一次函數(shù)解決實(shí)際問題的解題要點(diǎn)

一次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)非常重要的知識(shí)點(diǎn)，也是解決實(shí)際問題的重要工具[1].為提高運(yùn)用一次函數(shù)解決實(shí)際問題的能力，學(xué)習(xí)過程中應(yīng)做好實(shí)際問題情境的總結(jié)與歸類，做好解題過程的梳理，把握不同實(shí)際問題解題的細(xì)節(jié)及注意事項(xiàng)，在以后遇到類似的問題時(shí)能迅速破題，提高解題效率，

1三類一次函數(shù)實(shí)際問題例析

1.1表格類實(shí)際問題

在部分實(shí)際問題情境中會(huì)以表格的形式展示相關(guān)內(nèi)容及數(shù)據(jù)，要求解決相關(guān)問題.解答該類實(shí)際問題時(shí)，應(yīng)注意認(rèn)真閱讀表格，包括表頭、表格中涉及的內(nèi)容、數(shù)據(jù)等，通過數(shù)據(jù)的縱向及橫向?qū)Ρ忍綄?shù)據(jù)之間內(nèi)在邏輯關(guān)系，并根據(jù)要求解的問題構(gòu)建一次函數(shù)，分析、計(jì)算出結(jié)果，

例1（2025年淮安市模擬第21題）某超市準(zhǔn)備銷售A，B兩種水杯，于是按照如表1所示的數(shù)據(jù)進(jìn)了兩次貨.

表1

（1）A，B兩種水杯的進(jìn)價(jià)分別是多少元？

（2）在銷售中發(fā)現(xiàn)，每銷售出一個(gè)A、一個(gè)B水杯分別可以獲利10元、9元.超市決定第3次共進(jìn)貨10000元購(gòu)買兩種水杯，每售出一個(gè)A水杯就捐 b 元做福利事業(yè).若兩種水杯全部售完，捐款后所得的利潤(rùn)始終不變，求 b 及捐款后獲得的利潤(rùn).

解析：對(duì)于問題（1），根據(jù)題意通過設(shè)出兩個(gè)參數(shù)構(gòu)造二元一次方程組進(jìn)行求解；問題（2）考查對(duì)一次函數(shù)的靈活應(yīng)用，可以根據(jù)題干描述，構(gòu)建利潤(rùn)與A水杯數(shù)量之間的一次函數(shù)關(guān)系，并根據(jù)“捐款后所得的利潤(rùn)始終不變”確定 b 的值，最終求出結(jié)果.

（1）根據(jù)題意設(shè)A種型號(hào)的水杯進(jìn)價(jià)為 x 元，B種型號(hào)的水杯進(jìn)價(jià)為 元，由表1中的數(shù)據(jù)可得

（204 解得 則A種型號(hào)的， 1水杯進(jìn)價(jià)為20元， B 種型號(hào)的水杯進(jìn)價(jià)為30元.

（2）根據(jù)題意設(shè)捐款后的利潤(rùn)為 w 元，購(gòu)進(jìn) Δ_a 個(gè) A水杯，則有 （4-b）a+3000. （2

捐款后所得的利潤(rùn)始終不變，表明 w 的值和 a 值 無關(guān)，則 4-b=0 ，即 b=4 ，此時(shí) .故捐款后所 得的利潤(rùn)始終不變時(shí) b 為4元，獲得的利潤(rùn)為3000元.

1.2圖象類實(shí)際問題

圖象類實(shí)際問題，顧名思義，指含有相關(guān)參數(shù)變化圖象的實(shí)際問題.解答該類實(shí)際問題時(shí)，應(yīng)把握三點(diǎn)：其一，通過閱讀題干內(nèi)容，吃透題意；其二，認(rèn)真閱讀圖象內(nèi)容，結(jié)合圖象中各種線的變化，嘗試對(duì)實(shí)際問題情境進(jìn)行還原，進(jìn)一步加深對(duì)題干的理解；其三，結(jié)合圖象中給出的坐標(biāo)，嘗試求解對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)表達(dá)式.

例2（2025年南京市模擬第22題）已知甲車從 M 地出發(fā)勻速開往 N 地，出發(fā) ²h 以后，乙車從 N 地以 90km/h 的速度勻速開往 M 地.最終兩車同時(shí)到達(dá) N 地和 M 地.兩車之間的距離 （單位： km ）與甲車行駛的時(shí)間 x （單位： 之間的函數(shù)關(guān)系如圖1所示.

圖1

（1）求甲車的速度及 a 的值；

（2）求乙車出發(fā)后， y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）當(dāng)甲、乙兩車相距 120km 時(shí)，求甲車行駛的時(shí)間 x ：

解析：對(duì)于問題（1），根據(jù)題干內(nèi)容可知該問題情境屬于行程問題，通過觀察圖象中的坐標(biāo)，結(jié)合路程、速度與時(shí)間的關(guān)系，求出對(duì)應(yīng)的參數(shù).問題（2），圖象中的線是直線，因此，注重聯(lián)系一次函數(shù)知識(shí)通過待定系數(shù)法求出表達(dá)式，并標(biāo)明對(duì)應(yīng)的自變量范圍.問題（3），應(yīng)注重根據(jù)求出的一次函數(shù)表達(dá)式通過分類討論求出 x 的值.

（1）由圖象可得甲車的速度為 （360-240）÷2= 60（km/h）.M，N 兩地之間的距離為 360km ，由于甲車勻速行駛，則 a=360÷60=6（h） ·

（2）乙車出發(fā)后，圖象由兩段一次函數(shù)圖象構(gòu)成，從點(diǎn) A 到點(diǎn) B ，甲、乙兩車相向而行，可求得點(diǎn) B 的橫坐標(biāo)為 2+240÷（60+90）=3.6.

當(dāng) 2?x?3.6 時(shí)，設(shè) 與 x 的函數(shù)關(guān)系式為 y= kx+b（k≠0） ，將點(diǎn)（2，240），（3.6，0）代入，可得 ， 解得 50， 則 y=-150x+540 當(dāng) 3.6

），綜上，

（3）當(dāng) 2?x?3.6 時(shí)，令 _y=120 ，則 -150x+ 540=120 ，解得 x=2.8 ；當(dāng) 3.6y=120 .則 150x-540=120 ，解得 x=4.4 ：

故 x=2.8 或 x=4.4 ：

1.3確定方案類實(shí)際問題

數(shù)學(xué)知識(shí)可以指導(dǎo)人們的生產(chǎn)生活，幫助人們做出正確、合理的決策[2].在一些實(shí)際問題情境中，要求基于對(duì)實(shí)際問題情境的認(rèn)真分析，結(jié)合一次函數(shù)給出不同的解決方案，并通過計(jì)算選擇符合需要的方案.解答該類實(shí)際問題時(shí)，應(yīng)根據(jù)方案要求構(gòu)造不等關(guān)系，確定滿足題意的參數(shù)取值范圍，而后結(jié)合一次函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行分析、選擇.

例3（2025年連云港市中考第6題）《九章算術(shù)》中有一個(gè)問題：“今有鳧起南海.七日至北海；雁起北海，九日至南海.今鳧雁俱起，問何日相逢？\"（鳧：野鴨，所提問題即“野鴨與大雁從南海和北海同時(shí)起飛，經(jīng)過多少天能夠相遇？\"）如果設(shè)經(jīng)過 x 天能夠相遇，根據(jù)題意，得（ ）.

解：根據(jù)野鴨和大雁到達(dá)目的地所需時(shí)間，可得出野鴨每天飛行全程的 ，大雁每天飛行全程的 利用總路程 O= 野鴨的飛行速度 x 時(shí)間 + 大雁的飛行速度 x 時(shí)間，即可列出關(guān)于 x 的一元一次方程.

綜上所述，由于實(shí)際問題情境不同，運(yùn)用一次函數(shù)解題的要點(diǎn)也存在差別.學(xué)習(xí)的過程中，既要注重理解、牢固掌握一次函數(shù)知識(shí)，打牢基礎(chǔ)，又要做好解題后的回顧與總結(jié)，關(guān)注解題細(xì)節(jié)，把握解題要點(diǎn).

2解題要點(diǎn)總結(jié)

在實(shí)際教學(xué)中，不同類型的問題雖然情境各異，但其解題過程通常遵循統(tǒng)一的基本路徑，即從“情境理解”出發(fā)，進(jìn)行“數(shù)量抽象”，再到“函數(shù)建?！?，最終通過“代入運(yùn)算與邏輯推理\"求解目標(biāo).這一過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的基本思想，是一次函數(shù)應(yīng)用能力培養(yǎng)的關(guān)鍵.

以表格類問題為例，這類題型通常通過呈現(xiàn)一組或多組變量之間的數(shù)值關(guān)系，要求學(xué)生識(shí)別變量間的等量關(guān)系并構(gòu)建函數(shù)表達(dá)式.解題時(shí)要特別注意從表頭和表格數(shù)據(jù)中提取有效信息，合理設(shè)元，將數(shù)據(jù)之間的增減變化轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)模型，常涉及利潤(rùn)、價(jià)格、成本等概念.在這類題中，學(xué)生往往需要通過方程組或表達(dá)式的建立來確定變量間的定量關(guān)系，并進(jìn)一步構(gòu)造表達(dá)式反映某一變量關(guān)于另一變量的變化趨勢(shì).

而圖象類問題則以圖象為主要信息載體，通過折線圖或直線圖表達(dá)變量關(guān)系，學(xué)生需善于識(shí)別關(guān)鍵點(diǎn)、斜率、截距等圖象特征，進(jìn)而推導(dǎo)出一次函數(shù)的解析式，并結(jié)合題意完成數(shù)值計(jì)算、變化判斷等操作.圖象類問題通常結(jié)合路程、速度、時(shí)間等實(shí)際背景，要求學(xué)生具有較強(qiáng)的圖象識(shí)讀能力和函數(shù)建模能力，特別是在面對(duì)分段圖象時(shí)，還要關(guān)注自變量取值范圍和函數(shù)表達(dá)式的適用性.

而確定方案類問題更加強(qiáng)調(diào)一次函數(shù)在生活實(shí)際中的應(yīng)用，如成本控制、路徑優(yōu)化、方案選擇等，解題的關(guān)鍵在于將實(shí)際語言表述中的條件提煉成函數(shù)關(guān)系或等量式，通過比較分析或邏輯推理得出最優(yōu)選擇.這類題目不僅考查學(xué)生的建模能力，更關(guān)注其綜合運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行方案判斷的能力.

綜合上述三類題型的分析可見，雖然情境表達(dá)方式不同，但其本質(zhì)都是要求學(xué)生在具體問題中提取出具有線性特征的數(shù)量關(guān)系，并通過一次函數(shù)進(jìn)行建模與求解.在教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際語境中提取數(shù)量關(guān)系、合理設(shè)元，明確一次函數(shù)的本質(zhì)含義，并強(qiáng)化對(duì)一次函數(shù)圖象、代數(shù)表達(dá)、解題策略的系統(tǒng)理解.同時(shí)，要鼓勵(lì)學(xué)生在解題后進(jìn)行反思與遷移，通過歸納相似結(jié)構(gòu)、提煉通用方法來構(gòu)建屬于自己的解題體系.只有真正掌握從實(shí)際問題中抽象、建模、求解的全過程，學(xué)生才能在面對(duì)復(fù)雜多樣的一次函數(shù)應(yīng)用問題時(shí)游刃有余，提升解決實(shí)際問題的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]郭艷軍.初中數(shù)學(xué)一次函數(shù)實(shí)際應(yīng)用的不同題型[J].數(shù)理天地（初中版），2024（20）：6-7.

[2]陸瑋.建立一次函數(shù)模型解決實(shí)際問題[J].現(xiàn)代中學(xué)生（初中版），2023（22）：33-34.Z