分類、分析、表示是認識圖形的重要方法，《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下通稱“新課標”）指出：“會根據角的特征對三角形分類，認識直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形；能根據邊的相等關系，認識等腰三角形和等邊三角形?！蹦敲?，一線教師如何在教學中凸顯圖形分類的價值，引導學生深入認識圖形特征？本研究以“三角形的分類”系列教學為例，在第一課時引導學生按照角的特點對三角形進行分類，認識銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，明確每類三角形的特征。學生在本節課中能感受到細化分類及觀察每類三角形關鍵特征的重要性。第二課時按邊的特點分類，注重遷移研究方法，倡導用多種方法進行驗證，認識等腰三角形和等邊三角形，明確每類三角形的特征。最后，深人溝通兩種分類間的內在聯系，并由關注顯性要素分類到關注隱性要素分類。通過系列化、進階性的教學設計，幫助學生不斷深化對圖形特征的認識，形成初步的幾何直觀，發展空間觀念和推理意識。

一、三角形按照角的特點分類之思維進階

（一）初步分類，統一標準

教學中，教師首先呈現各種雜亂無章的三角形（如圖1），一是引導學生回顧三角形的外在特征（三條邊、三個角、三個頂點）；二是啟發學生面對各種形狀的三角形要深人研究，并初步感受分類的必要性；三是明確研究主題，即進行三角形分類。

活動一：給三角形分類

1.思考分類的標準。

2.擺一擺，分一分，將三角形分類。

圖1三角形類型

學生借助操作進行探究，主要形成三類作品（如圖2）。作品1：按照邊的特征分類一一分為三條邊都相等的、兩條邊相等的、三條邊都不相等的三類。作品2：按照角的特征分類一一分為有直角的、沒有直角的兩類。作品3：標準不一致一一分為等邊三角形、等腰三角形、直角三角形、不規則三角形四類。

學生借助生生評價，對于作品3的分類標準提出改進建議，即作品3的分類標準可以是按照邊的特征分，也可以是按照角的特征分，分類標準不明確。而分類標準不明確，就會出現重復和遺漏的情況，例如2號按照邊的特征來說是等腰三角形，按照角的特征來說是直角三角形。學生在生生質疑對話中達成共識：分類標準要統一。

（二）按角分類，深化特征

在明確了分類中要統一標準后，教師引導學生按照角的特征再次給這些三角形分類。

活動二：按照角的不同給三角形分類

一是先觀察這些三角形的角都有什么特點；二是可以量一量，將分類的標準、結果和每類三角形的特征記錄在學習單上。

圖2學生作品

1.以有無直角為標記分類，簡單分為兩類

作品1的學生：分類標準是按照三角形有沒有直角來分類?？煞譃閮深悾旱谝活愑?個直角；第二類一個直角也沒有。

學生評價：分類標準是清楚的，而且根據是不是直角也進行了清楚的分類，他們組的分類是正確的。對他們組的建議是對沒有直角的三角形還可以再進行分類（基于同學們的建議，作品1的學生進一步觀察沒有直角的三角形特征，并進行再次細化分類）。

2.再次分類，分為三類

作品2的學生：分類標準是按照角的大小來進行的。學生借助細致觀察，發現直角三角形可以分為兩類：一類是有鈍角的；一類全是銳角的。因此，學生們將三角形分為三類：第一類，三個角都是銳角；第二類，有一個角是直角，另外兩個角是銳角；第三類，有一個角是鈍角，另外兩個角是銳角的。

【教學思考】借助對比，學生深入觀察，體會到了分類要細致，以便確認三角形可以按照角的特征分為三類。

3.深人圖形，把握關鍵特征

作品3：分類標準是按照三個角中最大的角來分類。第一類三角形的最大角是直角；第二類三角形最大角是銳角；第三類三角形最大角是鈍角。

評價：作品3關注最大的角，最大的角是銳角，其三角形就是銳角三角形；作品2關注了三個角，三個角都是銳角的三角形是銳角三角形。只看最大的角，抓住每類三角形的關鍵特征，更為簡潔。

【教學思考】第二次對比，學生經歷對三角形特征的進一步挖掘，由關注三角形每個角的特征，到抓住每類三角形的關鍵特征，也就是最大角的不同，加深對每類三角形的認識。

（三）命名三角形，應用特征

1.抓住獨有特征，合理命名

借助分類活動，學生已明確每類三角形的特征，絕大部分學生能夠有意識地根據三角形的特征正確命名三類三角形：3個角都是銳角的三角形是銳角三角形；1個直角、2個銳角的三角形是直角三角形；1個鈍角、2個銳角的三角形是鈍角三角形。部分學生質疑：直角三角形和鈍角三角形也有銳角，為什么選擇用直角和鈍角命名呢？教師引導學生深人辨析，明白其實命名也是依據每類三角形的最大角，也就是其獨有特征來進行的。教師抓住三角形的獨有特征進行命名，在解釋數學名稱的合理性中，進一步深化對三角形關鍵特征的認識。

2.借助觀察推理，構建聯系

如果將三角形看作一個整體的話，銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形可以作為這個整體中的一部分。如何借助集合圖表示三類三角形的關系？學生呈現了四種典型作品（如圖3所示）。按角的特點分類，三類三角形是并列關系，不是包含關系，因此作品1排除；通過幾何畫板，固定底邊不變，從左到右動態演示角的變化過程和邊的變化過程，明確按照角的特點分類，只能分為這三類三角形，沒有第四類，因此作品3排除。學生經歷觀察、想象、推理活動，構建三類三角形的聯系，進一步深化對圖形特征的認識。

圖3學生作品

【教學思考】學生在構建關系中，明確三類三角形之間是并列關系，進一步加深對三角形特征的認識。學生在借助幾何畫板的動態演示中進行觀察和推理，明確三角形按照角的特點只能分為這三類。學生初步感受三角形三條邊和三個角的變化之間的內在聯系，為其后續進行三邊關系和內角和的探究做好鋪墊。

二、三角形按照邊的特點分類之實施建議

（一）方法遷移，自主規劃研究路徑

學生有了按照角的特點進行分類的豐富體驗后，本節課中教師注重學生自主遷移能力的培養，促進其思維水平的進階。教師引導學生自主制定研究規劃，從邊的特點來給三角形分類。在研究不同規劃方案的過程中，教師發現學生能夠遷移已有的研究方法，三角形按邊的特點進行分類，需要同樣經歷“觀察一測量一分類一命名一找聯系\"的過程，并能制定對應的研究規劃。

（二）嚴謹驗證，工具方法多樣化

學生不斷觀察、對比各種各樣的三角形，對于有些三角形無法直觀判斷兩條邊的長度，如何較為嚴謹地驗證兩條邊的長度關系？教師需要啟發學生采用多種驗證方法，鼓勵學生選擇喜歡的工具來驗證三角形的邊是否相等。

學生可以借助尺規工具，運用多種方法進行嚴謹驗證：其一，量一量（用尺子測量長度）;其二，比一比（用圓規比長度）；其三，折一折（對折后是否重疊）。有的學生將三角形按照有相等邊和無相等邊進行分類。

借助同伴啟發，再次觀察并細化分類，將三角形按照三條邊相等、兩條邊相等、三條邊都不相等進行分類。

（三）尺規作圖，深化圖形內在聯系

在給三角形命名的過程中，同樣需要再次回歸圖形本身特征，兩條邊相等的三角形是等腰三角形，三條邊都相等的三角形是等邊三角形（正三角形）。這兩類三角形之間有什么內在聯系？教師可以借助尺規作圖（新課標的新增內容），尺規作圖在三角形學習中發揮著重要價值。教師布置學習任務：用尺規作圖的方法，畫3個底邊是7厘米的等腰三角形；畫1個底邊是7厘米的等邊三角形。

學生借助尺規作圖等腰三角形時，發現這樣的等腰三角形可以畫無數個，而等邊三角形只能畫一個，等邊三角形中的兩條腰也是相等的，因此等邊三角形是特殊的等腰三角形。

三、三角形的分類之提升拓展

（一）審視按角和邊的特征分類，溝通邊與角兩個要素間的內在聯系

三角形既可以按照角的特征分類，又可以按照邊的相等關系分類，那么二者之間又有哪些內在的聯系呢？教師設計挑戰任務，把按角的特點分類和按邊的特點分類的這兩幅圖合并成一幅圖。該任務中教師引導學生將按照邊分類融人按照角分類中，引導學生借助操作推理，深化等腰三角形、等邊三角形和銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形之間的內在聯系。

學生借助幾何畫板觀察（如圖4），當點 C 在線段AB 的中線上時，三角形ABC為等腰三角形（也就是軸對稱圖形）。隨著角C逐漸變大，可以是等腰銳角三角形、等腰直角三角形，也可以是等腰鈍角三角形。而任意一個等邊三角形，三個角都是確定的，每個角都是60度，只能是銳角三角形。因此，學生在按照角分類的基礎上，將等腰三角形與三類三角形（銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形）都建立聯系，其中，等邊三角形既屬于等腰三角形，同時也屬于銳角三角形。

（二）關注隱性要素，按高分類，溝通高與角兩個要素之間的內在聯系

學生在單元起始課“三角形的認識\"中，不僅認識了三角形的顯性要素邊、角，還認識了三角形的隱性要素高。然而，大部分學生更多關注角和邊這兩個顯性要素并進行分類。如何實現由顯性要素深入到隱性要素來分類？學生經歷了“操作一觀察一聯系一歸納\"的全過程。

圖4

首先，借助操作性任務一一畫三角形（如圖5），學生自主在方格紙中畫出指定底和高的三角形（以線段長為 4cm 的AB為底，高為 6cm ）。通過操作畫圖，學生體會到這樣的三角形能畫很多，它們可以是銳角三角形，也可以是直角三角形和鈍角三角形。

圖5畫三角形

接著，教師引導學生觀察AB底上高的位置，互相交流。學生初步建立聯系后發現，高的長度是相同的，它們是同底等高的三角形。最后，學生歸納總結道，這些三角形高的位置不同，高在三角形內部的是銳角三角形，高在三角形邊上的是直角三角形，高在三角形外部的是鈍角三角形。在這個過程中，學生學會了要素分類的方法，不僅可以按照顯性的要素分類，更可以深入到隱性要素高來分類，將按角分類與按高分類的內在一致性相聯系，并且能夠溝通高與角這兩個要素之間內在的聯系，深化對圖形本質特征的認識。

參考文獻：

[1]孫波.新課標背景下小學數學教學設計優化研究：評《小學數學教學設計》[J].教育理論與實踐，2025（11）.

[2]范婷，劉曠野.數學學科實踐的內涵、價值與落實[J].教學與管理，2025（10）.

（責任編輯：趙春艷）