國際統計推理教學的研究進展與教學啟示

相較于“數與代數”和“圖形與幾何”領域，“統計與概率”領域的知識體系成熟較晚。隨著信息時代的新發展、新要求，它也引起了數學教育研究者的廣泛關注。2024年7月，第15屆國際數學教育大會（ICME-15）在澳大利亞悉尼召開，“統計的教與學”作為其中一個專題，為國際數學教育教學研究者交流統計教學研究的最新成果提供了討論平臺。

“統計的教與學”專題中涉及統計素養（Sta-tisticalLiteracy）、統計思維（StatisticalThinking）和統計推理（StatisticalReasoning）三個核心概念（圖1），每個核心概念之間均有重疊部分，也都具有與其他兩個核心概念不一樣的內容。其中，統計素養是基礎，指向理解各類情境中的統計信息并做出反應的能力。AmyRenelle團隊倡導通過學生分析和評估科學類文章中的圖形與表格來考查其掌握的統計素養；Gal等人對生活中隨機現象的相關數據進行可視化的呈現，進一步促進了學生統計素養的提升。統計思維是核心，Lisa與Daniel指出，統計思維體現為學生在數據處理過程中呈現的認知表現。

圖1三個核心概念的關聯圖

統計推理則是基于統計素養與統計思維的高階認知目標，指向對統計數據的處理、分析與推斷，是當下信息時代背景下的基本知識與技能。Watson提出，統計推理屬于統計素養的較高水平，同時Wild和Pfannkuch指出，統計推理在統計思維的部分維度和發展階段中有著重要地位與作用，學生在進行統計推理的過程中，不斷促進統計素養的提升與統計思維的優化。因此，本文基于ICME-15中有關“統計推理”主題的文獻，梳理會議中有關“統計推理教學”的研究報告，并從“統計推理的概念內涵、統計推理的水平劃分、統計推理的教學實施”三個維度進行研討交流，以期了解國際教學發展動態，為我國統計推理教學提供借鑒。

一、統計推理的概念內涵

厘清概念內涵是開展統計推理教學研究的基礎，是落實課堂教學的關鍵所在。梳理三場專題會議中各報告對統計推理內涵的闡述，主要將其分為三類：（1）基于統計學概念，側重于對核心知識概念的闡述，認為統計推理是對事件發生可能性的解釋以及結果的多樣化呈現；（2）基于過程性理念，將統計推理定義為進行推斷的思維過程，并強調統計推理是一種認知過程；（3）基于結論性模式，面向實際情境或問題，以統計結論的不確定性為立足點，將其視為一種合情推理，需要通過歸納總結的方式得到結論。

統計推理的概念內涵在表述上雖存在差異，但其本質均強調學生能在實際問題的解決過程中，根據統計數據進行合理推理，理解并解釋統計過程與結果，從而逐步發展數據描述、整理、表征、分析和解釋能力。

二、統計推理的水平劃分

在統計推理水平劃分的基礎上開展統計教學是克服統計教學片面化、形式化的重要舉措，但統計推理的水平劃分一直是困擾數學教育教學研究者的一大難題，不同學者對統計推理水平劃分的依據各不相同，目前比較常見的水平劃分主要分為三類。

一類是基于教育教學理論的水平劃分。以Makar和Rubin的統計推理三維理論為例，包括概括數據之外信息，通過樣本對總體進行推斷；將數據作為定量依據，利用數據解釋闡述結論；運用統計概率語言表達，闡述推理的不確定性。也有部分研究以SOLO分類理論（前結構水平、單一結構水平、多元結構水平、關聯水平）為評價等級，開發統計推理能力評價量規。

一類是基于內涵與過程的水平劃分。統計推理指向對統計數據的處理、分析與推斷，在概念內涵的基礎上對統計推理進行水平劃分，其中較為典型的是Mooney團隊開發的統計推理的水平框架，以數據收集、整理與分析過程以及統計問題的解決過程為主線，描述在過程中呈現出的不同認知特征與水平，其中涵蓋了數據描述、數據簡化、數據表征、數據分析與解釋四個層面，并對四個層面進行四個水平的劃分 一不基于數據的推理；基于部分數據的推理；基于原始數據的推理；基于整體數據間關聯的推理。

還有一類是基于教學實踐的水平劃分。通過設計統計推理的測評任務，展開教學研究并采集數據，再針對數據進行“定量 + 定性”分析，進而確定不同的統計推理水平。例如，Watson團隊從“大概念（BigIdeas）”層面切入，設計相應的測評任務，通過測評1500名中小學生統計推理水平，基于參與學生的作答數據，利用Rasch分析確定了學生統計推理的八個水平。HongyunLi團隊報告了其圍繞學生統計推理水平開展深度探究的具體過程，進行了基于測評任務（“身高平均值”）的研究，對535名七、八、十一年級的學生進行預測評（表1）以及對287名七、八、十、十一年級的學生進行正式測評（表2）。基于測評結果，HongyunLi團隊嘗試對推理水平進行具體劃分，將其劃分為了單一推理、復合推理、過渡推理、綜合分析、定量論證5個水平（表2）。各研究結果發現，隨著學生年齡、學段的遞增，其統計推理水平會隨之呈現差異，這就要求教師在統計推理的教學設計與課堂實施過程中需要充分考慮學生的統計推理水平。

三、統計推理的教學實施

基于學生在測評任務中的具體行為表現，教師可有效定位學生統計推理的水平，進而有針對性地設計與實施課堂教學，在教學實施過程中逐步讓學生實現統計推理水平的螺旋上升。然而，各團隊關于統計推理教學設計與實施的研究探索的側重點并不相同，主要從三個方面展開。

表1統計推理水平預測評試題與具體編碼

表2統計推理水平正式測評試題及水平劃分

（一）基于課程標準確定教學內容

課程標準是教學的重要依據，明確規定了教學目標、內容框架等，基于課程標準確定教學內容時，需要緊扣課程標準要求。報告中，Byungjoo與Kyeong-Hwa結合團隊對統計推理教學的探索過程展開詳細介紹。相較于韓國2009年出版的國家課程中提出的“統計與概率領域中的基本概念和統計問題解決的過程，包括數據收集、整理、分析、探索性方法和非正式統計推理等各個方面”，2022年新修訂的韓國中小學數學課程標準中針對統計領域呈現了詳細的內容框架：數據的收集、整理和解釋表達一隨機現象發生的可能性以及隨機事件的概率一利用數據解決統計問題。其核心思想指向了解決統計問題，同時提出統計推理的課堂教學需要促進學生能夠深入理解統計相關概念的本質，學習統計分析、推理、建模以及解決統計問題的相關步驟，進而能掌握解決統計問題的方法，凸顯了統計推理的重要性與必要性。同時，新修訂的韓國中小學數學課程標準強化了“應用統計推理、建模方式解決實際問題”的重要性，指出在統計教學中要以解決統計問題為中心，強調以過程為導向的評估。

（二）基于問題情境設計教學活動

問題情境的創設在教學過程中具有極其重要的作用，能激發學生興趣、促進知識理解等。如何創設合適的情境則是開展統計推理教學的首要步驟，問題情境的選擇大多是有趣的學科問題，但也可以是生活中的實際問題，還可以是項目式問題。

Maritza團隊以一所公立學校幼兒園中的15名5～6歲兒童和一年級中的14名6～7歲兒童為參與者，創設“選瓶子”這一數學學科問題情境一共有三個瓶子，每個瓶子裝有共計100顆金色和紫色的珍珠（瓶子1-B1裝有25顆金色和75顆紫色的珍珠，瓶子2-B2裝有15顆金色和85顆紫色的珍珠，瓶子3-B3裝有35顆金色和65顆紫色的珍珠），學生需要在不知道具體數量的情況下利用不同的策略與方法選中有最多金色珍珠的瓶子。如此，學生經歷“猜測一基于數據論證一關聯數據與結論并進行正確闡述”的過程，并利用推理語言對分析結果進行正確的表達。

HajimeSato團隊以“全球變暖的背后”為現實情境，借助數學軟件可視化地呈現近幾年全球平均氣溫的變化趨勢，讓學生經歷觀察圖表、分析數據等過程，對全球變暖的趨勢進行原因剖析與預測。該團隊強調，基于現實情境提出真實問題，是培養學生解決實際問題能力的關鍵所在。

Walsh指出設定“調查工具包”的重要性。調查前期，學生可以根據一個感興趣的主題選擇一個研究問題開展實地調查與問卷收集，在此過程中，“調查工具包”能有效指導學生選擇研究問題，分析調查數據，撰寫研究報告，并分享調查結果。“調查工具包”類似于項目化學習，能有效幫助學生提升學習主動性。學生通過探究活動等方式解決挑戰性問題，并在項目化課程實施后期階段將其以成果展示的形式進行呈現與總結。如何將統計推理教學與項目化學習有效融合是關鍵問題，也是相關研究的未來指向。

（三）基于數據分析確定教學流程

數據分析是開展統計推理教學的支撐點，是將理論知識應用于實際問題的重要方法與途徑。通過數據分析，學生可以將抽象的統計概念轉化為具體的操作流程，從而加深對統計推理的本質理解。Malia與Maxine提出了基于數據分析的教學流程（圖2）。

圖2統計推理的教學實施流程

在小學數學課程中，統計推理的教學實施流程從提出統計問題開始，學生基于好奇心，圍繞真實情境，設計問卷試題，采集真實的原始數據，基于原始數據對數據進行分類，建立數據集，最后利用圖表等多樣化的載體進行數據分析。也就是說，需要讓學生經歷“提出統計問題一采集真實數據一分類整理數據一解釋分析數據”的過程，同時需要凸顯數據集構建的重要性，這對統計推理教學效果起決定性作用。

Malia在報告最后提出，統計推理教學并不能將學生的思維禁錮在課堂中，而是要在真實情境的推進下，讓學生自主發現并提出問題，同時要讓學生通過網頁查詢、圖書閱讀等多元化途徑，了解并掌握收集、分析與解釋數據的具體方式，在解釋分析數據時也需要考慮到經驗因素，進行層級化分析。

四、結論與啟示

本文基于對“統計推理的概念內涵、水平劃分、教學實施”的相關報告梳理，提煉出在統計推理教學過程中涵蓋的三個關鍵要素一一真實的數據和實際問題情境、以學生為中心的問題解決活動、統計推理語言的正確表達。本文圍繞這三個關鍵要素，針對統計推理教學實施，提出以下三個方面的建議。

（一）注重情境選擇，創設真實問題

學生的動機在數學學習過程中起著決定性的作用，其中一個重要的動機變量就是學生對學習情境與材料的興趣。情境的選擇可以面向學生生活經驗，通過學科融合溝通現實情境，也可以依據自然需求，結合教育技術創設真實情境，例如，“共享單車上的數學”，可利用虛擬現實等技術手段直觀呈現相關數據變化與趨勢，進而幫助學生理解統計意義。另外，情境的選擇也可以關聯學科本質，通過設計反饋任務，觀察推理過程，將情境設置與學科元素相融合，深挖情境背景中包含的學科邏輯，進而提煉數學問題并利用統計推理進行全面分析。

（二）融入問題活動，確定實施流程

學科知識內容情境化、項目化是革新教與學方式的重要手段，在學科教學中合理融入項目式問題與活動能使課堂更加靈活。將統計推理教學融入項目式問題，可以讓學生經歷“選擇研究問題一開發推進調查一分析調查數據一共享展示成果”這一過程。在選擇研究問題上，學生可以根據一個感興趣的主題來確定研究問題，且研究問題的關鍵點是與統計推理相關或整合的核心主題或關鍵概念；在開發推進調查上，學生需要充分利用學習資源，展開引導性的調查問題設計，調查問題涵蓋開放性問題，利用適合的抽樣方法采集相關數據；在分析調查數據上，學生需要掌握圖表分析的方法，參數分析輔之，最后，以成果展演的方式進行小組匯報，進而實現統計推理學習的總結。

（三）強化語言表征，促進深層理解

學生在分析數據時需要利用多元化的方式表征推理過程，表征包括了五種類型一符號、圖形、情境、實物操作以及語言表征，其中語言表征在數學課堂教學過程中會被忽視，如何在統計推理教學過程中增加語言表征的占比是提升推理課堂教學質量的核心要點。品

【參考文獻】

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注：本文系浙江省哲學社會科學規劃課題“基于認知發展模型的義務教育教科書編寫質量提升研究”（課題編號：23NDJC265YB）、浙江省高校重大人文社科攻關計劃項目“建設高質量教育體系背景下義務教育教科書編寫質量提升路徑研究”（項目編號：2023GH005）的研究成果。鞏子坤為本文的通訊作者。