初中數學競賽多元最值問題的求解策略

在初中數學競賽中，多元最值問題是一類常考題型.該類問題具有較強的綜合性與技巧性，試題中往往隱含著豐富的思想方法，具有一定的難度，解答時必須從題目自身的特點出發，選擇恰當的方法，否則會無功而返.下面結合具體實例介紹該類題型的五種常見解法策略：配方法、不等式性質法、基本不等式法、判別式法和數形結合法.

1五種求解策略

1.1策略1：配方法

求二次函數的最值通常用配方法，這種方法同樣可以用來求解多元最值問題，我們只需通過配方，將已知等式或代數式表示成一個或幾個完全平方式的形式，然后依據完全平方公式的非負性來解決問題

例1設實數 x，y，z 滿足 x+y+z=1 ，則 M= xy+2yz+3xz 的最大值為（ ）.

B D.1

解析：由 x+y+z=1 ，可得 z=1-x-y ，則 M= xy+（2y+3x）z=xy+（2y+3x）（1-x-y） 整理可得 M=-3x²- 4xy- 2y²+ 3x+ 2y= 當且僅當 ，y=0時，等號成立，故Mm .故選：C.

點評：本題為三元最值問題，先通過代入消元，把三元最值問題轉化成二元最值問題，進而通過配方變形成兩個完全平方式和一個常數的和，于是根據平方數的非負性得出最值.求解本題的難點在于項的合理搭配，從而配湊出完全平方式.

1.2策略2：不等式性質法

最值問題其實是一種不等式關系，多元最值問題有時也可以采用不等式的某些性質來求解.如： （1）agt; c，bgt;d?a+bgt;c+d.（2）agt;b A cgt;0?acgt;bc ·agt;b .clt;0?ac

例2已知 -1?x+y?1，1?x-y?3 ，則 3x- y 的最大值是

解析：由題意，設 3x-y=m（x+y）+n（x-y）= （m+n）x+（m-n）y，則{m+n=3， 解得 由于，-1?x+y?1，2?2（x-y）?6 ，則 1?3x-y= （x+y）+2（x-y）?7 故 3x-y 的最大值是7.

點評：本題先運用待定系數法，將目標代數式用已知條件中的兩個代數式表示，進而利用不等式的性質，通過整體代換求得最值.

1.3策略3：基本不等式法

基本不等式，即 ，當且僅當 a=b 等號成立.雖然這個公式不屬于初中數學的內容，但它是完全平方式的非負性的拓展，即（a-b）²≥0?a²+b²≥2ab ，因此在初中數學競賽中此公式經常被用到，尤其是在一類多元函數的最值中，它的作用不可小.

例3對于兩個正實數 a_λ，b ，式子 的（20 （2最小值為

解析：因為 a，b 為正實數，所以

又由基本不等式得

（20

當且僅當

，即 時等號成立.所以

則 所以 1- （號

，即 的最小值為 ，當且僅（2號

當 時取等號.

故填答案：

點評：本題依題意可得到 （20號 ，利用基本不等式求出 的最小值，再根據不等式的性質計算可得，其中基本不等式的應用起到了關鍵的作用.

1.4策略4：判別式法

對于有些多元最值問題，我們可以將其轉化為一元二次方程有解問題，通過判別式 Δ?0 來求得最值.

例4已知實數 x，y 滿足關系式 xy-x-y=1 則 x²+y² 的最小值為（ ）.

C.1

解析：設 x+y=t ，則由題設條件可知 xy=x+ y+1=t+1 ，所以 x，y 是關于 Ω_m 的一元二次方程m²-tm+t+1=0 的兩個實數根，于是有 Δ=t²- 4（t+1）≥0 ，解得 或 ：

又因為 x²+y²=（x+y）²-2xy=t²-2（t+1）= （t-1）²-3 ，所以，當 （即 0時， x²+y² 取得最小值，最小值為 ：

故選：B.

點評：本題采用了換元法，通過逆用韋達定理構造一元二次方程，進而依據方程有兩個實數解得到Δ?0 ，由此得到“新元”的范圍，最后經過目標式換元把原問題轉化為二次函數最值問題.

1.5策略5：數形結合法

當涉及多元的等式，或代數式具有明顯的幾何意義時，可以借助幾何圖形求得最值.

例5已知 x，y 為實數，代數式 的最小值是

解析：設點 P（x，0），Q（0，y），A（2，4），B（-6，-2）， 則 （204號 十 ，當且僅當 P ，Q 分別為直線 AB 與兩坐標軸的交點時，等號成立.

故答案為：10.

點評：本題根據兩點間距離公式的幾何意義，將代數問題轉化為幾何問題，利用幾何圖形的性質巧妙獲解，充分展示了數形結合思想的威力.

2類題演練

練習1若實數 a，b，c 滿足 a²+b²+c²=1 ，則∣a+b∣+∣b+c∣+∣c+a∣ 的最大值為（ ）.

A.1 （20 C.2

練習2 已知實數 m，n 滿足 mgt;2ngt;0 ，則 m²+ 的最小值為

練習3若正數 a_λ，b_λ 滿足 2a+b+6=ab ，則 ab 的最小值為

練習4設 b 為正整數， a 為實數，記 M=a²- ，在 a_λ，b 變動的情況下，求 M

可能取得的最小整數值，并求出 M 取得最小整數值時 a，b 的值.

掃碼看類題演練參考答案.

3總結

在初中數學競賽中，多元最值問題因其綜合性強、技巧性高而成為重點考查內容.解答這類問題時，需要充分挖掘題目所隱含的條件與結構，選擇最契合的策略予以突破.其中，配方法是一種常見且高效的途徑，它通過構造完全平方式，將復雜的多變量表達式轉化為結構清晰的形式，利用平方非負性確定最值.同時，不等式性質法通過恒成立的不等式（如平方不等式、基本恒等式等）來挖掘表達式的邊界，從整體上把握函數的變化范圍.

通過整體代換、待定系數等技巧，可將復雜目標表達式轉化為熟悉的不等式模型，從而迅速定位最值，判別式法則從方程視角出發，通過設參換元、構造一元二次方程，借助實數根存在性的判別式條件反推變量的可取范圍，從而尋找最值.這一方法體現了數形結合中的代數思想向方程思想的轉換，在處理含約束條件的問題時尤為有效.

此外，數形結合法以圖象與幾何直觀為依托，通過構造坐標、分析距離和幾何位置等手段，將抽象代數問題具象化，從而獲得更為直觀簡便的解法路徑.這種方法往往借助幾何意義揭示變量之間的本質關系，提升了解題的靈活性與思維深度.

綜上所述，多元最值問題的求解策略并非孤立使用的，而應在審題過程中靈活組合、相互轉化.解題者需善于觀察表達式的結構特征，敏銳捕捉等量關系與幾何信息，在代數與幾何、結構與變化之間建立橋梁，從而構建一套系統、高效的問題解決體系.唯有如此，方能在競賽中穩準突破最值類難點，提升數學思維的深度與廣度.Z