貫通縱橫單元 發展面積量感

量感是《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下通稱“新課標\"）新增的核心素養表現。在小學階段，與度量有關的概念有長度（周長）、面積、體積（容積）角、時間、質量等，與之分別對應的是長度（周長）量感、面積量感、體積（容積）量感、角度量感、時間量感和質量量感。面積量感作為小學階段需要發展的六大量感之一，是學生對物體表面或平面圖形大小的一種直觀感知和量化把握能力。它不僅包括對面積概念的理解，還涉及對面積單位的實際大小、面積的測量方法以及面積計算方法的靈活運用等方面。具有良好面積量感的學生，能夠在頭腦中形成清晰的面積表象，準確判斷不同圖形面積的大小關系，選擇合適的面積單位進行度量，并熟練運用面積公式解決實際問題。學生面積量感的形成和發展依賴于對二維面積及三維表面積內容的學習。然而，在實際教學中，有些教師并沒有將“面積一表面積\"當成一個跨學段、跨單元的主題單元進行系統設計及教學，因此導致學生常常難以把握兩者之間的內在聯系，對面積量感的理解不夠深入，在表面積學習中出現概念混淆、計算錯誤等問題。在面積教學中，教師應聚焦縱橫單元知識，發展學生的面積量感，深人探索二維面積到三維表面積的建構路徑，成為解決當前問題的重要方式。

一、問題提出：從“面積之困”到“表面積之難”

（一）學生在學習中存在的問題

有些學生對面積概念存在“偽理解”現象，如混淆周長與面積概念，將長方形長與寬的長度僅表面化理解成看得見的長度，無法透過長度想到背后所代表的面積本質一一“每行面積單位的個數×行數”；待升維至表面積學習時，有些學生僅記憶公式而缺乏空間轉換能力，如無法勾連圓柱底面與圓面積計算公式推導過程的聯系，無法將圓柱底面轉化成近似長方形等。

（二）問題歸因探究

1.認知斷層：二維直覺阻礙三維模型的想象

學生學習二維面積與三維表面積時常因“認知斷層\"受困。二維面積計算基于長、寬等線性要素，學生可通過平鋪小方格等建立概念，理解為封閉圖形內“填滿”的單位數量。而三維表面積計算涉及多個二維面組合，需突破平面視角，將立體展開為平面。例如，計算長方體的表面積需要想象六個面的形狀、尺寸與空間關系，二維直覺使學生易關注單一平面，忽視面間空間連接。而且，二維與三維的面積（表面積）變化規律不同，二維直覺會讓學生在三維表面積變化計算上出錯，二維認知模式阻礙三維學習。

2.量感薄弱：缺乏動態比較與測量的實踐經驗

在二維面積與三維表面積學習中，學生的面積量感普遍較為薄弱，根源是動態比較與測量實踐經驗缺失，阻礙了面積量感的發展。在二維面積學習時，有些教師通過課件演示代替學生的親自動手操作，學生被動接受。例如，在學習平行四邊形面積時，學生沒有親手操作轉化圖形，就很難理解公式推導的過程，遇到不規則圖形也無法靈活運用轉化思想。三維表面積學習更加抽象，如學長方體表面積，學生沒有制作模型并展開觀察，就難以直觀認識其表面積。此外，教師如果較少組織實踐活動，那么學生缺乏直觀感知，難以建立面積量感體系，學習效果也會不佳。

3.知識分散：面積與表面積教學未形成連貫遷移路徑

當前，在面積與表面積教學編排中未形成連貫的遷移路徑，使學生難以從二維面積有效遷移到三維表面積。一方面，教材將二維圖形面積與三維立體圖形表面積分年級、冊別、章節編排，未梳理知識間的內在聯系，如長方形面積未與長方體表面積建立聯系。另一方面，有些教師在培養學生面積量感時缺乏連貫性，跳過二維到三維過渡環節。此外，有些教師缺少真實場景遞進式的案例設計，學生難以感知兩者間的邏輯共性，加劇知識割裂感。

二、理論基礎與教材解析

（一）理論基礎

根據建構主義學習理論，學習并非學生被動接納知識的活動，而是主動對知識進行建構的過程。從二維面積到三維表面積的學習，學生要依托已有的二維面積知識經驗，借助與外界環境的相互作用，主動對新知識展開探索、思考與整合，進而構建起三維表面積的概念體系。教師需要創設豐富多樣的學習情境，提供充足的實踐機會，引領學生在操作、觀察、對比等活動中，自主探尋知識的內在關聯，完成知識的意義建構。另外，幾何直觀作為一種通過圖形來闡述和剖析數學問題的關鍵方式，在面積與表面積的教學領域發揮著重要作用。它能助力學生把抽象的數學概念轉變為直觀的圖形表征，讓學生更透徹地領悟面積和表面積的核心內涵。借助直觀的圖形呈現，學生能夠清晰地觀察到二維圖形面積的構成情況，以及三維表面積的展開流程。這種直觀的展示方式，有助于學生更好地梳理知識間的邏輯關聯，進而提升自身的空間想象能力、思維能力及面積量感。

（二）教材編排內容縱、橫向分析

在小學數學“圖形與幾何\"領域，面積與表面積占據著十分重要的位置，是重要的教學內容，對學生面積量感的形成與發展具有關鍵作用。從二維面積到三維表面積的學習，是學生空間認知從平面向立體過渡的重要階段。以人教版小學數學教材為例，“面積一表面積\"既有遞進的縱向單元知識鏈，又有豐富的橫向單元關聯點。

1.“面積一表面積\"的縱向單元知識鏈

關于二維面積，人教版小學數學教材安排了兩個獨立單元和一個相關單元：一是三年級下冊的“面積\"獨立單元，一共8課時；二是五年級上冊的“多邊形的面積\"獨立單元，一共9課時；三是六年級上冊的“圓\"相關單元，一共12課時，里面包含圓的面積等5課時。關于三維表面積，教材安排了兩個相關單元：一是五年級下冊的“長方體和正方體\"相關單元，一共12課時，其中包括長方體、正方體的表面積2課時；二是六年級下冊的“圓柱與圓錐”的相關單元，一共9課時，其中包括圓柱的表面積2課時（見表1）。由此可知，“面積一表面積”主題單元呈現出以下四個特點：一是時間跨度大，縱跨四年；二是教學占比大，具體在三個年級五個學期的五個單元中安排教學，一共有26個教學課時；三是面積與表面積交替安排，在五、六年級的四個學期中，從“多邊形的面積 $$ 長方體、正方體的表面積 $$ 圓面積（圓環面積） $$ 圓柱表面積”，要求學生在二維、三維間靈活切換；四是面積量感素養的形成和發展與另一個核心素養表現空間觀念密切相關。空間觀念的發展有助于更直觀地感知圖形的面積大小，促進量感的形成，如通過想象圖形的變換過程、觀察圖形各部分之間的關系等，增強對圖形面積的直觀感知。

表1人教版小學數學教材\"面積—表面積\"縱向單元知識鏈

2.“面積一表面積\"的橫向單元關聯點 何\"領域的重要內容，兩者在概念本質、計算方法、思在小學數學中，面積與表面積屬于“圖形與幾 想方法等方面存在緊密的橫向關聯（見表2）。

表2“面積—表面積”橫向單元關聯點

（1）概念本質的關聯性

面積與表面積均屬于度量范疇。面積是指平面圖形的大小，是二維空間的度量，如長方形、圓的面積。表面積是指立體圖形所有面的面積總和，是三維空間中各個二維面的度量之和，如長方體、正方體的表面積。面積與表面積均通過量化描述圖形的大小，本質上都是“用數值表示圖形占據空間的程度”，體現“從幾何直觀到數值刻畫”的認知過程。且都依賴于對“基本圖形\"的認知。面積的基礎是對單位面積，如1平方厘米的理解，通過“鋪擺單位面積\"推導公式，如長方形的面積 長 × 寬。表面積的計算需拆解為多個基本平面圖形的面積之和，如長方體的表面積 （長 × 寬 + 長 × 高 + 寬 × 高） ×2 ，依賴對二維面積的掌握。表面積以面積為基礎，是二維到三維的延伸，體現立體圖形平面化的轉化思想。

（2）計算方法的關聯性

面積與表面積計算公式的推導具有邏輯共性。面積計算公式的推導，通過割補法、拼組法等將復雜圖形轉化為基本圖形，如平行四邊形轉化為長方形，三角形轉化為平行四邊形的方法。表面積計算公式的推導，通過展開立體圖形轉化為平面圖形的面積計算，如正方體展開為6個正方形，圓柱展開為長方形和兩個圓。它們均運用轉化思想，將未知圖形轉化為已知圖形計算，體現“化繁為簡”的數學思想。面積與表面積的單位與量綱具有一致性，均用面積單位（如 cm²，m². ），均表示二維度量單位的累加；在實際應用中均需要關注單位統一，如計算長方體表面積時，長、寬、高單位需一致，再求面積總和。

（3）思想方法的關聯性

面積與表面積在思想方法上具有高度的關聯性，具體表現在：一是模型思想的滲透。面積公式，如 S=ab 是二維圖形的數學模型；表面積公式，如S=2（ab+ah+bh） 是三維圖形的數學模型，均通過抽象化提煉通用解法。從面積到表面積，學生逐步學會用數學模型解決不同維度的問題，強化用符號表達規律的能力。二是空間觀念的進階。面積學習培養二維空間感知，如判斷圖形大小、設計圖案；表面積學習則要求三維空間想象，如折疊展開圖、分析立體圖形的面。兩者共同構建學生的空間認知體系，面積是空間觀念的基礎，表面積是空間觀念從平面到立體的升級。三是生活應用的連續性。面積應用，如計算教室地面面積、花壇種植面積等；表面積應用，如計算包裝紙面積、游泳池貼瓷磚面積等，兩者均服務于現實問題解決，體現“數學源于生活，用于生活”的理念，培養量化分析實際問題的能力。

三、面積量感建構路徑：從二維到三維的“四階進階\"策略

面積量感作為小學階段的重要量感之一，學生面積量感的形成和發展不是憑空達成的，而是需要經歷“具身體驗一概念辨析一單位建構一空間推理”的進階過程。

（一）具身體驗 觸摸“面積量”的本質

具身認知理論認為，人類的認知源于身體與環境的互動，物理體驗是理解抽象概念的基礎。在數學學習中，“面積量\"作為二維空間的核心概念，其本質可通過具身認知理論得以具象化解讀，讓學生從身體感知層面建立深度理解。

1.具身認知下的面積本原：從“觸摸\"到“量化”

面積的本質是對平面區域大小的度量，其認知起點并非公式記憶，而是感官的直接體驗。在學習“面積\"單元時，面積含義和單位，長方形、正方形面積的計算，面積單位間的進率都依賴于學生的具身認知。學生通過用手掌覆蓋桌面、用手指描摹圖形輪廓等動作，形成對區域占據空間的初步感知；用面積單位拼貼平面、以彩筆填充圖形時，會直觀感受到填滿所需材料的多少與區域大小的關聯。這些具身操作將抽象的量轉化為肌肉記憶和視覺反饋，使面積從模糊的概念變為可觸摸、可比較的實體經驗。例如，針對長方形面積計算的學習，學生通過具身操作，用小正方形（小的面積單位如1平方分米）平鋪在6平方分米的長方形上，經歷“鋪滿 $$ 部分鋪 $$ 不鋪”的過程，不但能理解用面積單位直接測量改成用長度單位進行間接測量的便捷性，而且能理解“長 ?× 寬”所表示的真正意義是“每行單位面積的個數×行數”（如下頁圖1）。

圖1“長 .× 寬”所表示的真正意義

2.具身操作揭示面積度量的核心邏輯

有些教師將“單位面積累加”簡化為公式灌輸，而具身認知強調通過操作體驗構建度量思維。一是面積單位認知：用面積單位，如1平方厘米拼擺不同圖形，學生通過數出面積單位的數量，理解單位面積是度量的基本單元，面積即單位面積的累加。二是轉換思維：將平行四邊形通過剪拼轉化為長方形，手指跟隨剪裁軌跡移動時，能直觀感知形狀改變但占據空間不變，從而理解面積公式的推導邏輯。三是空間推理：用透明面積測量紙測量不規則圖形面積時，通過描邊、計數、估算等動作，建立連續空間離散化的思維，突破精確計算的認知局限。

具身認知視角下的面積教學，需要讓學生在“做中學\"中完成三重轉化。一是物理經驗 $$ 數學概念：通過折疊紙張、測量桌面等活動，將觸感的大小抽象為“面積量\"的數學定義。二是個體體驗 $$ 符號系統：從用小方塊拼擺面積（具身操作）過渡到用公式計算（符號表征），確保形式化知識有扎實的感知基礎。三是靜態認知 $$ 動態推理：在拼圖、切割、縮放等操作中，理解面積的可加性、比例關系等性質，而非機械套用公式。

（二）概念辨析——廓清面積與表面積的空間維度

面積與表面積是兩個重要的基礎概念，卻常因表述相近引發混淆。從空間維度的視角深人剖析，有助于學生清晰把握兩者間的本質差異與內在聯系，促進在解決實踐問題的過程中準確運用。

面積是二維空間的度量概念，它用于衡量平面圖形所占據的區域大小。面積的計算體現了平面內的二維度量，描述的是一個封閉圖形在平面上的延展程度，不涉及物體的厚度與空間的立體結構，其數值大小僅與圖形在二維平面內的邊界輪廓相關。表面積則跨越三維空間的范疇，是對立體物體表面的度量。它指的是三維物體所有表面的面積總和，不僅包含物體各個面在平面上的投影面積，還涵蓋了曲面部分的展開面積。以長方體為例，其表面積是六個長方形的面積之和。表面積的計算需要綜合考慮物體在空間中的立體形態與各個表面之間的關聯，體現的是物體與外部空間的接觸面大小。從空間維度的特性來看，面積與表面積的區別還體現在維度轉換上。當一個二維圖形沿著垂直于自身平面的方向拉伸形成三維物體時，面積成為物體某個截面的度量，而表面積則在面積的基礎上，整合了物體新增的側面等表面信息。這種從二維到三維的轉變，不僅是數值的疊加，更是空間概念的拓展與升華。

學生理解面積與表面積在空間維度上的差異具有重要意義。在解決實際問題時，學生需準確判斷所涉及的是二維平面的面積問題，還是三維物體的表面積問題，從而選擇合適的計算方法與度量方式，避免因概念混淆導致的錯誤。

（三）單位建構—錨定\"面積—表面積\"的度量標尺

在數學知識的廣袤版圖中，度量是極為重要的基石，而“面積一表面積\"的度量更是其中不可或缺的關鍵部分。單位建構如同精準的導航儀，為學生錨定“面積一表面積”的度量“標尺”，助力學生深度理解與熟練掌握這一核心概念。

以面積教學為例，在引入面積概念時，教師可通過豐富多樣的實物，如黑板面、課桌面、書本封面等，引導學生觸摸、觀察，直觀感受物體表面的大小，進而自然引出面積這一抽象概念，即物體表面或封閉圖形的大小。為讓學生理解統一面積單位的必要性，教師可以讓學生比較兩個形狀不同的圖形面積大小。學生起初可能會采用觀察法，對于面積差異較大的圖形，該方法尚可奏效；但面對面積相近的圖形，觀察法便捉襟見肘。此時，重疊法雖能解決部分問題，卻仍存在局限性。直至引入單位圖形，如邊長為1厘米的正方形作為面積單位，學生只有通過用其鋪滿待測量圖形和數個數來比較面積大小，才能發現正方形作為面積單位的優越性一一它能更加精確且便捷地度量面積。在這一過程中，學生親身經歷面積單位的創造與統一過程，深刻領悟到面積度量的本質：用統一的面積單位去覆蓋、累加，從而確定圖形面積的大小。

從面積延伸至表面積，同樣離不開單位建構的支撐。以長方體表面積教學為例，教師可讓學生將長方體紙盒展開，觀察展開后的平面圖形與原長方體各面的對應關系。學生會發現長方體的表面積就是各個面的面積之和。此時，借助已熟悉的面積單位，如平方厘米、平方分米等，去度量每個面的面積，再求和即可得出長方體的表面積。在解決實際問題，如計算長方體形狀的包裝盒用料面積時，學生便能熟練運用單位建構的思維，將復雜的立體圖形表面積計算，拆解為對一個個平面圖形面積的度量與累加，實現從理論認知到實踐應用的跨越。

單位建構是錨定\"面積一表面積\"度量標尺的核心要素。在數學課堂上，學生學習面積、表面積概念時，單位建構可為準確度量搭建穩固橋梁，讓他們在探索數量與空間奧秘的道路上穩步前行。

（四）空間推理 推演“面積一表面積”的立體關聯

在“圖形與幾何\"領域中，空間推理是理解和探索三維世界的重要思維工具。“面積一表面積”的立體關聯推演，便是空間推理的典型應用，它不僅能揭示二維與三維幾何量之間的內在聯系，更能展現人類從平面認知跨越到立體認知的思維躍遷過程。

面積是對二維平面圖形所占區域大小的度量，它描述的是平面上封閉圖形的大小，如長方形的面積通過長與寬的乘積計算，圓的面積則依賴于半徑（或直徑）與圓周率的運算。而表面積是三維立體圖形所有表面面積的總和，涉及多個平面甚至曲面的度量整合。從面積到表面積的推演，先要在腦海中構建起立體圖形的空間結構，這要求學生突破二維平面思維的限制，將平面圖形想象成具有厚度和深度的實體。

以長方體為例，其表面積的計算需要分別考慮六個面的面積。長方體的每個面都是長方形，可以通過計算每個長方形面的面積，再將六個面的面積相加得到表面積。在這個過程中，空間推理體現在對長方體空間結構的理解上：學生要清楚地知道相對的面是完全相同的，通過分組計算能夠簡化計算過程。這種推理過程，讓學生從單純的二維面積計算，過渡到對三維物體表面的綜合考量，建立起平面與立體之間的直接聯系。再看圓柱，它的表面積由兩個底面（圓形）和一個側面（曲面）組成。計算底面面積時，運用圓的面積公式；而側面展開后是一個長方形，其長是底面圓的周長，寬是圓柱的高，通過這種巧妙的轉換，將曲面面積轉化為熟悉的長方形面積進行計算。在這個過程中，空間推理幫助學生將圓柱復雜的曲面結構進行拆解和重構，找到與二維圖形的對應關系，從而實現從面積到表面積的準確推演。

在解決實際問題時，學生對“面積一表面積”的立體關聯推演也非常重要。如計算粉刷教室的內墻面積（類似于表面積概念）時，需要綜合考慮墻面的形狀、窗戶和門等開口部分的面積扣除等因素，這本質上就是對面積與表面積關系的靈活運用。在計算包裝盒的用料面積時，同樣需要基于對立體包裝盒結構的空間理解，將其展開為平面圖形進行面積計算，然后再轉換回立體的表面積概念。

從數學教育的角度來看，推演“面積一表面積\"的立體關聯是培養學生空間思維能力的重要環節。通過對不同立體圖形表面積的推導，學生能夠逐漸建立起空間想象能力，學會從不同角度觀察和分析立體圖形，理解二維與三維之間的轉換規律。這種空間推理能力的培養，不僅有助于數學學科的學習，更是未來從事工程、設計、建筑等諸多領域工作的重要基礎。

綜上所述，“面積一表面積\"的立體關聯推演，是空間推理在數學和現實生活中的精彩呈現。它通過將二維面積概念向三維表面積概念的延伸和拓展，幫助學生更好地理解和把握空間結構，為解決實際問題提供有效的思維方法和工具。

參考文獻：

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[2]馬雪茹，林煥好.經歷度量過程發展學生量感：“面積和面積單位”教學實錄與評析[J].小學數學教育，2025（7）.

（責任編輯：楊強）