一次函數解決實際問題的解題要點

一次函數是初中數學非常重要的知識點，也是解決實際問題的重要工具[1].為提高運用一次函數解決實際問題的能力，學習過程中應做好實際問題情境的總結與歸類，做好解題過程的梳理，把握不同實際問題解題的細節及注意事項，在以后遇到類似的問題時能迅速破題，提高解題效率，

1三類一次函數實際問題例析

1.1表格類實際問題

在部分實際問題情境中會以表格的形式展示相關內容及數據，要求解決相關問題.解答該類實際問題時，應注意認真閱讀表格，包括表頭、表格中涉及的內容、數據等，通過數據的縱向及橫向對比探尋數據之間內在邏輯關系，并根據要求解的問題構建一次函數，分析、計算出結果，

例1（2025年淮安市模擬第21題）某超市準備銷售A，B兩種水杯，于是按照如表1所示的數據進了兩次貨.

表1

（1）A，B兩種水杯的進價分別是多少元？

（2）在銷售中發現，每銷售出一個A、一個B水杯分別可以獲利10元、9元.超市決定第3次共進貨10000元購買兩種水杯，每售出一個A水杯就捐 b 元做福利事業.若兩種水杯全部售完，捐款后所得的利潤始終不變，求 b 及捐款后獲得的利潤.

解析：對于問題（1），根據題意通過設出兩個參數構造二元一次方程組進行求解；問題（2）考查對一次函數的靈活應用，可以根據題干描述，構建利潤與A水杯數量之間的一次函數關系，并根據“捐款后所得的利潤始終不變”確定 b 的值，最終求出結果.

（1）根據題意設A種型號的水杯進價為 x 元，B種型號的水杯進價為 元，由表1中的數據可得

（204 解得 則A種型號的， 1水杯進價為20元， B 種型號的水杯進價為30元.

（2）根據題意設捐款后的利潤為 w 元，購進 Δ_a 個 A水杯，則有 （4-b）a+3000. （2

捐款后所得的利潤始終不變，表明 w 的值和 a 值 無關，則 4-b=0 ，即 b=4 ，此時 .故捐款后所 得的利潤始終不變時 b 為4元，獲得的利潤為3000元.

1.2圖象類實際問題

圖象類實際問題，顧名思義，指含有相關參數變化圖象的實際問題.解答該類實際問題時，應把握三點：其一，通過閱讀題干內容，吃透題意；其二，認真閱讀圖象內容，結合圖象中各種線的變化，嘗試對實際問題情境進行還原，進一步加深對題干的理解；其三，結合圖象中給出的坐標，嘗試求解對應的一次函數表達式.

例2（2025年南京市模擬第22題）已知甲車從 M 地出發勻速開往 N 地，出發 ²h 以后，乙車從 N 地以 90km/h 的速度勻速開往 M 地.最終兩車同時到達 N 地和 M 地.兩車之間的距離 （單位： km ）與甲車行駛的時間 x （單位： 之間的函數關系如圖1所示.

圖1

（1）求甲車的速度及 a 的值；

（2）求乙車出發后， y 與 x 之間的函數關系式；

（3）當甲、乙兩車相距 120km 時，求甲車行駛的時間 x ：

解析：對于問題（1），根據題干內容可知該問題情境屬于行程問題，通過觀察圖象中的坐標，結合路程、速度與時間的關系，求出對應的參數.問題（2），圖象中的線是直線，因此，注重聯系一次函數知識通過待定系數法求出表達式，并標明對應的自變量范圍.問題（3），應注重根據求出的一次函數表達式通過分類討論求出 x 的值.

（1）由圖象可得甲車的速度為 （360-240）÷2= 60（km/h）.M，N 兩地之間的距離為 360km ，由于甲車勻速行駛，則 a=360÷60=6（h） ·

（2）乙車出發后，圖象由兩段一次函數圖象構成，從點 A 到點 B ，甲、乙兩車相向而行，可求得點 B 的橫坐標為 2+240÷（60+90）=3.6.

當 2?x?3.6 時，設 與 x 的函數關系式為 y= kx+b（k≠0） ，將點（2，240），（3.6，0）代入，可得 ， 解得 50， 則 y=-150x+540 當 3.6

），綜上，

（3）當 2?x?3.6 時，令 _y=120 ，則 -150x+ 540=120 ，解得 x=2.8 ；當 3.6y=120 .則 150x-540=120 ，解得 x=4.4 ：

故 x=2.8 或 x=4.4 ：

1.3確定方案類實際問題

數學知識可以指導人們的生產生活，幫助人們做出正確、合理的決策[2].在一些實際問題情境中，要求基于對實際問題情境的認真分析，結合一次函數給出不同的解決方案，并通過計算選擇符合需要的方案.解答該類實際問題時，應根據方案要求構造不等關系，確定滿足題意的參數取值范圍，而后結合一次函數性質進行分析、選擇.

例3（2025年連云港市中考第6題）《九章算術》中有一個問題：“今有鳧起南海.七日至北海；雁起北海，九日至南海.今鳧雁俱起，問何日相逢？\"（鳧：野鴨，所提問題即“野鴨與大雁從南海和北海同時起飛，經過多少天能夠相遇？\"）如果設經過 x 天能夠相遇，根據題意，得（ ）.

解：根據野鴨和大雁到達目的地所需時間，可得出野鴨每天飛行全程的 ，大雁每天飛行全程的 利用總路程 O= 野鴨的飛行速度 x 時間 + 大雁的飛行速度 x 時間，即可列出關于 x 的一元一次方程.

綜上所述，由于實際問題情境不同，運用一次函數解題的要點也存在差別.學習的過程中，既要注重理解、牢固掌握一次函數知識，打牢基礎，又要做好解題后的回顧與總結，關注解題細節，把握解題要點.

2解題要點總結

在實際教學中，不同類型的問題雖然情境各異，但其解題過程通常遵循統一的基本路徑，即從“情境理解”出發，進行“數量抽象”，再到“函數建模”，最終通過“代入運算與邏輯推理\"求解目標.這一過程體現了數學建模的基本思想，是一次函數應用能力培養的關鍵.

以表格類問題為例，這類題型通常通過呈現一組或多組變量之間的數值關系，要求學生識別變量間的等量關系并構建函數表達式.解題時要特別注意從表頭和表格數據中提取有效信息，合理設元，將數據之間的增減變化轉化為一次函數模型，常涉及利潤、價格、成本等概念.在這類題中，學生往往需要通過方程組或表達式的建立來確定變量間的定量關系，并進一步構造表達式反映某一變量關于另一變量的變化趨勢.

而圖象類問題則以圖象為主要信息載體，通過折線圖或直線圖表達變量關系，學生需善于識別關鍵點、斜率、截距等圖象特征，進而推導出一次函數的解析式，并結合題意完成數值計算、變化判斷等操作.圖象類問題通常結合路程、速度、時間等實際背景，要求學生具有較強的圖象識讀能力和函數建模能力，特別是在面對分段圖象時，還要關注自變量取值范圍和函數表達式的適用性.

而確定方案類問題更加強調一次函數在生活實際中的應用，如成本控制、路徑優化、方案選擇等，解題的關鍵在于將實際語言表述中的條件提煉成函數關系或等量式，通過比較分析或邏輯推理得出最優選擇.這類題目不僅考查學生的建模能力，更關注其綜合運用函數性質進行方案判斷的能力.

綜合上述三類題型的分析可見，雖然情境表達方式不同，但其本質都是要求學生在具體問題中提取出具有線性特征的數量關系，并通過一次函數進行建模與求解.在教學實踐中，教師應注重引導學生從實際語境中提取數量關系、合理設元，明確一次函數的本質含義，并強化對一次函數圖象、代數表達、解題策略的系統理解.同時，要鼓勵學生在解題后進行反思與遷移，通過歸納相似結構、提煉通用方法來構建屬于自己的解題體系.只有真正掌握從實際問題中抽象、建模、求解的全過程，學生才能在面對復雜多樣的一次函數應用問題時游刃有余，提升解決實際問題的數學素養.

參考文獻：

[1]郭艷軍.初中數學一次函數實際應用的不同題型[J].數理天地（初中版），2024（20）：6-7.

[2]陸瑋.建立一次函數模型解決實際問題[J].現代中學生（初中版），2023（22）：33-34.Z