基于“四會”的高三數學復習教學實踐研究

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A[文章編號] 1674-6058（2025）17-0019-04

一、提出問題

在當前的高三數學復習課中，教師通常采取“知識點歸納、典型例題剖析、針對性訓練”的三環節教學方法.此方法明顯是教師在掌控課堂，學生僅作為聽眾被動接受知識.事實上，這種教條化的復習課，本質上就是簡單重復的練習.加之，部分教師在設計題目時往往以量制勝，容易忽視試題的難易梯度，如此一來，學生在復習時就難以把握知識的深淺，導致復習課高耗低效.

要實現高品質的復習教學，需要教師做到心中有學生，并以新課標為導向，采用適配學情的教學方法.教師只有做到“了解學生已有什么、缺什么、應該怎么做”，才能有的放矢地實施教學.復習課的重點不僅在于知識與方法的再現，還要注重知識的梳理和能力的培養，尤其是關鍵能力和良好思維品質的培養1.因此，本文以“學為中心”作為教學立足點，引導學生從“四會\"出發，在復習課中運用知識的同時形成新的理解，促成學生自主學習、深度學習，把發展數學學科核心素養的根本任務落實到課堂教學中.

二、高三數學復習教學中的“四會”策略

（一）會審視情境，激活思維

美國著名教育家杜威指出，思維的產生主要依賴于直接經驗的情境，思維的目的和結果也是由直接經驗的情境所決定的.科學的復習課必然是先創設問題情境，引領學生在情境中審問、思考，然后再由學生提出問題，開始探究、研析.學生通過分析，能夠洞悉情境背后的知識本質，并將其與已有的認知經驗建立有效鏈接，促成新認知圖式的建構，增強學以致用和活學活用的能力，豐富自身的認知體驗，拓展激活思維的途徑.這一過程有助于培養學生分析問題和解決問題的能力，由此將復習課的定位由“解題\"轉向“解決問題”.

[例1]（2025年八省聯考數學試卷第14題）已知曲線 ，兩條直線 l₁，l₂ 均過坐標原點o，l₁ 和 c 交于 M，N 兩點， l₂ 和 c 交于 P，Q 兩點.若ΔOPM 的面積為 ，則 Δ MNQ的面積為

命題者以學生不熟悉的曲線作為背景，考查學生綜合分析問題的能力.若學生不假思索地直接去求這幾個交點的坐標，運算量必然會大幅增加.因此，教師應以“多想少算”的理念為指引，引導學生審視試題情境.例如，從函數與方程的角度審視曲線，由 ΔOPM 的面積為 求 Δ MNQ的面積，必然需要分析圖形的特征.本題并未給出直線 l₁，l₂ 對應的方程，這表明題目的解答與直線的方程無關.而過原點的直線必然關于原點對稱，同時函數 f（x）= 是奇函數，其圖象也關于原點對稱，由此可推導出 顯然，對本題的解答，只需要關注曲線 C 關于原點對稱這一特征，至于曲線的圖象形態，并不會影響解題的思路.

上述是一道以“對稱”為題眼的典型題目，考查學生是否具備極簡思維.在復習教學中，為豐富學生的基本活動經驗，教師可從多個維度激活學生的思維，并設置具有類似背景的題目.例如，設雙曲線 的左、右焦點為 過原點的直線與 T 交于 A，B 兩點 ，求 T 的離心率.

鑒于此，在高三數學復習教學中，遇到上述類似題目時，教師可從“幾何\"和“代數”兩個視角綜合審視研究對象的數學特征，將問題的數量關系轉化為圖形的性質和特征來研究，這有助于引導學生調整思維發展的整體方向，喚醒學生的問題意識，進而疏通知識線索脈絡.

（二）會變換思路，發展思維

會變換視角思考問題是一種能力，也是一種智力價值.在解題時，準確把握題目中的條件和結論之間的有機聯系，挖掘其中的隱蔽關系，并巧妙地變換思路.如此，便能夠從看似毫無破解頭緒的“新面孔”問題中捕捉到有用的信息.從知識層面來看，變換問題解決思路，不僅可以重溫所學知識，還可以拓展知識寬度，強化知識關聯，構建知識網絡，加深對基礎知識和基本技能的理解.從思想方法層面來看，變換問題解決思路，聯系所掌握的技能并作出合理判斷，遷移過往問題解決的經驗，可激發學生從多角度、多層面思考問題，促進思維的變通、流暢和靈活，推動學生思維發展，幫助學生解題悟道、啟智增慧[2].

[例2]已知 x，y 均為非負實數，且滿足 2x+y=1 求 的最小值.

求二元函數的最值問題，是復習課中能夠有效鍛煉學生思維的一類典型題目.在課堂教學中，教師可引導學生減元”例如本題中，將所求代數式的最小值轉化為求函數 的最小值，設 f（x）=t ，進一步轉化為 ?_t-x=? ，兩邊同時平方得 4x²-2（2-t）x+ 1-t²=0 ，由判別式是非負的，求出 Φ_t 的范圍.或者根據 的代數特征，去掉根號，取 x=rcosθ 那么由 2x+y=1 得2rcosθ+rsinθ=1 ，所求的代數式便化為 rcosθ+r= ，整理得 φ_φ）=1 ，于是 ，解得 上述兩種思路均從代數視角出發，關鍵在于對代數形式進行合理變換，將其轉化為學生熟悉的方程或者不等式.將函數、方程與不等式進行有機聯系，豐富了問題解決的途徑.

若從幾何的角度研究例2，將 2x+y=1 看作一條直線，則 可以理解為該直線上一點P（x₀，y₀） 的橫坐標 x₀ 與點 P 到原點 （0，0） 的距離之和.那么，求距離的最值問題就轉換為典型的“將軍飲馬”問題.如圖1所示，作出點 o 關于直線 2x+y=1 對稱的點Q ，并計算出點 Q 的坐標為 ，其中橫坐標 即為所求最小值.

圖1

復習教學中，教師在引導學生變換問題解決思路時，無形中實現了從“授魚\"到“授漁”再到“學漁”的轉變.這里的“學漁”意指學生學會思考，善于從不同的角度分析問題，把原本固定的題目變成“長流活水”復習教學中不一定要提倡一題多解，可以在有限的分析思路內豐富思維的層次性2.通過變換問題解決思路，學生可獲得高水平的思維訓練，實現從低階思維向高階思維的進階.

（三）會說理辨析，梳理思維

會辨析的重要價值在于遇到新問題時不盲目下結論，能透過現象看清本質，思維中會有意識地追根溯源，然后通過說理，讓自身自然的思考狀態轉變為善于思考、嚴謹思考的狀態，讓整個分析與綜合過程包含質疑、推理、論證和辨析等環節，使理性思考成為一種習慣.實際上，在說理辨析的過程中，學生能無形中將碎片化的知識進行系統化梳理，完善存在缺漏的知識網絡，促使相關知識得到應用.由此可見，復習課中的說理辨析關鍵在于“辨”與“析”，二者能及時糾正學生對知識點的理解偏差.教師可將其作為重要的教學契機，通過梳理、辨析，探尋學生的思維盲點，疏通學生的思維堵點，發展學生良好的思維品質[].

例如，在不等式性質的專題復習時，常見如\"已知 -1 ，求出 λ，μ 即可.

由此可見，教師引導學生說理辨析，能夠從相似的問題情境中有效地提煉問題本質，引發學生的思維需求，讓學生從解題的方法和規律等方面進行反思和總結，從而促進學生思維回溯，使其感受知識的生成過程，促使思維進階.

（四）會遷移創新，升華思維

遷移是學習活動的重要規律.復習課的重要價值之一就是將已掌握的知識、技能以及在知識建構中蘊含的思維方法應用到新的問題情境中，這一過程不僅對學生探尋新知和掌握新技能產生影響，還能讓學生創造性地解決問題.遷移創新的內容是多元化的，既可以是具體的概念、方法和規律，也可以是思維策略和方式.換言之，遷移創新的目的不僅在于解決眼前的問題，更在于鞏固和發展學生的應用意識，讓學生綜合運用已有的認知經驗，將知識重新排列、組合并建立起新的聯系，在經歷被喚醒、提取、整合等心理過程中升華思維，進而達成“活化\"知識應用的目的[3].

例如，在復習解三角形中的范圍問題時，常見如“已知 ΔABC 的三個內角 A，B，C 所對的邊分別為a，b，c ，若 b=2，B=60^° ，求 a+c 的取值范圍\"這類題目.教師可以引導學生從“形\"和\"數\"兩個視角進行關聯，促進知識結構化.以正弦定理為突破口，得到 ，點 B 的運動軌跡是 ΔABC 外接圓的一部分;從余弦定理出發，得到cosB=α2+c2-b2，即 a²+c²-4=ac ，從而得出 a，c 的關系.

在上述例題中，若將求 a+c 的取值范圍視為求二元函數的最值問題，則學生需回顧解決二元函數范圍問題的基本方法.第一種思路是聯系基本不等式，由 a²+c²-4=ac ，得 （a+c）²=4+3ac? ，解得 a+c?4. 第二種思路是“減元”，由a+c=2R（sinA+sinC） 進一步計算可得 至此，雖然能完成題目的解答，但是在發展學生的思維能力方面明顯欠缺.教師繼續提問：“根據所求的 a+ ∣c∣ 還能聯想到哪些幾何量？能否從幾何的角度對問題進行變式？\"教師可以先提供一種思路，如由 a+ ∣c∣ ，聯想到周長 a+b+c ，再聯想到面積 ，即出現了 ac. 教師再順勢提問：“若取點 D 為 AC 的中點，從向量的角度出發，你能有什么收獲？\"引導學生得出：由中線 BD ，聯想到將 作為一組基底表示 ，即 ，平方后得 c²+ac ，結合 a²+c²-4=ac ，消元后，可轉化為求a²+c² 或 ac 的范圍問題.再進一步，教師也可豐富其他求解問題的視角，比如求 或 的取值范圍等.

誠然，在復習教學中，若能給學生提供一個遷移創新的平臺，學生定會回饋令人驚喜的學習效果.教師要始終圍繞“關鍵能力提升\"這一目標，促進學生對知識的內化.引導學生對所學的知識進行回憶、整理與重構，能使學生的\"四基、四能\"在復習課中獲得不同程度的提升.

三、教學啟示

陶行知先生曾說：“教而不做，不是教；學而不做，不是學.”因此，在高三數學復習課中，教師應將“教\"“學\"“做”相結合，通過典例呈現、點撥引領、誘導思考、總結反思等方式給學生提供審視情境、變換思路、說理辨析及遷移創新的機會，以促使學生深度參與課堂教學活動，并在“學有所思、學有所問”的學習體驗中厘清解決問題的思維脈絡.如此一來，有助于學生對新獲取的知識和經驗進行系統整理，使其對知識結構形成全新的認識，并培養其對研究問題所涉及的知識內容進行深層次加工的意識與能力，進而發展思維能力，這才是高三數學復習課理應達到的深度.通過凝練“四會”的復習教學實踐路徑，筆者獲得如下教學啟示.

（一）以“三個理解”為根基設計教學

通過教學實現“知識本位”向“素養本位”的轉變，是新課程改革的重要關注點之一.因此，教師的教學設計思路尤為關鍵，在理解數學學科本質的同時，必須兼顧理解學生和理解教學.從這三個理解維度展開深入思考，能更精準地設置突出重點和突破難點的核心素養目標.對復習課而言，既要講究復習的合理性、針對性，又要注重復習的發展性、實效性.尤其是對于抽象知識的復習，要有適度取舍的理念.比如，僅快速地羅列和重復新授課時的教學內容，難以提高學生的學習興趣，因為這種方式無法有效激發學生的內驅力.基于“三個理解”來設計教學，應將教材作為備課起點，合理選取典例，避免片面追求“新、奇、難”，著重夯實學生的基礎知識和強化學生的基本技能.通過復習教學，讓學生在梳理知識的過程中進行知識網絡構建，在重視解題技巧的同時更加關注思維進階，并深化對本源性知識的深層次理解.例如，在“基本不等式”的教學中，教師需要在理解“基本不等式\"的本質、理解“基本不等式”的應用以及理解學生當前掌握“基本不等式”的思維層次的基礎上開展系列探究和變式教學，從而厚植“基本不等式\"模型素養，發展學生函數思想，促進他們深度學習.

（二）以問題為中心統領復習教學

“問題”是復習教學中串聯并鞏固知識的交織點.貫穿在復習課中的“問題”需要承載知識回顧、激發思維、檢查診斷的功能，同時又是增進師生之間的對話交流，啟發學生思維，鼓勵學生主動參與，實現預期教學目標的重要手段.由于不同層次的學生對學習內容的理解不同，對應的核心素養目標定位也不同.因此，教師要以問題為中心統領復習教學，逐步培養學生的問題意識，讓學生學有所思，學有所悟.通過教師提出的問題，學生可厘清知識的來龍去脈，積累基本的活動經驗，并對學習內容進行深度加工，從而形成對所學知識的全新認識，加強對同一研究對象有不同表征視角的能力培養.例如，對于“隱藏圓的軌跡”這一問題，可以基于如下三種思路表征來設置問題： ① 已知 A（0，1），B（4，1） 直線 3x-4y+a=0 上存在點 c ，滿足 求實數 α_a 的取值范圍； ② 已知 A（1，1），B（3，1） ，直線3x-4y+a=0 上存在點 C ，滿足 AC²+BC²=10 ，求實數 Φ_a 的取值范圍； ③ 已知 A（3，1），B（9，1） ，直線 3x- 4y+a=0 上存在點 c ，滿足 BC=3AC ，求實數 Ψ_a 的取值范圍.將“圓\"可能出現的基本形式通過上述系列問題來呈現，能使學生充分體會到轉化與化歸思想，將知識進行有機串聯，進而提升數學學科核心素養.

（三）以思維為核心促進能力發展

復習教學旨在促進學生認知的深化與思維方式的優化.學生認知思維的優化有利于完善知識結構、打破思維定式、統整思維策略和思想方法；有利于在延伸拓展中對比提煉相似問題的共同本質，并能在教師的提示或自主感悟過程中展開審辨，如思考“如何解決這個問題”“這個問題為什么這么解”“這樣的問題還能怎么解”等，從而深化對知識的理解，優化問題解決的方法.

例如，在“直線與圓的位置關系”的復習中，教師可探照學生的思維發展線路，引導學生概括出如圖2所示的思維導圖.

圖2“直線與圓的位置關系\"思維導圖

基于學生的思維發展，以思維導圖的形式提煉關鍵內容信息，可以使原本模糊的概念變得清晰，使原本碎片化的內容變得系統化、完整化.這不僅可以不斷促進學生的理解和鞏固，為學生的學習鋪設清晰的路徑，還可以對標新課標，落實“四基”，培養和發展學生的“四能”.

[參考文獻］

[1」羅建宇.從幾個問題談高三數學復習有效性[J].數學通報，2020，59（12）：41-44.

[2」陳麗萍.讓數學復習課“活”起來[J].中小學教學研究，2015（2）：55-58.

[3]毋曉迪，陳輝坤，鞠騰基.凝練習題教學路徑發展過程分析能力[J].中學數學雜志，2023（11）：11-16.

（責任編輯 羅艷）