緊扣反比例函數(shù)性質(zhì)，優(yōu)化相關(guān)數(shù)量之計算

反比例函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容[1]，學(xué)習(xí)時需要緊扣其性質(zhì)，進(jìn)行計算的數(shù)量可以是比例系數(shù) k 的值、自變量 x 的取值范圍、函數(shù)值大小的比較，也可以是交點(diǎn)坐標(biāo)的推算、相關(guān)圖形面積的確定等.這些看似平淡無奇的內(nèi)容，經(jīng)命題專家獨(dú)具匠心地組合與匹配，融合了新課標(biāo)理念和要求的中考真題就誕生了.為了便于各位同仁探索和發(fā)現(xiàn)規(guī)律，以下分四種類型做如下分述：

1用性質(zhì)及定理求比例系數(shù) k 的值

例1（2025年黑龍江省齊齊哈爾市中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù) y=-x-1 的圖象與反比例函數(shù) 0）的圖象在第二象限內(nèi)交于點(diǎn) A ，與 x 軸交于點(diǎn) B ，點(diǎn) c 的坐標(biāo)為（0，3），連接 AC，BC ，若 AC=BC ，則實(shí)數(shù) k 的值為

圖1

解析：因?yàn)橐淮魏瘮?shù) y=-x-1 的圖象與 x 軸交于點(diǎn) B ，所以當(dāng) y=0 時，由 0=-x-1 ，得 x=-1 ，所以點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 （-1，0） .在 RtΔBOC 中，因?yàn)辄c(diǎn) c 的坐標(biāo)為（0，3），所以 OC=3 ；由點(diǎn) B 的橫坐標(biāo)知OB=1 ；于是由勾股定理得

設(shè)點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 （m，-m-1） 如圖2，過點(diǎn) A 作 AD⊥y 軸于點(diǎn)D ，則點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 （0，-m-1） ：在 RtΔADC 中， AD=∣m-0∣ ，CD=∣3-（-m-1）∣ .由勾股定理，可得 AC²=AD²+CD²= （m-0）²+（-m-1-3）²=2m² +8m+16. 因?yàn)?AC=BC ，所以 AC²=BC² ，即 2m²+

圖2

8m+16=10 ，解得 m₁=-3，m₂=-1 （不合題意，舍去），所以 m=-3 ，所以點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 （-3，2） .將 A （-3，2） 代入 中得 3，所以k=-6.故答案為：-6.

點(diǎn)撥：此題考查反比例函數(shù)和一次函數(shù)圖象和性質(zhì)、勾股定理、一元一次方程和一元二次方程的解法等基礎(chǔ)知識，其中添加輔助線 AD 構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理和 AC=BC 這兩個數(shù)量間的相等關(guān)系列方程是解題的關(guān)鍵.

為什么 m=-1 不合題意，要舍去？因?yàn)楫?dāng) m= -1 時， -m-1=0 ，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 （-1，0） ，點(diǎn) A 在 x 軸上.而點(diǎn) A 是反比例函數(shù) 的圖象與直線 y=-x-1 在第二象限的交點(diǎn)，其縱坐標(biāo)應(yīng)該是一個正數(shù)而不能是0，所以 m=-1 不合題意應(yīng)舍去.

2用中心對稱性確定自變量 x 的取值范圍

例2（2025年江蘇省連云港市中考真題）如圖3，正比例函數(shù)（204號 y₁=k₁x（k₁lt;0） 的圖象與反比例函數(shù) k2（klt;0）的圖象交于A，B 兩點(diǎn)，點(diǎn) A 的橫坐標(biāo)為—1.當(dāng) y₁2 時， x 的取值范圍是.

圖3

A.xlt;-1 或 _xgt;1 B.xlt;-1 或 0xgt;1 D. -1

解析：由雙曲線 k2（k212 時直線 y₁=k₁x 在雙曲線 的下方，由圖3可以看出 x 的取值范圍在 軸左邊時應(yīng)為 -1 軸右邊時應(yīng)為 所以當(dāng) _y1lt; （204號 y₂ 時， -1xgt;1 故選：C.

點(diǎn)撥：本題考查雙曲線關(guān)于原點(diǎn)的中 ∴ 對稱性和反比例函數(shù)與不等式的關(guān)系，理解函數(shù)自變量的取值及函數(shù)值與不等式解集的關(guān)系，根據(jù)雙曲線的中心對稱性求出點(diǎn) B 的橫坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.

3根據(jù)的增減性比較函數(shù)值的大小

例3 （2025年天津市中考真題）若點(diǎn) A（-3，y₁） B（1，y₂），C（3，y₃） 都在反比例函數(shù) 的圖象上，則 y₁，y₂，y₃ 的大小關(guān)系是（ ）.

解析：因?yàn)榉幢壤瘮?shù)的比例系數(shù) k=-9lt;0 ，所以反比例函數(shù)圖象分布在第二、四象限，在每個象限內(nèi) 隨 x 的增大而增大.

因?yàn)辄c(diǎn) A（-3，y₁） 在第二象限，所以 _y1gt;0 ；因?yàn)辄c(diǎn) B（1，y₂），C（3，y₃） 在第四象限， y 隨 x 的增大而增大，所以 y₂3lt;0. 所以 _y231 .故選：D.

點(diǎn)撥：本題考查反比例函數(shù)的比例系數(shù) klt;0 時，雙曲線在第二象限分支上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正數(shù)，雙曲線在第四象限時 隨 x 的增大而增大的性質(zhì).

4運(yùn)用反比例函數(shù)性質(zhì)求坐標(biāo)及面積

例4（2025年山西省中考真題）如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，直線 AB 分別與 x 軸 .y 軸交于點(diǎn)A，B ，與反比例函數(shù) （2的圖象交于點(diǎn) c .已知點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 （-2，0） ，點(diǎn) c 的坐標(biāo)為（1，6），點(diǎn) D 在反比例函數(shù) 的圖象上，縱坐標(biāo)為2.

圖4

（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式，并直接寫出點(diǎn) B 的坐標(biāo)；（2）連接 BD，OD ，請直接寫出四邊形ABDO的面積.

解析：（1）如圖4，因?yàn)辄c(diǎn) c 的坐標(biāo)為（1，6），且在反比例函數(shù) 的圖象上，所以 ，則k=6 所以反比例函數(shù)的解析式為 設(shè)直線 AC 的解析式為 y=ax+b（a≠0）

把 ^A，C 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入，得 解得 所以直線 AC 的解析式為 y=2x+4 令 x=0 ，得 y=4 ，所以點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（0，4）.

（2）因?yàn)辄c(diǎn) D 在反比例函數(shù) 的圖象上，縱坐標(biāo)為2，所以 ，解得 x=3. 由題意知， OA=2 ，OB=4 ，所以 （204號

點(diǎn)撥：本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，依據(jù)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用割補(bǔ)法求四邊形 ABDO 的面積等知識，其中適時運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想.

5活用 ^?k \"值求高度

例5（2025年廣西中考真題）如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，“雙曲線階梯”ABCDEFG的所有線段均與 x 軸平行或垂直，且滿足 BC= DE=FG=1 ，點(diǎn) A，C，E，G 均在雙曲線 的一支上.若點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 ，則第三級階梯的高 EF={ ！

A.4 B.3 D.

解析：略.

答案為：D.

點(diǎn)撥：本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵在于理解反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及“雙曲線階梯”的線段位置關(guān)系.

綜上，對五類問題考查知識重點(diǎn)的介紹和求解方法的點(diǎn)撥，對反比例函數(shù)計算題的學(xué)習(xí)雖有提綱挈領(lǐng)的作用，但難免有管中窺豹之嫌，只有舉一反三、發(fā)散拓寬才能真正學(xué)好反比例函數(shù)計算題.

參考文獻(xiàn)：

[1]楊文彬.中考小紅書·數(shù)學(xué)[M].北京：首都師范大學(xué)出版社，2025.Z