低保真響應構成的向量。

根據低保真模型得到的預測值，將高保真訓練點 通過多項式特征進行映射，得到過渡預測：

i=1，2，…，n

式中： 為第 j 個單項式基； a_j 為對應的系數；

為高保真點 x_hi 通過低保真模型得到的預測值。

式（6）可以改寫為矩陣形式：

其中， G 為 構成的矩陣[13]。由于高保真樣本數量有限，因此式（6）中的項數有限，并且允許使用常數或低階多項式來近似過渡預測[14]

下一步需要找到一個最優向量 ，使過渡預測與高保真響應之間的相關性最大化。使用皮爾遜相關系數計算兩者間的相關性，計算公式如下：

式中： 為第 i 個高保真響應； 為高保真響應的均值； 為過渡預測的均值， 為包含矩陣 每一列均值的行向量。

以 為變量，以式（8）為目標函數，使過渡預測與高保真響應的相關性最大化，即

為便于求解，將 和 ）的均值進行規范化，即 μ_H=0 和 。規范化后的均值不會影響過渡預測與高保真響應間的相關性。此時，式（9）可改寫為

s.t.

將式（10）改寫為矩陣形式：

過渡預測 采用由比例因子 ρ 和差異函數R（xH，xH）ω 組成的FM-MFS框架[15]進行校正，其中 為基于高保真樣本構建的相關矩陣， 為包含未知系數的向量。高保真響應的計算公式為

式中： 為優化得到最優解。

為了得到未知參數 ρ 和 ω ，將過渡預測 ）和關系矩陣 擴展為增廣

矩陣 ） R（x_H，x_H）] ，式（15）可變為

F_H=κβ

其中， 為比例因子和系數向量組成的增廣向量， T]T。增廣矩陣 κ 為行滿秩，因為該矩陣的秩為 n （高保真樣本數），因此根據矩陣理論和文獻[15-16]，存在唯一的最小范數解 .

然后可以得到比例因子 ρ 和系數向量 ，其中 的第一個元素是 ρ ，其余元素是 的分量。

最終的多保真預測模型可表示為[17]

式中： 為點 x_t 處的預測； R（x_t，x_H） 為 x_t 和 構成的相關矩陣。

3 銷軸參數化優化及校核

3.1 多保真度代理模型優化

以質量最小為優化目標，以結構參數為設計變量，以結構位移和應力等為約束條件，對空心啞鈴銷軸結構進行輕量化優化設計。

空心啞鈴銷軸共有6個結構參數 （D，R，L₁ ，L₂，L₃，L₄） ，銷軸外徑 L₄ 因裝配原因不予變動，因此設計變量為 （D，R，L₁，L₂，L₃） ，記為

其中，三個控制變量的設計范圍為

可推得各設計變量范圍為

高、低保真度樣本的成本分配設計如下：模型的參數變動會直接影響網格數量和求解時長，所以取隨機給定參數模型的計算時長平均值，測得高、低保真樣本的成本比值（計算時長 ）δ=12 。原單保真模型的高保真樣本點個數為 5n_dv，n_dv 為設計變量個數，共5個，它與計算成本的乘積即為初始計算成本。多保真模型的高、低保真樣本共享該成本，高保真樣本成本設占總量 80% ，因此兩類樣本成本比值 θ=4 。容易推知下述關系：

式中： n_l，nh 為低保真度樣本和高保真樣本的數量。

根據高低保真樣本的計算時長比例以及式（22），可以計算并確保多保真代理模型和單保真代理模型的計算成本一致。

以提高安全系數并減小質量為目標，利用結構參數與應力等之間的代理模型，對銷軸進行目標優化，尋找權衡的最佳決策方案。優化問題如下：

式中： 為隨設計變量變化的銷軸質量； U_max0 為銷軸最大允許變形量； σ_max0 為銷軸許用彎曲應力； τ_max0 為銷軸許用剪切應力； ：U_max∝σ_max?τ_max 分別為銷軸優化期間的最大變形、彎曲應力和剪切應力； L_bΩ_b 分別為設計變量上下區間。

首先使用拉丁超立方采樣對高低保真樣本進行試驗設計，獲取用于訓練和測試的數據；然后構建設計參數和質量、最大位移、最大應力、最大剪應力之間的FM-MFS代理模型。為了證實FM-MFS代理模型在面對多參數非線性復雜工程問題時的卓越性能，使用單保真度RBF、KRG、SVR代理模型進行對比，訓練集和測試集與多保真度模型相同。采用均方根誤差 （RMSE）_eRMS 和相對平均絕對誤差 （RMAE）_eRMA 對比和評價各代理模型的精度，計算公式為

式中： n 為測試點的數量； 分別為測試點的預測響應和真實響應； 為真實響應的平均值。

誤差計算結果如圖10所示。RMSE反映代理模型的全局精度，RMAE則側重于評估模型局部精度，精度隨數值的下降而上升。由圖10可知，對于銷軸結構的位移變形和von-Mises應力預測模型，在耗費相同成本（算時）的情況下，多保真度代理模型精度顯著優于RBF和SVR模型，對尤其適用于小樣本數據集的Kriging模型也有一定的精度優勢，對剪切應力的預測精度則與單保真代理模型相當。綜合來看，多保真代理模型彰顯了其面對高度非線性和多參數工程問題時的卓越性能，其精度已經完全可以支撐后續的優化工作。

采用高精度FM-MFS代理模型，結合NSGA-Ⅱ遺傳優化算法，設置種群數量100，迭代次數500，交叉概率0.8，搜索優化目標的最優方向，經多次迭代后，最終結果在物理性能許可的范圍內，實現了泵車臂架的銷軸輕量化設計。為便于加工，優化后的尺寸參數取整；暫不考慮制造和安裝誤差，因為加工制造誤差范圍通常在 0.1mm 以內，安裝誤差引起的間隙通常在 0.6mm 以內，都不會明顯影響結構應力狀態。優化后的銷軸結構尺寸參數如表1所示。

3.2 優化結果理論計算校核

如前所述，銷軸材料為 42CrMo ，屈服強度為650MPa ，抗壓強度為 900MPa ，施加的載荷合力大小為 2.85MN 。受力方式為空心軸通軸雙剪切面，如圖11所示。

銷軸的許用剪切應力為

[τ]=α_aσ_b/γ_M

式中： α_a 為安全系數，本文 α_a=0.55;σ_b 為材料的極限強

度 ，σ_b=900MPa;γ_M 為材料安全系數，疲勞強度下 γ_M= 1.1，靜態強度下 γ_M=1 。

銷軸的許用彎曲應力為

[σ]=σ_s/1.25γ_M

式中： σ_s 為材料的屈服強度，值為 650MPa 。

圖11中AB截面位置的最大剪力為

V_AB=γ_FF/2

式中： F 為鉸點處所有銷軸受到某一部件作用力的合力，取值 2.85MN;γ_F 為載荷不均勻系數，取值1.2。

圖11中AB截面位置的最大彎矩為

式中： t₁ 為外軸套長度，取值 70mm;t₂ 為內軸套長度，取值 80mm;S₁₂ 為軸套間間隙，取值 1mm;c 為距離系數，可通過彎矩試驗進行標定。

截面屬性系數為

式中： R_w 為銷軸外徑的半徑，值為 L₄/2;r 為空心內徑的半徑，值為 D/2 。

銷軸截面平均剪切應力為

式中： A 為截面面積， A=π（R_w²-r²） 。

銷軸截面最大彎曲應力為

σ=M_AB/W

式中： W 截面抗彎系數，按照圓環計算。

當空心銷軸同時滿足 抗剪強度條件： τ/[τ]?1 抗彎強度條件 ：σ/[σ]?1

彎剪組合強度條件： （τ/[τ]）²+（σ/[σ]）²?1 時，認為該銷軸的設計是安全的。優化后的空心銷軸抗剪強度、抗彎強度以及彎剪組合強度計算值如表2所示。根據理論計算空心銷軸的最大彎曲應力為 371.27MPa ，小于許用彎曲應力；最大剪切應力為 257.83MPa ，小于許用剪切應力。計算結果表明，該空心啞鈴銷軸符合理論強度校核要求。

3.3優化結果仿真計算校核

進一步通過仿真計算進行優化結果校核。優化后空心啞鈴銷軸的仿真計算結果如圖12所示。

仿真結果與理論計算結果偏差較小。銷軸受壓時中間段最大Mises應力為 361.21MPa ，小于許用彎曲應力；兩端軸套處的最大剪切應力為294.91MPa ，小于許用剪切應力。仿真結果同樣表明，空心啞鈴銷軸在實現輕量化的同時，依然能夠保證合格的物理力學性能。

4空心啞鈴銷軸疲勞測試驗證

4.1 試驗設備及加載過程

試驗加載設備為 10³ t多功能結構試驗系統，如圖13所示。加載系統最大垂向加載壓力10MN、最大垂向加載拉力 3MN ，標準試驗空間1.4m×4.1m×3.0m 。該試驗系統可采用荷載控制與位移控制兩種加載控制模式，可進行靜態程控加載和動態疲勞加載。測試樣件為原實心銷軸和優化后的空心啞鈴銷軸，如圖14所示，原實心銷軸的質量為 69.48kg ，優化后的空心啞鈴銷軸質量為 44.44kg ，減重 36% 。

疲勞試驗采用荷載控制模式進行加載，每輪加載次數1000，加載策略為 50kN2850kN ，直到疲勞加載次數達11250。采用位移控制模式進行卸載，卸載速度為 2mm/min ，卸載完成后拆下銷軸觀察表面磨損情況和疲勞開裂情況。

4.2 磨損情況和疲勞壽命

疲勞加載11250次循環后，優化后的空心啞鈴銷軸并未發現疲勞開裂破壞現象，也未發生明顯的塑性變形和宏觀變形，但銷軸兩端存在輕微磨損現象，見圖15。試驗結果表明，空心啞鈴銷軸通過了11250次疲勞試驗加載，銷軸疲勞性能合格。

將空心啞鈴銷軸與原實心銷軸的試驗結果進行對比發現：優化銷軸的表面損傷程度與原銷軸的表面損傷程度基本相同，但是兩類試件的損傷面有所不同，優化銷軸損傷面趨于三角形，而原實心銷軸損傷面趨于矩形，如圖16所示，產生該現象的原因在于加載過程中優化銷軸的彎曲變形較原銷軸的彎曲變形略大。優化銷軸和原銷軸在加載11250次后均未出現疲勞開裂破壞，接觸面磨損程度基本相同，因此空心啞鈴優化銷軸同樣具備足夠的工作性能和物理力學性能。

5結論

1）根據銷軸幾何尺寸關系，構建了基于控制參數的參數化有限元模型。控制參數在給定的區間內可取隨機值，進行非線性接觸分析，位移和應力趨勢分布合理，能夠支持后續的代理模型建立與優化分析。

2）基于多保真度代理模型理論，在相同的算時內，通過高、低保真度模型的相互擾動和高、低保真數據的合理算時分配，獲得了相較于傳統RBF、Kriging等代理模型精度更高的FM-MFS代理模型。以該代理模型為基礎，采用遺傳算法進行優化，最終獲得了空心啞鈴銷軸的最佳設計方案，實現了銷軸的輕量化，并通過了理論和仿真強度校核。

3）搭建了銷軸疲勞性能測試臺，經歷11250次疲勞試驗后，空心啞鈴優化銷軸與原實心銷軸相比，表面磨損程度基本相同，且均未出現疲勞開裂破壞現象，說明基于代理模型最優參數所構建的空心啞鈴銷軸在實現輕量化和節省材料的同時，其物理力學性能依然能夠得到保證，為后續進一步應用提供了數據支撐和參考。

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（編輯袁興玲）

作者簡介：李鵬，男，1989年生，博士研究生。研究方向為結構振動、結構疲勞、結構輕量化。E-mail;55131668@qq.com。王一橐*（通信作者），女，1993年生，博士研究生。研究方向為工業大數據挖掘及數據驅動的預測技術。E-mail：yitangwang @ mail.dlut.edu.cn。

本文引用格式：

李鵬，李夢聰，肖立波，等.基于多保真度代理模型的混凝土泵車臂架銷軸輕量化設計[J].中國機械工程，2025，36（4）：821-829.LIPeng，LIMengcong，XIAOLibo，etal.LightweightDesign ofConcrete Pump Truck BoomPins Based on Multi-fidelity Surro-gateModel[J].China Mechanical Engineering，2025，36（4）：821-829.