例談二元一次方程組的幾種解法

解二元一次方程組的方法因題而異，其中代入消元法、加減消元法是解二元一次方程組的基本方法[1].采用這兩種方法可以解決大部分的二元一次方程組問題.但是部分習(xí)題設(shè)問巧妙，采用這兩種方法要么會(huì)陷入煩瑣的計(jì)算，要么難以找到突破口.針對(duì)該類型的習(xí)題，可以考慮采用整體代換法、構(gòu)造法.其中整體代換法是指將方程組中的一部分看成一個(gè)整體，將問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)的二元一次方程組問題.構(gòu)造法是重新構(gòu)建方程之間的邏輯關(guān)系，化陌生為熟悉，以快速解題.

1代入消元法

二元一次方程組由兩個(gè)二元一次方程構(gòu)成，含有兩個(gè)未知數(shù).代入消元法是指解題時(shí)選取其中一個(gè)方程，用其中一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)，或求出一個(gè)未知數(shù)，而后代入到另一個(gè)方程中，以達(dá)到消元的目的.對(duì)于明確給出二元一次方程組的情況，可以直接使用該解題方法.不過，一些習(xí)題需要基于對(duì)題干的理解先構(gòu)建二元一次方程組，而后進(jìn)行解答.解題時(shí)應(yīng)保證構(gòu)建的二元一次方程組及代入消元的正確性.

例1已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) P 關(guān)于 x 軸和 y 軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)分別為 P₁（2a+b，-a+1） .P_Φ2（4-b，b+2） ，則點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ ）.

A.（9，3） B_?（-3，-3） C.（9，-3） D.（-9，-3）

解析：根據(jù)點(diǎn)的對(duì)稱性，明確點(diǎn) P 縱、橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，以縱、橫坐標(biāo)的關(guān)系構(gòu)建二元一次方程組，采用代入消元法分別計(jì)算出 a，b 的值.眾所周知，點(diǎn)關(guān)于 x 軸對(duì)稱，橫坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于 軸對(duì)稱，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù).意識(shí)到這一點(diǎn)，便可有效地切入該題.

由題意可知，點(diǎn) P_i 和 P₂ 的縱、橫坐標(biāo)互為相反 （204數(shù)，則 整理得，

由 ① 可得 a=-2 ，代入 ② 中，得 b=-5. 所以點(diǎn)

P₂（9，-3） ，則點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 （-9，-3） ：

選擇：D.

點(diǎn)評(píng)：該題具有一定的綜合性，考查了點(diǎn)的對(duì)稱、二元一次方程組的構(gòu)建、代入消元法等.解題的關(guān)鍵在于能夠找到點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)縱、橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，可以畫出對(duì)應(yīng)的草圖輔助分析，以構(gòu)建正確的二元一次方程組.在求解時(shí)，先整理構(gòu)建的二元一次方程組，而后采用代入消元法進(jìn)行計(jì)算，推理出最終結(jié)果.

2加減消元法

對(duì)于二元一次方程組，加減消元法是指通過兩個(gè)方程作加減運(yùn)算，消去其中一個(gè)未知數(shù)，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程進(jìn)行求解的方法.為了實(shí)現(xiàn)加減消元，作加減運(yùn)算前應(yīng)確保其中一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相同，若不同可以在方程的兩邊乘相同的數(shù)，為順利消元作鋪墊.當(dāng)然在運(yùn)算的過程中需要結(jié)合題意，可以多次進(jìn)行加減運(yùn)算，直到順利求出方程組的解.

例2解方程組：

解析：該二元一次方程組中未知數(shù)的系數(shù)較大，采用代入消元法計(jì)算量大，不可取.可以先對(duì)兩個(gè)方程作加減運(yùn)算，化簡(jiǎn)后減小未知數(shù)的系數(shù)，而后通過方程兩邊乘以相同的數(shù)改變未知數(shù)的系數(shù)，再運(yùn)用加減消元法計(jì)算出結(jié)果.

依題，

③+④ ，得 4042x+4042y=12126 ，整理得

④-③ ，得

x-y=1.

⑤+⑥ ，得 x=2 ，將其代入 ⑥ ，得 y=1 所以原方程組的解為

點(diǎn)評(píng)：該題是典型的二元一次方程組問題，不同的是未知數(shù)的系數(shù)較大，無論使用代入消元法，還是直接在方程組的兩邊乘以同一個(gè)數(shù)再作加減運(yùn)算，計(jì)算量均較大，容易出錯(cuò).解題時(shí)需要具備靈活的思維，可以先作加減運(yùn)算，觀察所得方程的特點(diǎn)后，使用加減消元法求得結(jié)果.

3整體代換法

整體代換是一種解決數(shù)學(xué)問題的重要方法，用于初中數(shù)學(xué)解題，可以迅速找到切人點(diǎn)，減少煩瑣的運(yùn)算，提高解題效率[2].在解答初中數(shù)學(xué)二元一次方程組問題時(shí)，如采用代入消元法、加減消元法不易得出結(jié)果時(shí)，可以結(jié)合所給方程組的特點(diǎn)采用整體代換法，化陌生為熟悉.

例3 已知 是方程組 （20 解，則方程組 ）.

解析：對(duì)要求的方程組進(jìn)行移項(xiàng)、整理，對(duì)照所給的方程組，建立未知與已知之間的聯(lián)系，結(jié)合已知方程組的解采用整體代換法得出新的方程后，進(jìn)行求解.

由

令 m^′=-3x+1 ， n^′=-2y ，于是可得 {am'+bn′=c1’對(duì)照方程組 ： ， 得m'

由 是方程組 {ax+b1y=c1’的解，可得 .其由兩個(gè)一元一次方程構(gòu)成，分別解兩個(gè)方程，可得 故選：A.

點(diǎn)評(píng)：該題設(shè)問巧妙，間接考查二元一次方程組的解法，對(duì)理解能力及解題的靈活性要求較高.解題時(shí)需要突破兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn).其一，通過對(duì)所要求解的方程組的觀察、整理、整體代換，確定與已知方程組的關(guān)系；其二，運(yùn)用已知方程組的解，通過推理，構(gòu)建新的方程.

4構(gòu)造法

構(gòu)造法是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)解題方法，通過對(duì)已知條件及所要求問題本質(zhì)的理解，運(yùn)用所學(xué)重新構(gòu)造數(shù)學(xué)對(duì)象之間的邏輯關(guān)系，化難為易，實(shí)現(xiàn)快速解題的目的.構(gòu)造法對(duì)理解能力的要求較高，尤其是用于解答二元一次方程組，需要理解二元一次方程組的底層邏輯，把握方程組中各方程間的聯(lián)系，根據(jù)需要將方程組中的方程重新組合，運(yùn)用解二元一次方程組的方法計(jì)算出結(jié)果.

例4關(guān)于 x，y 的兩個(gè)方程組 和 ，有相同的解，求 a_λ，b 的值.

解析：由兩個(gè)方程組有相同的解，可以將方程2x-y=7 和方程 3x-y=11 聯(lián)立，構(gòu)造成新的二元一次方程組，求得結(jié)果后，再將其代入方程 ax- 2by=2 和方程 3ax-5by=9 構(gòu)造而成的方程組中，轉(zhuǎn)化為一般的二元一次方程組后計(jì)算出結(jié)果.

由題意可知，兩個(gè)方程組有相同的解，意味著四個(gè)方程可以任意組合而解不變.于是可以構(gòu)造以下新的方程組

⑧-⑦ 得 x=4 ，將其代入 ⑦ 中，得 y=1 ，進(jìn)一步{_y=1.^x=4 .

可得該方程組的解為 將其代入方程組

{ax-2by=2，中，得（2

⑨×3-⑩ ，得 b=3 ，代入 ⑨ 中，解得 a=2 綜上可知， a=2，b=3

點(diǎn)評(píng)：該題設(shè)問巧妙，看似有四個(gè)未知數(shù)，實(shí)則可以通過構(gòu)造新的方程組進(jìn)行轉(zhuǎn)化、求解.解題的關(guān)鍵在于正確理解兩個(gè)方程組有相同的解，即求得的 x，y 的值滿足兩個(gè)方程組中的四個(gè)方程，意識(shí)到這一點(diǎn)，便很容易想到使用構(gòu)造法進(jìn)行求解.

綜上所述，二元一次方程組是初中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)，是中考的必考內(nèi)容.學(xué)習(xí)時(shí)，應(yīng)掌握代入消元法、加減消元法這兩種求解二元一次方程組的常規(guī)方法，并在習(xí)題訓(xùn)練中多總結(jié)、多歸納，掌握應(yīng)用技巧.同時(shí)，應(yīng)有意識(shí)地積累整體代換法、構(gòu)造法這兩種特殊的解答二元一次方程組的方法，明確這兩種方法的適用題型，并通過訓(xùn)練真正地理解與掌握，提高解答二元一次方程組的綜合能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]王淑萍.兩招突破解二元一次方程組[J].數(shù)理天地（初中版），2025（4）：47-48.

[2]崔爽.解方程組的兩種特殊消元方法[J].初中生學(xué)習(xí)指 導(dǎo)，2024（35）：32-33.Z