追根溯源尋本質(zhì) 回歸課本探究竟

在一次考試中有下面這樣一道題.第一問學(xué)生基本都做出來了，第二問少部分學(xué)生沒有分類，只求出了一種情況，第三問幾乎沒有學(xué)生做出來.在與學(xué)生對話中了解到：沒有同學(xué)想到課本上曾經(jīng)出現(xiàn)過的一個情境是這道題的解題關(guān)鍵.這不禁讓筆者反思是什么原因?qū)е聦W(xué)生解決問題時不去聯(lián)想課本上的內(nèi)容？在與同組老師溝通后，發(fā)現(xiàn)大部分老師平時教學(xué)不重視課本例題，不能以課本為“本”，教學(xué)細節(jié)抓得不夠，不能深挖教材，只是側(cè)重各類題型的訓(xùn)練，因此造成了這一現(xiàn)象.于是打算針對這一道題上一節(jié)專題課，以期大家能夠重視回歸課本.

1一題一課案例展示

1.1試題呈現(xiàn)

發(fā)現(xiàn)問題：

（1）如圖 ^1，AB 為 ?O 的直徑，請在 上求作一點 P ，使 ∠ABP= 45^° （不必寫作法）

問題探究：

圖1

（2）如圖2，等腰直角三角形 ABC 中， 是_AB 上一點， ，在BC邊上是否存在點 P ，使 ∠APD= 45°？若存在，求出 BP 的長度；Bamp;若不存在，請說明理由.

圖2

問題解決：

（3）圖3為矩形足球場的示意圖，其中寬 AB=66m ，球門EF=8m ，且 EB=FA .點 P，Q 分別為 BC，AD 上的點， BP= 7m ∠BPQ=135^° ，一位左前鋒球員從點 P 處帶球，沿 PQ 方向跑動，球員在 PQ 上的何處才能使射門角度 ∠EMF ）最大？求出此時 PM 的長度.

圖3

1.2試題解析

對于第（1）問有如下兩種方法：

方法一：如圖4所示，作 _AB 的垂直平分線交 ?O 于點 P ，P^′ ，則點 P 或 P^′ 即為所求.主要依據(jù)是“圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半”

圖4

方法二：利用含 45^° 角的三角板，頂點與點 B 重合，一邊與 AB 重合，沿另一邊畫線即可.但要注意因為不確定點 P 是在 _AB 左側(cè)還是右側(cè)，所以有兩種情況.

教師啟問：這一問主要考查了什么知識？

學(xué)生回答：圓周角，圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半.

對于第（2）問，如圖5和圖6所示，由“一線三等角\"模型，易證 ΔBPD～ΔCAP ，根據(jù)相似三角形的 （20號性質(zhì)得出比例式 ，設(shè) BP=x ，則 CP=6-x 得 ，解得 ，所以 或 ：

圖5

圖6

教師啟問：這一問中 ∠APD 的大小是否發(fā)生了變化？為什么？是怎樣變化的？

學(xué)生回答： ∠APD 的大小發(fā)生了變化.因為點 A ，D 為定點， P 為 BC 邊上的動點，所以隨著點 P 從點B 到點 c 的運動， ∠APD 的大小發(fā)生變化，由小變大再變小，存在兩個時刻使 ∠APD=45^° ：

下面重點解決第（3）問：

教師啟問：第（3）問中的 ∠EMF 與第（2）問中的∠APD 有什么相似之處嗎？

學(xué)生回答：兩點為定點，頂點為動點.

教師啟問： ∠EMF 是如何變化的？大家可以動手畫畫圖.

學(xué)生回答：由小變大再變小.

教師啟問：是否存在某個時刻使 ∠EMF 最大？

學(xué)生回答：存在.

教師啟問：那么什么時候EMF最大呢？

學(xué)生沒有回答.

教師啟問：同學(xué)們有沒有在教材中看到過踢足球與射門有關(guān)的情境？

1.3重溫教材

北師大版教材數(shù)學(xué)九年級下冊第三章“圓\"的第4節(jié)“圓周角和圓心角的關(guān)系”中，有情境引入環(huán)節(jié)：在射門游戲中（如圖7），球員射中球門的難易程度與他所處的位置 B 對球門 AC 的張角 ∠ABC） 有關(guān).當(dāng)球員在 B，D，E 處射門時，他所處的位置對球門 AC 分別形成三個張角 ∠ABC . ∠ADC . ∠AEC .這三個角的大小有什么關(guān)系？

圖7

教材這一環(huán)節(jié)的設(shè)計意圖是引入圓周角定義，讓學(xué)生初步直觀感知同弧所對的圓周角相等.如果教學(xué)時僅僅停留在這一層面，那么上述試題學(xué)生做不出來也就很正常了.如果在探究完新知識后，多問一下“球員射中球門的難易程度與他所處的位置 B 對球門 AC 的張角（ ∠ABC ）有什么關(guān)系？\"這樣深人挖掘課本題材，那么可能有的學(xué)生就會把上述試題和踢球問題聯(lián)系起來，從而解決問題.根據(jù)經(jīng)驗，張角越大越容易射人球門.

接下來，筆者讓學(xué)生與教材在該節(jié)課后“問題解決\"的第4題聯(lián)系起來，加深學(xué)生對圓周角的認識.

課后“問題解決\"第4題：船在航行過程中，船長常常通過測定角度來解決是否會遇到暗礁.如圖8，A，B 表示燈塔，暗礁分布在經(jīng)過A，B 兩點的一個圓形區(qū)域內(nèi)，優(yōu)弧 _AB 上任一點 c 都是有觸礁危險的臨界點， ∠ACB 就是“危險角”當(dāng)船 P 位于安全區(qū)域時，它與兩個燈塔的夾角∠α 與“危險角”有怎樣的大小關(guān)系？

圖8

解析：如圖9，設(shè) AP 交 ?O 于點 D ，連接 BD ，根據(jù)三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角，得 ∠ADBgt;∠APB .再根據(jù)同弧所對的圓周角相等，得 ∠ADB= ∠ACB .可知，當(dāng)船 P 位于安全區(qū)域時， ∠α 小于“危險角”得出同弧所對圓周角大于圓外角．

圖9

1.4解決問題

在充分做好這些鋪墊后，再來看上述試題的第（3）問與圓周角的聯(lián)系.在左前鋒球員從點 P 處沿 PQ 方向帶球跑動時， ∠EMF 是由小變大再變小變化的.點 E，M，F(xiàn) 是不在同一直線上的三個點，根據(jù)“不在同一直線上的三個點確定一個圓”，過點 E，F(xiàn)，M 作?O ∠EMF 就是弧 EF 所對的圓周角，要使 ∠EMF 最大，只要 ?O 與 PQ 相切于點 M ，由“圓內(nèi)角大于圓周角，圓周角大于圓外角”，可知此時 ∠EMF 最大，如圖10.

圖10

圖11

分析：在點 M 由點 P 向點 Q 運動的過程中， ?O 與 PQ 的位置關(guān)系由相交到相切再到相交（此過程通過幾何畫板動態(tài)演示，也可以讓學(xué)生畫出點 M 在幾個不同位置時的圖形，就可以發(fā)現(xiàn) ?O 與 PQ 的位置關(guān)系）.在相交的過程中，如圖11，此時在圓內(nèi)線段 M^′ G 上存在點 M ，使得 ∠EMFgt;∠EM^′F ，只有當(dāng) ?O 與 PQ 相切時， ∠EMF=∠EM^′F ，此時 ∠EMF 最大.

下面給出第（3）問的解析：

如圖10，由 AB=66 . EF=8 ， EB=FA ，可得EB=29.

延長 AB，QP 交于點 N .由 ∠BPQ=135^° ，得 ∠BPN=45^°

由 BN=BP=7 ，得 易求得NE=36，NF=44

由 ∠N=∠N，∠NME=∠NFM ，得 ΔNEMΔ ΔNMF ，所以 A

所以 NM²=NE?NF ，則 所以

答：當(dāng)球員在 PQ 上距離點 P 為 時，才能使射門角度最大，此時 PM 的長度為（12

2課后反思

針對學(xué)生不能把與教材高度相關(guān)的問題和教材緊密聯(lián)系起來，反思平時的教學(xué)，究其原因在于大多數(shù)教師沒有脫離傳統(tǒng)的講解式教學(xué)模式，教學(xué)時只是對教材內(nèi)容進行一一講解，配合題海戰(zhàn)術(shù)，急于求成地使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識，不能深挖教材，引領(lǐng)學(xué)生深度學(xué)習(xí).這種教學(xué)模式只是一個單向傳遞知識的過程，教師講授，學(xué)生被動接受.這樣不僅不能調(diào)動學(xué)生的主動學(xué)習(xí)意愿，更不能培養(yǎng)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的能力.如此下去，無論是老師還是學(xué)生，認知深度都不會提高，知識結(jié)構(gòu)也無法建構(gòu).

通過調(diào)查學(xué)生這道題的思維難點，發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維水平處于較低層次，主要體現(xiàn)在知識碎片化、認知膚淺、缺乏質(zhì)疑精神，這些都不利于學(xué)生形成系統(tǒng)知識網(wǎng)絡(luò)，更不利于思維發(fā)展.

為了改變這種狀況，教師應(yīng)該從單一傳授走向多維啟發(fā)，從單一的知識傳授者轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)習(xí)的促進者和引導(dǎo)者，通過多維度的教學(xué)策略啟發(fā)學(xué)生思維，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)問題解決能力.

3教學(xué)啟示

3.1挖掘教材，發(fā)揮教材的內(nèi)在潛能

教材有著豐富的資源，教材編寫者賦予了其深厚的內(nèi)涵.引導(dǎo)學(xué)生有目的、有意識地研究教材，不僅可以加強對本節(jié)課知識點的理解與鞏固，還可以讓學(xué)生運用發(fā)散思維進行思考，增強知識間的綜合聯(lián)系[1].另外，歷年來的中考試題都有來源于課本的試題，有的是直接引用、有的是加工改造，還有的是拓展延伸.因此，在教學(xué)中要深人挖掘課本例習(xí)題及“數(shù)學(xué)活動\"的潛在價值，通過變式訓(xùn)練，不斷激勵學(xué)生去思考問題，開闊視野，建構(gòu)更加合理的知識網(wǎng)絡(luò).我們在教學(xué)中要善于“借題發(fā)揮”，擺脫“題海戰(zhàn)術(shù)”，讓學(xué)生既樂學(xué)，又學(xué)得扎實、高效.

3.2深度學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能

教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認知發(fā)展程度和已有的經(jīng)驗為基礎(chǔ)，面向全體學(xué)生，注重啟發(fā)式和因材施教.學(xué)生深度學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)有賴于教師的有效引導(dǎo)，教師要發(fā)揮主導(dǎo)作用，處理好講授與學(xué)生自主學(xué)習(xí)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生獨立思考、主動探究、合作交流，使學(xué)生理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.在新課程改革背景下，學(xué)生根據(jù)教師設(shè)置的例題或?qū)W習(xí)主題進行深入探究、分析，以此掌握學(xué)科知識要點，并能利用所學(xué)知識或已有的知識經(jīng)驗解答實際問題，突破對知識概念的表層理解.在此基礎(chǔ)上，幫助學(xué)生建立深度學(xué)習(xí)思維，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效果.

3.3一題一課，挖掘?qū)ｎ}的引領(lǐng)價值

“一題一課\"指的是教師根據(jù)一個綜合性的問題進行分解和重組，追根溯源找到課本中相關(guān)聯(lián)的知識點，鏈接知識點成網(wǎng)絡(luò)[2].在深化教育改革的今天，數(shù)學(xué)知識、思想、方法、觀念都是在解決問題的過程中發(fā)展起來的.教師應(yīng)該及時發(fā)現(xiàn)學(xué)生的困惑，尤其是重點、難點問題，要善于尋找典例，巧用變式與拓展，利用多種教學(xué)形式挖掘其價值，達到對學(xué)生思維的訓(xùn)練，教學(xué)時在緊扣教材的同時，合理設(shè)計“一題一課\"變式訓(xùn)練，讓學(xué)生更加深刻地理解所學(xué)知識，從而促進和增強學(xué)生思維的深刻性與延展性，充分培養(yǎng)學(xué)生思維的應(yīng)變能力、想象力及創(chuàng)造力.

3.4精心設(shè)計，讓核心素養(yǎng)落地生根

打破傳統(tǒng)的講授式教學(xué)模式，構(gòu)建一個以學(xué)生為中心的學(xué)習(xí)體系.教師需要設(shè)計富有意義和價值的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生主動探索，而非僅僅提供標準答案.瑞士教育學(xué)家裴斯泰洛齊認為[3：“教學(xué)的首要任務(wù)應(yīng)該是發(fā)展學(xué)生的思維，而不是知識的積累.”在教學(xué)設(shè)計中優(yōu)化探究活動，啟發(fā)學(xué)生思考，關(guān)注核心素養(yǎng)的培養(yǎng).讓學(xué)生經(jīng)歷猜想、探究、質(zhì)疑、驗證的過程，對知識進行整合，以實現(xiàn)掌握知識、關(guān)注本質(zhì)、理解原理、形成能力、發(fā)展素養(yǎng)的目標，促使學(xué)生構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，提高數(shù)學(xué)建模能力，從而實現(xiàn)從知識到技能、從基本思想到基本活動經(jīng)驗的提升，全面提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

總之，以學(xué)生的學(xué)習(xí)和思維發(fā)展為中心，教師必須吃透課本，挖掘教材，精心設(shè)計“追根溯源尋本質(zhì)”的深度學(xué)習(xí)任務(wù)，要認識到數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)是讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不斷探究知識與知識間的關(guān)聯(lián)、尋求方法與方法間的遷移與變化、追求數(shù)學(xué)規(guī)律的本質(zhì)與內(nèi)涵，最終形成用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界的素養(yǎng).

參考文獻：

[1]黃瑞貞.深挖課本教材提高學(xué)習(xí)效率——淺談初中數(shù)學(xué)教材中例習(xí)題及數(shù)學(xué)活動的合理拓展[J.時代教育，2015（24）：210-211.

[2]范生娜.基于深度學(xué)習(xí)視域下“一題一課”的單元復(fù)習(xí)教學(xué)模式探究——以人教版初中數(shù)學(xué)九年級上冊“圓”的復(fù)習(xí)教學(xué)為例J.數(shù)理化解題研究，2024（2）：5-7.

[3周青松.促進深度學(xué)習(xí)的初中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計與思考以“二次函數(shù)”教學(xué)設(shè)計為例[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2023（24）：16-19.Z