橋梁時變可靠性的概率密度演化分析方法

關鍵詞：概率密度演化理論；時變可靠性；在役橋梁；Dirac序列解 中圖分類號：O211.9；O213.2；U441.2文獻標志碼：A DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.202306037

Probability density evolution analysismethod for bridge time-dependentreliability

ZHOU Heng1，FAN Xueping1，2，LIU Yuefei1，22 （1.SchoolofCivilEngineeringandMchanics，LanzhouUniversityLanzhou730oo，China;2.KeyLaboratoryofechanicson DisasterandEnvironmentinWesternChina，heMinistryofEducation，Lanzhou University，Lanzhou73Ooo，China）

Abstract：Existingbridgesundergotime-varyingloadefectsandresistancedegradationduringservice.Thecomplexloadsanddi versefailuremodesmaketheexistingbridgesfacegreaterrisks inservice.Therefore，itisurgenttomaketime-dependentreliability assessmentfortheservicebridges.Theclassicaltime-varyingreliabilityanalysismethodismorecomplexanddificultasthenumberofrandomvariablesincreases.Inthispaper，probablitydensityevolution theoryis introducedtosolvetheaboveproblem， which is more advantageous forsolvingthereliabilityofcomplexstructures withmultiplerandomvariables.Thedynamicreliability oftheexistingbridgeinserviceabilityimitstateandultimatelimitstateisanalyzedbyconsideringthebridgeresistancedegadation andloadeffectincrease，aswellasthetimevaryingfactorssuchasshrinkageandcrepefectofconcretebridges.Theaccuracy andcomputationaleficiencyforthismethodarecomparedwiththeMonteCarlomethod，andtheeffectivenessoftheproposed method is verified.

Keywords：probabilitydensityevolutionmethod;time-dependentreliability;bridges inservice;Diracsequencesolution

服役橋梁動態可靠性已成為橋梁工程領域和結構健康監測領域亟需解決的關鍵問題和研究熱點之一，可以為橋梁維修決策以及預防性維修決策提供理論基礎。在隨機變量概率分布已知的情況下，結構的動態可靠性可以通過直接概率積分或者數值模擬方法求得，目前傳統的可靠性計算方法包括：泊松過程方法[1]、一階可靠性方法（FORM）[2]、二階可靠性方法（SORM）[3以及重要性抽樣蒙特卡羅方法（ISMCM）[4等。泊松過程方法較為簡單，但只適用于特殊情況。對于時變系統而言，FORM、SORM和ISMCM計算復雜，因為它們都是基于最容易失效點展開分析，而最不利的點通常隨時間而變化。經典意義上的結構時變可靠性主要研究成果包括跨越過程理論和擴散過程理論。其中，基于跨越過程理論的方法最早來自RICE對電子系統可靠性的研究[5]。在此基礎上引人Poisson假定，可以獲得指數形式的結構可靠度解答[6]，但是Poisson假定忽略了隨機過程不同時點的相關性，按此假定分析結果往往具有較大誤差。20世紀70年代初，VAN-MARCKE引入兩態Markov過程假定，建立了結構動力可靠性的基本分析公式[7-8]，這一方法在工程中得到了較為廣泛的應用。采用跨越過程理論分析結構動力可靠度，需要計算期望穿越率，這一計算原則上需要結構響應位移與速度的聯合概率密度函數，而獲取一般非線性系統的響應及其導數的聯合概率密度函數通常具有極大的難度。因此，必須引人Gaussian聯合分布假定[9-10]。事實上，動力可靠度問題本質上是無窮個時點失效事件的串聯問題，僅僅采用兩個時點的二維聯合分布信息，在本質上不可能獲得精確的結果。

值得注意的是，LI等[11-3]基于物理隨機系統的基本思想，較為系統地發展了隨機系統分析的概率密度演化理論（probabilitydensity evolution method，PDEM），通過概率守恒原理的隨機事件描述，建立了隨機系統的廣義概率密度演化方程，發展了基于概率密度演化理論的結構整體可靠度分析方法，并在大型復雜結構體系可靠度分析中得到應用。PDEM最初用于動力系統的概率分析，但在推導廣義概率密度演化方程的過程中，發現結構動力學方程不是必要的，因此，PDEM同樣可以推廣應用到結構的動態可靠度分析中。在此基礎上，應用概率密度演化理論進行結構全壽命周期的可靠性分析也有了一些新進展，如：概率測度變換方法[14-15]、直接概率積分法[16]等。

現有鋼筋混凝土橋梁時變可靠性的研究中，通常將截面的抗彎承載力視為廣義抗力[1]，荷載通常被簡化為平穩的隨機過程[18]。為了進行實際復雜結構的可靠性分析，考慮收縮蠕變的不確定影響，TONELLI等[19基于預應力混凝土橋的健康監測數據，使用馬爾科夫鏈蒙特卡羅（MCMC）方法進行貝葉斯推斷，盡管利用重要性抽樣（IS）一定程度上可以提高可靠性評估的計算效率，但其使用還是受到計算成本等的限制[20]

本文基于概率密度演化理論，綜合考慮了服役橋梁時變可靠性分析中涉及的隨機變量和隨機過程。在分析橋梁的正常使用極限狀態和承載力極限狀態時，分別將撓度和截面彎矩視為所關心的物理量，這些物理量的概率密度函數（PDF）在隨機動力系統（橋梁結構）中隨著時間的推移而演化。通過求解概率密度演化方程，可以獲得結構時變功能函數的概率解答，也就是概率密度演化過程。然后只需對各時刻相應的PDF進行一維積分，便可得到最終的時變可靠度。

1概率密度演化理論

經典結構可靠性分析本質是基于結構破壞的現象學分析。而概率密度演化理論是基于物理研究隨機系統的基本思想，從隨機性在物理系統中的傳播角度來考察和理解結構可靠度分析原理。根據這一思想，結構受力物理過程、結構損傷-破壞-失效的物理過程與結構響應的概率密度分布的演化過程息息相關，據此，進一步引入結構失效的物理準則，就可直觀地給出結構在時域上的可靠度。

1. 1 概率守恒原理

在確定性的物理力學系統中，質量守恒、動量守恒與能量守恒具有基礎性的原理地位。在隨機系統中，也存在類似的基本原理，即概率守恒原理。這一原理指出，對于保守的隨機系統，在系統狀態的演化過程中概率守恒[20-21]。所謂保守的隨機系統是指在該系統的狀態演化過程中，既沒有隨機因素消失，也沒有新的隨機因素產生。概率守恒原理可以闡釋為：隨機源決定的概率測度，在數學和物理變換中守恒，即物理規律并不因系統含有隨機性而改變。為了進一步說明這一原理，可以從兩種不同角度對其進行描述：隨機事件的角度和狀態空間的角度[22]。

1.1.1概率守恒原理的隨機事件描述

對于動態系統，系統狀態在任意時段發生演化，而演化的過程服從具體的物理規律，那就是同一隨機事件的概率測度不發生變化。若區域范圍內所有隨機事件的概率測度都不發生變化，則系統的概率守恒。用隨機事件方式表述概率守恒原理為：

式中 表示對事件的導數； 表示給定隨機事件（或隨機事件集合）在 t 時刻的狀態域； ?_Y（y，t） 表示系統狀態變量 Y 隨時間的概率密度函數， y 表示積分變量。

1.1.2概率守恒原理的狀態空間描述

在一確定狀態空間中，隨著系統狀態變化，與系統相對應的概率也將發生流動。然而，在任意時間段 對于給定區域 ，區域內的概率增量將等于通過區域邊界 ?Ω 流入的概率和流出的概率的代數和，即

利用這一表述，結合不同類型的物理方程，可以導出經典的概率密度演化方程，如Liouville、Fokker-Planck-Kolmogorov（FPK）方程和DostupovPugachev （DP）方程[21]。因此可以說，概率守恒原理的狀態空間描述建立了經典概率密度演化方程的統一邏輯基礎。

1.2廣義概率密度演化方程

利用概率守恒原理的隨機事件描述，可以導出廣義概率密度演化方程（generalizedprobabilitydensity evolution equation，GPDEE）[23]：

式中， ?_ZΘ 表示聯合密度函數； 為狀態向量第 i 個分量 Z_i 在單位時間內的變化率； θ 為影響系統狀態的基本參數； n 為系統狀態向量 Z 的維數； t 為時間變量。當僅考察一個具體的物理量時，多維偏微分方程退化為一維的偏微分方程。通常在實際問題中，只需求解 i=1 時的一般概率密度演化方程，即

式中， 為系統狀態變量 z 在單位時間內的變化率，上式揭示了隨機性在物理系統中的傳播規律[23]。事實上，對于隨機性影響不可忽略的物理系統，所關心的是本源隨機性 Θ （文中指的是影響系統狀態的基本參數 θ 所具有的隨機性，是如何經過物理系統的作用轉化（傳播）為系統響應的隨機性。概率密度演化理論中自標物理量 z 與本源隨機性 Θ 的聯合概率分布 ?_zΘ 關于時間 t 的變化率與關于系統狀態變量 z 的變化率在每一時刻均成比例，比例系數是，它為系統狀態在t時刻的綜合變化率。這就十分清楚地說明：系統物理狀態的變化促成了概率密度的演化。

1.3概率密度演化方程的數值求解

若隨機參數與初始條件無關，則由概率密度函數定義的本質，可以給定一維形式的概率密度演化方程初始條件：

式中， z₀ 為 z（t） 在 t₀ 點的確定性初始值； δ（?） 為Diracdelta函數； ?_Θ（θ） 為 Θ 的概率密度函數。采用微分方程求解理論的特征線法[24]可得解析解。但通常實際工程更為關心的是系統狀態變量 z 的概率分布密度隨著時間推演而發展變化的過程，即概率密度演化過程，而不僅僅是廣義概率密度演化方程的解。所以只需要關注 z（t） 的概率密度函數：

求解這一過程往往很難得到解析解，故采用數值方法。

1.3.1 Dirac序列解法[20.25]

Dirac函數作為一個廣義函數簇，也被稱為分布函數，可以看作是滿足一定條件的函數序列，即無窮個 δ 函數按照一定順序排列。

將一個隨機動力系統及其初始條件記為： G（Z，Θ，t），Z（t₀）=z₀ ，其中 為系統的 n 維狀態向量， Θ^（s） 代表隨機源的 σ_s 維向量。對于系統的概率密度演化方程，若存在唯一解答，則其解答為 Π_Θ 的函數，記為： Z=G（Z₀，θ，t） ，由全概率公式， Z 的概率密度函數表示為：

式中， z_i 為第 i 個狀態變量； G_i 為第 i 個狀態功能函數。

被積函數為多維Dirac函數，即一系列一維 δ 函數序列相乘，進行積分計算時可以將 δ 函數進行平滑處理以達到數值近似。通常存在多種一維 δ 函數序列，如：

（1）均勻分布形式：

（2）正態分布形式：

（3）諧波函數形式：

式中， H（θ） 和 λ 分別表示均勻分布的隨機變量和基本參數。

理論上以上三種形式都可以近似替代式（7）中的 δ[z-G（θ，t） 1，但近似效果有所不同：式（8）中函數序列在其定義域中是不連續的，因此會使數值結果不連續；式（10）中函數序列在任何階次都是平滑的，但可能導致結果產生高頻振蕩。由于所求結果為概率密度函數，所以要求近似結果保證非負性，并滿足概率的一致性條件，故采用式（9）進行平滑：

進一步地，式（7）中 ?_Z（z，t） 的分量可寫為：

式中， 為選取的代表點，其中 N_sel 為有效選點個數； ?_q 為代表點

的分配概率（稱賦得概率）； σ 為光滑參數，目前由計算經驗確定，可采取CHEN等[25]的建議取值：

式中， A∈[0，1] 為平滑系數； N 為概率空間剖分后積分點的數目； std [表示 N 個代表點物理量的標準差；iqr[]表示 N 個代表點物理量的四分位數間距（即 25%～75% ）。

1.3.2數值方法求解步驟

步驟1選點：根據隨機源的個數確定概率空間的維數，確定所選取代表點的總數 N 。

步驟2概率空間剖分和賦得概率計算：對基本隨機參數的值域空間進行剖分，根據各變量的邊緣分布計算各剖分單元的賦得概率 ?_q

式中， 表示參數的值域空間。

對每一剖分單元，有 則概率密度演化方程變為一系列方程組：

式中， 表示狀態變量 Z_q 的變化率； n 表示選點數。

初始條件：

步驟3點集重整化：將初步得到的點集按照最優化的準則生成重整化的代表點集，并根據上一步的操作進行概率空間剖分和賦得概率計算。

步驟4Dirac序列近似求解：根據 θ_q ，得到系統物理響應表達 G（θ_q，t） ，然后根據式（12）得出?_ZΘ（z_i，θ，t） □

步驟5對 ?_ZΘ（z_i，θ，t） 關于 θ 進行數值積分，給出系統響應的概率密度解答，即

2 概率空間剖分和賦得概率計算

在概率空間中，積分點表示可能的隨機事件，積分點分配的權重表示相應隨機事件的概率度量。因此，積分點和權重也分別稱為代表點集和賦得概率[26]。

2.1 概率空間的Voronoi集合剖分

記 s 維隨機向量 Θ^（s） 的值域空間為 ，將 剖分為若干個互不相容的子域的集合。采用 Vo^- ronoi集合剖分，其具有幾何意義清晰、計算方便的

優點，因而得到了廣泛應用。以 θ_q 為核心的Voronoi子域 {V_q}_q=1ⁿ 的定義為：

對任意 q=1，2，…，n ，有：

式中， θ=（θ₁，θ₂，…，θ_s）∈Ω_θ 表示分布空間 中的點 ? 表示Euclid距離。二維平面上，Voronoi集合是由某點與周圍各點中垂線圍合而成的最小區域。

圖1和圖2分別給出了二維和三維均勻分布概率空間的代表點和Voronoi單元。任意點集的Voronoi集合具有如下性質：

（1）所有Voronoi子集構成分布空間 的一個完整剖分；

（2）所有Voronoi子集所包含的區域都是凸的；

（3）對于給定點集與分布空間，Voronoi集合部分是唯一的。

由于所選取的點集在概率空間內要代表實際變量的概率分布，即代表點集的優劣直接影響系統概率密度的計算精度。為使得所選點集的各邊緣經驗分布盡量接近真實邊緣概率分布，其效果上是按所選點集進行概率空間剖分后，各單元的賦得概率彼此接近、盡量均勻。介于此，形成分兩步的選點法：① 選取初始點集； ② 點集重整化。

初始點集的選取首先是要在幾何空間0，1中選取均勻點集，實現這一步驟可采用數論法[2]球切點法[28]和Sobol序列選點法[29]。本研究選取數論選點法，按照華-王方法[30]產生離散代表點。

數論方法（number-theoreticmethods，NTM）的產生是基于多元數值積分的需要，KOROBOV[31]給出高維矩形上生成均勻布點的方法，此法與蒙特卡羅方法有許多共同點，故也稱偽蒙特卡羅方法。據數論研究：引人整數向量 （nQ₁Q₂…Q_n） ，可生成[0，1]空間中的均布點集 P_NTM 如下：

式中， int（?） 表示取不大于括號中數值的整數。按照上述取點方法，可使均布點集有較小偏差，整數向量 的取值隨維度變化而不同，具體取值參考文獻[30]。

2.3賦得概率計算和點集重整化

記隨機向量 ?Θ 的聯合概率密度函數為 ρ_Θ（θ）= 為樣本空間中的點。對于給定點集 M_n={θ_q}_q=1ⁿ ，與Voronoi剖分子集相對應的賦得概率為：

式（19）表明，賦得概率實際上是隨機事件在概率空間發生的概率，顯然，這一概率由 Π_Θ 的聯合概率分布和 V_q 的形狀共同決定。其中 V_q 為給定點集中第 q 個代表點Voronoi元胞的體積，對于二維隨機變量， V_q 即為Voronoi元胞的面積。對于求解問題的維度 s?4 的情況，加之Voronoi區域不規則，通常難以得到式（19）的解析積分，則需借助蒙特卡羅思想，在Voronoi區域外接超球體，并在此區域中撒入均布點，通過落人區域的測試點數與撒入的總點數之比近似求得 V_q ，具體步驟可參考文獻[32]。

得到初始點集和相對應的 ?_q 后，還需要進一步對點集重整化。由于采用的數論方法需要定義一個均勻性量度，CHEN等[33]定義了一種廣義F偏差（GF偏差）的概念，并根據最小化GF偏差的準則達到提高計算精度的目的。GF偏差定義為：

式中， F_i（θ） 為第 i 個隨機變量的邊緣累計分布函數；

F_n，i（θ） 為考慮賦得概率的經驗累計分布函數，即：以積分點坐標 （θ_q，1，θ_q，2，…，θ_q，n） ， q=1，2，…，N 為設計變量，GF偏差最小化為目標，采用優化算法對生成的點集進行GF偏差最小化重整，將優化后的積分點坐標作為新的積分點。具體重整過程分以下兩步：

步驟1調整初始點集位置，以減少各剖分單元賦得概率間的差異。設初始點集 P_n0=（θ_q，j） ，則可取第一步重整后的點集為：

式中， ，F_j（?） 為第 j 個隨機向量的邊緣概率分布； ?I（?） 為示性函數。記由此得到的點集為 P_n1 。

步驟2對于點集 P_n1 ，按照Voronoi劃分方式，依據式（14）計算各剖分單元的賦得概率 ρ_q（q= 1，2，…，n） ，再依據下式進一步調整 P_n1 中各點坐標，以進一步得到GF偏差最小化的點集，即取：

經過上述重整后的點集 P_n2 即為目標點集。然后對 P_n2 再按Voronoi方式進行概率空間剖分，并重新計算賦得概率，即可獲得式（19）中的 ?_q 。

3基于概率密度演化理論的時變可靠性分析

在1.3.2節中給出了數值方法求解PDEM的具體步驟，基于此，可以進一步給出PDEM求解系統動態可靠性的流程圖，如圖3所示。

3.1 時變功能函數

對于由多個構件組成的結構體系，在進行可靠性分析時，可建立一個全局功能函數，即將組成系統各個構件的功能函數轉化為一個能夠代表整體功能要求的功能函數：

式中， m 表示功能函數的維數； ext{?} 為極值函數，根據經典體系可靠度理論，其形式取決于研究系統的性質：對于串聯系統， ext {為極小值函數 min{?} ；對于并聯系統，則為極大值函數max {?} ；對于混合系統，則可由極大值和極小值函數共同構成。

對于單個構件的功能函數則可以表示為：

式中， R₀ 代表廣義抗力的初始值； S 代表廣義荷載效應； g（t） 為抗力退化函數。由于實際橋梁受劣化環境因素等影響，需要考慮承載力的退化，退化的時變抗力可以表示成構件的初始抗力和抗力退化函數的乘積，即 R₀g（t） 。對于鋼筋混凝土結構，用服役年限 T 的分段函數來描述[34]，本研究考慮的抗力退化函數表示為：

3.2基本隨機變量的等概率變換

基于PDEM得出結構功能函數的概率密度函數（PDF），在考慮隨機變量均為高斯分布（或混合高斯模型）時有較好的近似結果，一方面也是因為數值方法解廣義概率密度演化方程時采用了正態概率密度函數形式的 δ 序列逼近。

由于實際結構的隨機源通常為不同的分布類型（如：對數正態分布、Gamma分布、Gumbel分布等），在引人抗力退化模型后，用現有的可靠度理論難以得到包含各分布類型隨機變量功能函數的顯式表達；此外，作者在基于計算分析的經驗來看，若隨機源均服從正態分布，則使用上述方法得出的PDF更準確，其原因是采用的Dirac序列為正態分布形式的序列。為解決這類問題，引入等概率變換的方法，利用累計分布函數值相等的影射，可將非正態隨機變量正態化。值得注意的是，此方法假定結構基本隨機變量和隨機過程中的各個分量相互獨立；若考慮各變量相關性，還需使用Rosenblatt變換[35]，此處不做過多介紹。

結構的基本隨機變量為 其中各分量相互獨立， Θ_i 的累計分布函數為F_Θi（Θ_i） 。對每個變量作如下變換將 Θ 映射成標準正態變量 Y

式中， 表示標準正態分布函數。

其向前映射與向后映射分別為：

這里的等概率正態變換式（27）為全空間的獨立同分布映射。經過變換后，對于任何隨機變量，均可統一在標準正態空間內討論分析。進而得到以變量Y 表達的功能函數為：

3.3 算例分析

選取某一跨徑為 20m 的鋼筋混凝土簡支T梁橋，其設計參數滿足設計規范要求，橋梁橫斷面布置和主梁截面分別如圖4及圖5所示。

進行結構可靠度分析時，以結構是否達到極限狀態為依據，極限狀態一般可以分為承載能力極限狀態和正常使用極限狀態兩類，兩種極限狀態在結構分析中都應充分考慮。

3.3.1正常使用極限狀態的可靠性分析

將撓度視為所關心的物理量，當系統撓度超越撓度限值時認為結構失效。記橋梁自重為時不變荷載，汽車荷載效應和收縮、徐變效應作為時變結構參數。因此，所考慮基本隨機變量的個數為4；其中車載效應、收縮、徐變效應引起橋梁的最大撓度分別記為 w₁，w₂，w₃ ，自重引起的橋梁靜撓度記為 假定各基本變量間相互獨立，初始時刻各變量的狀態信息如表1所示。

值得注意的是，在此考慮正常使用極限狀態的可靠性分析時，未引入抗力退化模型，換言之，將結構抗力（撓度限值）視為不隨時間退化的定值。

考慮時間尺度為50年，并將其劃分為50個時段： t₀=0 th， 。結合表1中隨機變量初始信息，時變參數表示如下：

在此基礎上，可得任意時段 τ 的全局功能函數：

式中， 為簡支梁橋的撓度限值，本算例橋梁計算跨徑為 20m ，故 的值為 40mm 。將 Z（τ） 代入式（4）的概率密度演化方程中，然后按照1.3.2節中所述的數值求解步驟，得到系統功能函數的概率密度解答。

采用數論方法時，根據隨機變量個數，共選取了1019個代表點，由式（18）在4維空間中生成均勻點集，然后劃分Voronoi區域并計算各個點的賦得概率；得到初始點集后，再分兩步對點集重整化，即得最優化點集 P_n2=（θ_q，j^′′），q=1，2，…，1019 ; j= 1，2，3，4以及各剖分單元的賦得概率 ρ_q 。進一步地采用下式即可得到 Z（τ） 的概率密度函數：

基于上述Dirac序列方法得到各個時段的概率密度曲線：

（1）初始時刻功能函數的概率密度曲線與 10⁷ 次蒙特卡羅（MCS）模擬結果得到的概率密度直方圖的對比結果如圖6所示。

從圖6中可以看出兩種方法得出功能函數的PDF吻合良好，初步驗證了所提算法的適用性。

（2）以10a為時間間隔，由PDEM得出 t₀，t₁₀，t₂₀ t₃₀，t₄₀，t₅₀ 時段功能函數的概率密度曲線如圖7所示。

可以看出，隨著時間的推移，主要受不斷增長的荷載效應的影響，結構的概率密度曲線逐漸向左移動，即功能函數的均值減小，橋梁愈趨于不安全。

（3）將所有時段的概率密度曲線在時間尺度上表示，即可連接成一個連續的曲面，該曲面顯示了功能函數作為隨機過程的概率密度演化，如圖8所示。

最后，對所求的概率密度解答進行一維的數值積分，得到結構的失效概率為：

各個時段的失效概率（積分結果）如圖9所示。為驗算其準確性，與蒙特卡羅法計算結果進行對比（見圖9）。

從圖9可以看出，基于PDEM的橋梁結構可靠性分析結果能與MCS結果吻合良好。隨著時間的推移，橋梁結構的失效概率不斷增大，符合實際情況。為進一步考察各算法的精度，以與MCS結果相差的百分比作為誤差，即相對誤差定義為：

（3）將所有時段的概率密度曲線在時間尺度上表示，即可連接成一個連續的曲面，該曲面顯示了功能函數作為隨機過程的概率密度演化過程，如圖12所示。

各時段的失效概率及蒙特卡羅模擬計算結果對比如圖13所示，進而各時段上述兩種計算結果的相對誤差如圖14所示。

可見，基于PDEM的可靠性分析結果具有良好的精度，在所考察的時段內，其誤差在 6% 以內。同時，相比于MCS大樣本計算耗時的特點，此法只需在概率空間內選取較少的代表點，有計算效率高的優點。

4結論

針對既有橋梁時變可靠度研究，引人了概率密度演化理論，并用算例驗證了其適用性，對于橋梁的時變效應，除了抗力退化和交通荷載增加之外，也考慮了混凝土橋梁的收縮、徐變效應。得到主要結論如下：

（1）通過與MCS結果對比可知，所提方法的精度、效率較優。

（2）適用性廣泛，特別是對于更為復雜的實際荷載狀況，因為PDEM所需的分析次數與隨機變量的個數無關。

（3）當前該理論在求解結構動態可靠性問題時存在的局限主要體現在Dirac序列解法中光滑參數 σ 的選取，具有較強的經驗性。在沒有得到精準 σ 值的情況下，需要對結果進行修正才能得到較為準確的結果。

參考文獻：

[1] HUANG X X，CHEN JQ. Time-dependent reliability model of deteriorating structures based on stochastic processes and Bayesian inference methods[J]. Journal ofEngineeringMechanics，2015，141（3）：04014123.

[2]ZHU BJ，FRANGOPOL D M.Reliability assessment of ship structures using Bayesian updating[J].Engineer ing Structures，2013，56：1836-1847.

[3]OKASHANM，FRANGOPOLDM，DECOA. Integration of structural health monitoring in life-cycle performance assessment of ship structures under uncertainty [J].Marine Structures，2010，23（3）：303-321.

[4]TONELLI D，BELTEMPO A，CAPPELLO C，et al.Reliability analysis of complex structures based on Bayesian inference[J].Structural Health Monitoring， 2023，22（5）：3481-3497.

[5] RICE S O.Mathematical analysis of random noise[J]. Bell System TechnicalJournal，1945，24（1）：46-156.

[6] COLEMAN JJ.Reliability of aircraft structures in resisting chance failure[J].Operations Research，1959，7 （5）：639-645.

[7] VANMARCKE E H.Properties of spectral moments with applications to random vibration[J]. Journal of the Engineering Mechanics Division，1972，98（2）：425-446.

[8] VANMARCKE E H. On the distribution of the first-passage time for normal stationary random processes[J].Journal ofAppliedMechanics，1975，42（1）：215.

[9]朱位秋.隨機振動[M].北京：科學出版社，1992. ZHUWeiqiu.RandomVibration[M].Beijing：Science Press，1992.

[10]LUTES L D，SARKANI S.Random Vibrations： Analysis of Structural and Mechanical Systems[M]. Amsterdam：Elsevier，2004.

[11]LIJ，CHEN JB.The principle of preservation of proba bility and the generalized density evolution equation[J]. Structural Safety，2008，30（1）： 65-77.

[12]LI J，CHEN JB. Stochastic Dynamics of Structures [M].NewYork：JohnWileyamp;Sons，2009.

[13]LI J，CHEN JB，SUN W L，et al. Advances of the probability density evolution method for nonlinear stochastic systems[J]. Probabilistic Engineering Mechanics，2012，28：132-142.

[14] CHEN J B，WAN Z Q.A compatible probabilistic framework for quantification of simultaneous aleatory and epistemic uncertainty of basic parameters of structures by synthesizing the change of measure and change of random variables[J]. Structural Safety，2O19，78： 76-87.

[15]WAN ZQ，CHEN JB，BEER M.A PDEM-COM framework for uncertainty quantification of backward issues involving both aleatory and epistemic uncertainties [J]. IOP Conference Series：Materials Science and Engineering，2021，1043（5）：052058.

[16]CHENG H，YANG D X.Direct probability integral method for stochastic response analysis of static and dy namic structural systems[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，2019，357： 112612.

[17] SAAD L，AISSANI A，CHATEAUNEUF A，et al. Reliability-based optimization of direct and indirect LCC of RC bridge elements under coupled fatigue-corrosion deterioration processes[J]. Engineering Failure Analysis，2016，59：570-587.

[18]XIEHB，WANGYF，ZOURF.Reliability analysis of RC T-beam highway bridges in China based on a vir tual bridge dataset[J].Engineering Structures，2015， 104：133-140.

[19]TONELLI D，BELTEMPO A，CAPPELLO C，et al.Reliability analysis of complex structures based on Bayesian inference[J]. Structural Health Monitoring， 2023，22（5）：3481-3497.

[20]FAN WL，CHENJB，LI J. Solution of generalized density evolution equation via a family of δ sequences [J].ComputationalMechanics，2009，43（6）：781-796.

[21]李杰.工程結構整體可靠性分析研究進展[J].土木工 程學報，2018，51（8）：1-10. LI Jie.Advances in global reliability analysis of engineering structures[J]. China Civil Engineering Journal， 2018，51（8）： 1-10.

[22] CHEN JB，LI J. A note on the principle of preservation of probability and probability density evolution equation[J].ProbabilisticEngineeringMechanics， 2009，24（1）：51-59.

[23]LI J. Probability density evolution丨method：background，significance and recent developments[J]. Probabilistic Engineering Mechanics，2O16，44：111-117.

[24]FARLOW S J. Partial Differential Equations for Scientions，1993.

[25]CHEN G H，YANG D X.A unified analysis framework of static and dynamic structural reliabilities based on direct probability integral method[J].Mechanical Systems and Signal Processing，2021，158：107783.

[26] CHEN JB，YANG JY，LI J. A GF-discrepancy for point selection in stochastic seismic response analysis of structures with uncertain parameters[J]. Structural Safety，2016，59：20-31.

[27］陳建兵，李杰.結構隨機響應概率密度演化分析的數 論選點法[J].力學學報，2006，38（1）：134-140. CHEN Jianbing，LI Jie. Strategy of selecting points via number theoretical method in probability density evolution analysis of stochastic response of structures[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics， 2006，38（1）：134-140.

[28］陳建兵，李杰.隨機結構反應概率密度演化分析的切 球選點法[J].振動工程學報，2006，19（1）：1-8. CHEN Jianbing，LI Jie. Strategy of selecting points via sphere of contact in probability density evolution method for response analysis of stochastic structures[J] Journal of Vibration Engineering，2Oo6，19（1）：1-8.

[29]DICK J，PILLICHSHAMMER F. Discrepancy theory and quasi-Monte Carlo integration[M]//A Panorama of Discrepancy Theory. Cham：Springer International Publishing，2014：539-619.

[30]華羅庚，王元.數論在近似分析中的應用[M].北京： 科學出版社，1978. HUA Luogeng，WANG Yuan. Application of Number Theory in Approximate Analysis[M]. Beijing： Science Press，1978.

[31]KOROBOV N M. The approximation of multiple integrals[J].Dokl Akad Nauk SSSR，1959，124： 1207-1210.

[32]李杰，宋萌.隨機地震動的概率密度演化[J].建筑科 學與工程學報，2013，30（1）：13-18. LI Jie，SONG Meng.Probability density evolution of stochastic seismic ground motion[J]. Journal of Architecture and Civil Engineering，2013，30（1）：13-18.

[33] CHEN J B， ZHANG S H. Improving point selection in cubature by a new discrepancy[J]. SIAM Journal on Scientific Computing，2013，35（5）： A2121-A2149.

[34] ENRIGHT M P， FRANGOPOL D M. Condition prediction of deteriorating concrete bridges using Bayesian updating[J]. Journal of Structural Engineering，1999， 125（10）：1118-1125.

[35] ROSENBLATT M. Remarks on a multivariate transformation[J].The Annals of Mathematical Statistics， 1952，23（3）：470-472.

第一作者：周衡（1998一），男，碩士研究生。 E-mail：zhouh2l@lzu.edu.cn

通信作者：樊學平（1983一），男，博士，副教授。 E-mail：fanxp@lzu.edu.cn