三角形中位線的構造與應用淺析

三角形的中位線看似簡單，卻是歷年區域性質量監測或素質測查中的常客，就連中考模擬試題和中招考試真題中都不乏其身影，它是解決三角形問題的重要線段.掌握構造三角形的中位線的方法和靈活應用中位線，可以幫助我們更好地理解和解決三角形的許多問題.本文中擬結合典型例題探究三角形中位線定理的證明、三角形中位線的構造方法及判定和性質在數學問題解決中的應用技巧.

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：重視單元整體教學設計，改變過于注重以課時為單位的教學設計，推進單元整體教學設計，體現數學知識之間的內在邏輯關系，以及學習內容與核心素養表現的關聯[1].單元整體教學設計要整體分析數學內容本質和學生認知規律，合理整合教學內容，分析主題一單元一課時的數學知識和核心素養主要表現，確定單元教學目標，并落實到教學活動各個環節，整體設計，分步實施，促進學生對數學教學內容的整體理解與把握，逐步培養學生的核心素養[2].根據新課標的這一精神，為了對三角形中位線定理有一個整體的認識，我們把“三角形的中位線定理”作為一個獨立的單元或專題做以下解析.

1全面認識三角形中位線定理

三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半.

（1）圖示：如圖 1，DE 是三角形ABC的中位線；

（2）性質： DE//BC ， DE=

圖1

（3）拓展：S△ADE 在解決三角形問題時，若遇到中點或中線，常構

造中位線.這里應記住的口頭禪是：遇到中點或中線， 首先想構造中位線.

2三角形中位線定理的兩種證明方法

證法一：構造平行四邊形證明中位線定理.

已知：如圖1，在△ABC中， D 是 AB 邊的中點， E 是 AC 邊的中點.

求證：

證明：如圖2所示，過點 C 作CF//AB 交DE的延長線于點F ，則 ∠A=∠ECF，∠ADE=∠F 在 ΔADE 和 ΔCFE 中，有∠A=∠ECF ，∠ADE=∠F ，所以 ΔADE? ?AE=CE .

圖2

Δ CFE（AAS）.所以

又因為 BD=AD ，所以 BD=FC ，所以四邊形BCFD是平行四邊形，則 DE//BC，DF=BC 所以 故

證法二：利用三角形相似證明中位線定理.

證明：如圖1，由 D 是 AB 的中點，得

由 E 是 AC 的中點，得 0

所以 （204號業

又 ∠A=∠A ，所以 ΔADE～ΔABC

所以 ∠ADE=∠ABC

故

3中位線的構造方法

3.1連接端點構造中位線

例1如圖3，四邊形ABCD中，∠B 是直角， AB=3，BC=4 ，點 P，Q 分別為線段 CD，BC 上的動點（含端點，但點 P 不與點 c 重合），點 M，N 分別為 AP，PQ 的中點.求MN的最大值.

圖3

解析：如圖4，連接AQ.因為點M，N 分別是線段 PA 和 PQ 的中點，所以 MN 是 ΔPAQ 的中位線.因為點P，Q 分別為線段 CD，BC 上的動點（含端點，但點 P 不與點 c 重合），所以當點 Q 與點 c 重合時，線段 AQ 取最大值，同時MN的值最大.

圖4

3.2連接中點構造中位線

例2如圖5，在邊長為8的等邊三角形ABC中， D 為 AB 邊的中點， F 為 AC 邊的中點， DE⊥BC 于點 Δ_E，G 為 DE 的中點，連接 FG ，則FG 的長為

圖5

解析：如圖6，連接 DF ，則 DF 是等邊三角形 ABC 的中位線，所以 由 DE⊥ BC于點 E ，可得 ∠DEB=90^° 在RtΔDEB 中，

圖6

又 ∠B=60^° ，則sin 所以 DE=BD×sinB=

由 DF//BC ∠DEB=90^° ，可得 ∠FDG=90^° 在 RtΔFDG 中，因為 ，所以 FG=

3.3作垂線構造中位線

例3如圖7，在 RtΔABC 中， ∠ABC=90^°，AB=8，BC= 12，把 ΔABC 繞直角頂點 B 順時針旋轉 90^° 得到 ΔBDE .若 P 是 DE 的中點，連接 PC ，則 PC的長為參

圖7

解析：如圖8，過點 P 作PQ⊥BC 于點 Q ，則 PQ//BE 又 P 是 DE 的中點，所以 DQ= 所以PQ 是 ΔDBE 的中位線.（后續過程略）

圖8

點撥：熟悉“過三角形一邊中點，平行于另一邊的直線，平分第三邊”是證明 DQ=BQ 的關鍵；構造中位線是本題求解的必由之路.

3.4利用角平分線和垂線構造中位線

例4如圖9，在△ABC中， CE 是中線， CD 是 ∠ACB 的平分線， AF⊥CD 于點 F ，BC=12 ， AC=8 ，求 EF 的長.

圖9

解析：如圖10，延長AF ，交 CE 于點 G ，交 CB 于點 H ：

由 CD 是 ∠ACB 的平分線，得 ∠ACF=∠HCF ：

圖10

由 AF⊥CD 于點 F ，得∠AFC=∠HFC

又 CF=CF ，所以 ΔACF?ΔHCF （ASA），則AF=HF .由 CE 是中線，得 E 是 AB 的中點.所以 EF 是 ΔABH 的中位線.（后續過程略）

不難看出，由于三角形的中位線平行于第三邊，因此它具有平移角的作用；因為它等于第三邊的一半，所以它有倍分轉化線段的功能.因此，在解有關三角形問題遇到有中點或中線時，首先應考慮的是構造三角形的中位線.反過來，若知道三角形的中位線，也可迅速找到三角形兩邊的中點.需要強調的是，本文中分享的幾種構造三角形中位線的方法，僅僅是拋轉引玉，真正學好中位線的構造方法，則需依靠在“戰爭中\"學習戰爭，拳不離手，曲不離口，把發現、總結、驗證、應用貫穿于數學教育的始終[3].

參考文獻：

1中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）S.北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]史寧中，曹一鳴.義務教育數學課程標準（2022年版）解讀[M.北京：北京師范大學出版社，2022.

[3]何繼斌.走進重高培優講義·數學A版[M].上海：華東師范大學出版社，2016.Z