應用斯特瓦爾特定理巧解三角形問題

2025-09-09 00:00:00劉凱歌

中學數(shù)學·初中版 2025年8期

斯特瓦爾特定理（Stewart'sTheorem）是平面幾何中的一個重要定理，適用于三角形的邊和中線關系.具體來說，斯特瓦爾特定理描述了一條線段連接一個三角形的頂點與其對邊上的任意一點時，各部分線段的平方和的關系.

1定理呈現(xiàn)

斯特瓦爾特定理：對任意三角形 ABC ，設 D 是邊BC上的一點.定義 BD=m DC=n ，同時令 AD=d .AB=c，AC=b，BC=a ，則 b²m+c²n=a（d²+mn）

推論1：設 P 為等腰三角形 ABC 的底邊 BC 上任一點，則 AP²=AB²-BP?PC.

注：此推論也可視為以 A 為圓心， AB 為半徑的圓中的圓冪定理.

推論2：設 AP 為 ΔABC 的 BC 邊上的中線，則

推論3：設 AP 為 ΔABC 的角 A 的內(nèi)角平分線，則 AP²=AB?AC-BP?PC.

推論4：設 AP 為 ΔABC 的角 A 的外角平分線，則 AP²=-AB?AC+BP?PC

推論5：在 ΔABC 中，若 P 分線段BC滿足 λ ，則 AP²=λ（λ-1）BC²+（1-λ）AB²+λAC². 注：若，則

斯特瓦爾特定理是解決涉及線段分割及其平方和的復雜幾何問題的有力工具.它通過幾何和代數(shù)的方式描述了在特定三角配置下關于線長平方和的具體公式.該定理在涉及三角形的中線、角平分線或梯形等圖形的幾何問題中特別有用，尤其是在需要計算某些距離或驗證特定點和直線的屬性時，它可以為解題提供簡化和準確的路徑.該定理為復雜的幾何問題提供了強有力的解法工具.

2斯特瓦爾特定理的優(yōu)勢

例1給定△ABC，其中頂點 A 的坐標為（0，0），B 的坐標為（6，0），C 的坐標（4，8）.點 D 在邊 BC 上，且 BD：DC=2：3 求 AD 的長度.

解法1：常規(guī)方法.

由點的分割公式，可知即

由距離公式，可知解法2：用斯特瓦爾特定理.

由題意可知 ; c=AB=6 ：由斯特瓦爾特定理，得（2號，整理得化簡得，解得

解法對比：對比上述例題的不同解法，不難發(fā)現(xiàn)斯特瓦爾特定理提供了直接的代入解法，減少了繁雜的計算，適合于需要考慮多種邊長權重的問題.該定理應用靈活，通過斯特瓦爾特定理，可以直接處理較復雜的比例關系情形，而不必專注于中間點坐標的精確計算；它突出展示了分析與計算中的代數(shù)一致性.因此，斯特瓦爾特定理通過將數(shù)與形直觀結合，不僅在步驟上減少了計算的復雜性，也在應用的靈活性與普適性上體現(xiàn)了其優(yōu)越性.

例2在三角形 ABC 中，已知 AB=8，BC=10 ，AC=6，BD：DC=2：3 ，求 AD 的長.

解法1：利用坐標法.

假設點 B 的坐標為（0，0），點 c 的坐標為（10，0），設 A（x，y），則，，聯(lián)立方程組，得則由 BD ：DC=2：3 ，得 BD=4，DC=6 ，則點 D（4，0） .所以由兩點間距離公式得

解法2：應用斯特瓦爾特定理.

依題，可知 BD=4，CD=6. 根據(jù)斯特瓦爾特定理，可得 36×4+64×=10（AD²+24），解得 AD=

解法比較：對比上述兩種解法不難發(fā)現(xiàn)，坐標法需要設定點坐標、求解方程組以及求兩點間的距離，步驟相對較多，且容易造成錯誤（如高度計算誤等）.相較之下，斯特瓦爾特定理法僅需要處理邊的比例關系，代數(shù)計算直接，步驟更為簡潔明了，并且避免了復雜的坐標計算.顯然，傳統(tǒng)幾何法雖然詳細，但在處理類似問題時顯得繁瑣且易出錯.斯特瓦爾特定理顯著提高了問題解決的效率，在邊長已知的情況下，根據(jù)比例關系計算出相關線段的長度，省略了復雜的幾何計算步驟.

3定理應用舉例

例3 已知凸四邊形ABCD 中， ∠ABC=60^° .∠BAD=∠BCD=90^°， AB=2，CD=1 ，對角線 AC BD 交于點 O. 求：