初中數學跨學科項目學習的實踐探索

黨的二十大報告明確提出了“全方位提升人才自主培養水準，重點培育頂尖創新人才\"的戰略部署.鑒于初中階段是創新素養培育的初始關鍵期，有必要借助項目化深度教學模式，充分激發學生在高階思維層面的潛在能力.本研究表明，以真實文化場景為依托的項目化深度教學，一方面能夠有效化解初中階段創新素養培育過程中載體匱乏的困境；另一方面，還為拔尖創新人才的早期甄別構建了“觀察一實踐一創造”的三階段評估模式.此外，研究期間學生取得了多項創新成果，驗證了傳統文化中所蘊含的數學元素在激發青少年創新潛能方面的獨特作用.

1教學準備

1.1項目主題的確定

本次項目化學習以“園林數學：古亭中的‘形’與“數\"為主題，緊扣蘇教版八年級上冊“勾股定理”、九年級上冊“正多邊形與圓”九年級下冊“相似三角形”等知識內容.蘇州園林古亭的地基構造、門窗比例、屋檐曲線、空間布局中蘊含著豐富的數學原理，但初中生對幾何概念的實際應用常缺乏直觀認知.項目旨在依托園林真實場景，通過實踐操作深化幾何理解；挖掘傳統建筑中的數學智慧，增強文化自信；建立數學與建筑、藝術、歷史的跨學科聯結，落實“綜合與實踐”課程要求.

1.2項目化教學目標

通過“測量—建模—驗證一創新”四階探究，達成以下目標：

① 能運用尺規繪制正方形、正六邊形和正八邊形，能從圖形運動的角度思考正多邊形的構造方式； （204號② 會用尺規作出白銀比 與黃金比 ，會用繩子快速判斷一個門窗是否滿足白銀比；③ 經歷“實地測量—數據整理—模型建立一文化闡釋”的完整探究過程；

1.3學生分組及任務實施

將45名學生按“能力互補、興趣導向\"原則分為9組，實施差異化任務.

關鍵問題鏈設計：

① 基礎性問題：為什么亭子的地基多為正偶數邊形？② 發展性問題：如何只借助一根繩子判斷門窗長寬比是否滿足 ？

2教學過程片段（項目實施）

2.1地基之秘

2.1.1數眼觀園，提出問題

拙政園中景點有39個，其中以亭命名的景點就達到18處.亭子中大多是方亭、正方亭、正六角亭、正八角亭、圓亭等，查閱更多資料后發現，蘇州園林的亭子中，竟沒有奇數邊形的亭子，于是學生就此展開了思考.

2.1.2數思解園，合作探究

學生通過查閱眾多資料，以及小組成員之間的交流分析后，得到如下幾種答案：

① 文化層面：偶數象征成雙成對，蘊含和諧圓滿的寓意，與園林“寓情于景”的造園理念相契合，體現傳統文化特色.

② 歷史層面：封建制度下等級森嚴，九、五、七等奇數為特定階層專用，私家園林受規制限制，故選用正四、六、八邊形等偶數邊形.

③ 數學層面：首先，正偶數邊形既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形，對稱性更強，更加和諧美觀.其次，正偶數邊形的亭子可以實現直線貫通，避免亭柱遮擋視野，符合實際使用需求.最后，正四、六、八邊形的內角為易于構造整數角度，古代常用矩、尺可以將圓均分，從而快速構造正多邊形（如圖1）.

圖1

2.1.3數語悟園，創新拓展

現實園林中的正八邊形地基是有固定朝向的，如圖2.古代匠人們是先確定坐北朝南方向的正方形區域，然后再構造正八邊形.

圖2

圖3

拓展探究：如圖3，利用尺規，在正方形ABCD中，構造一個最大的正八邊形EFGHIJKL.

小組方法1：如圖4，由正方形與正八邊形的對稱性可知，對角線 AC，BD，FJ 都經過對稱中心 o ，可得 （2號 所以 ∠DOF=180^°-∠DFO-∠FDO=67.5^° ，從而∠DOF=∠DFO 所以 DF=DO

圖4

因此，我們只需要以正方形四個頂點為圓心，對角線的一半為半徑畫四個圓，圓與正方形形成8個交點，連接這8個交點即為正八邊形，滿足實際要求（如圖5）.

圖5

小組方法2（平移法）：作兩個全等的正方形，分別畫出其對角線與各邊中點（如圖6），當一個正方形的四邊中點落在另一個四邊形的對角線上時，連接外端8個頂點以及重合部分都為正八邊形（如圖7）.

圖6

圖7

小組方法3（旋轉法）：先將兩個全等的正方形重合，再將其中一個正方形繞中心旋轉 45^° ，即可形成正八邊形（如圖8）.進一步推廣，兩個正三角形重疊后，將其中一個正三角形繞中心旋轉 60^° 可以產生正六邊形（如圖9）；重復操作，可以產生正十二邊形（如圖10）.

圖8

圖１０

推廣到一般的結論就是，將兩個正 n 邊形重疊后，將其中一個正 n 邊形繞中心旋轉 后可以產生正 2n 邊形.事實上，在中國的古建中，這種方法運用廣泛，比如山西應縣木塔就是采用“四轉八\"法進行構造，還有嵩岳寺塔采用了“三轉六、六轉十二\"法構建，如圖11.

圖11

小組方法4（翻折法）：先將兩個正方形重合在一起，過點 o 作一條直線 EF 使 ∠AOE=22.5^° ，將兩個正方形分別沿 EF 翻折，即可產生正八邊形.折紙實驗操作如圖12.

圖12

小結與思考：在小組合作探究園林中正八邊形構造方法的實踐中，學生通過多元路徑嘗試，展現了思維的豐富性.第一組采用經典尺規作圖法，結合邊角關系分析，高效構造出正八邊形；第二組通過正方形平移疊加的創新思路；第三組復原古建“四轉八”技法，將兩個正方形木構模型旋轉錯位疊合；第四組創新性提出“雙折線定位法”，將翻折變換融人現代設計語境.上述多元構思深化了對幾何變換本質的理解，更在古今智慧的對話中，推動了邏輯推理、直觀想象等數學核心素養的螺旋式提升，體現了項目式學習中“做中學\"的實踐價值.

2.2比例之趣

2.2.1測量計算，尋找規律

學生在拙政園對繡綺亭進行測量，得到如下數據：地基長 570cm ，寬 403cm ，高 285cm ，內窗長171cm ，寬 121cm .這些數據經過計算之后，發現了一個神奇的比值： 570÷403≈1.414，403÷285≈1.414 這個比值在其他亭子的數據中反復出現.除此之外，學生還發現了另一個高頻率的比值1.154.通過計算器，我們發現 ： .這是巧合還是人為呢？

2.2.2動手操作，還原構思

小組思考1：上述兩個比例易于構造.對于正方形ABCD ，匠人可以輕松地截出兩條長度為 AC，BD 的木條（如圖13）.

圖13

接下來，只需要要將這兩根斜木條拉直，便可得到一個 的矩形；或者將一條對角線旋轉到與兩側平行，再補全矩形，也可以得到一個長寬比為 的矩形.

這種方法的特點就是，當確定了矩形的寬之后，不再需要進行精確的計算和準確的測量，就可以產生滿足的 長.所以從操作上看，此法簡易可行，便于構造.

小組思考2：等邊三角形的構造其實比正方形的構造過程還要簡單，只需要將三根長度一樣的木棒首尾連接在一起就形成了.接下來，只需要補全矩形，就可以補成一個長寬比為 的矩形（如圖14）.

圖14

因此， 這樣一個比例，在實際生活中更容易獲得，所以才更廣泛地應用在各種地基、花窗、門框的設計中.這一簡潔的設計理念，也正對應了數學追求的簡潔美，把復雜的問題簡單化.

2.2.3和諧統一，東方美學

學生在理解古人構造思想后，再次走進拙政園時，能更靈活地運用這些思路.他們不再需要每次測量長度后計算求證，僅用一根繩子就能快速判斷矩形是否符合這兩類比例，這種驗證方式被稱為“繩來之比”.具體方法如下：

如圖15，先用繩子量出的窗寬 AB 的長，將這截繩子繞點 B 旋轉使得繩子另一端落在窗的長邊上一點 c ，然后用繩子量出 AC 的長，再將繩子繞點 A 旋轉至矩形窗的上邊，若此時繩子的另一端再好落在矩形窗的頂點 D 上，則這個矩形的長寬比就是

圖15

同理，如圖16，先用繩子量出矩形窗下方的長AB ，然后將繩子繞點 A 旋轉至繩子另一端落在矩形窗上方邊上一點 c ，再將繩子繞點 c 旋轉，若繩子另一端能經過點 B ，則這個矩形的長寬比就是 ：

圖16

學生用這個方法在園林中找到了更多滿足這兩種比例的花窗，如圖17.

圖17

小結：眾所周知，西方古典建筑對黃金比例有著異常的執著，就拿經典的巴特農神廟來說，里面蘊含著眾多的黃金分割，從整體到局部，以達到統一和諧的美.

而中國的古典建筑，其實也有同樣的理念.中國古人對 的矩形也有著異常的執著.這可能源于中國古代有著“天圓地方”的思想，這個 的矩形象征著天地和諧的觀念，所以我們不妨把 這個比例命名成“太和比”.

拙政園中繡綺亭測量的地基和左右兩側的立面是滿太和比，背面的窗也滿足太和比，而局部的其他花窗、門框，依然還存在著太和比.所以中國人也將自己崇尚的一種比例一以貫之地應用到古建筑中，從而達到了整體的和諧統一.在這一點上，中西方建筑有著同樣的理念，如圖18.

圖18

3項目反思

3.1多維探究實踐，促進數學知識的具象轉化

傳統幾何教學常陷于公式推導與圖形繪制的機械訓練，學生難以建立空間觀念與文化認知的深度聯結.在本項目中，借助AR實景投影、古法營造復原等技術手段，使正多邊形的對稱性、圖形的運動變換等抽象概念轉化為可觸可感的立體模型.實現了數學原理從紙面推導向空間建構的認知躍遷.

3.2文化基因解碼，厚植創新素養的培育根基

本研究構建的“文化場景浸潤·數理思維共生”教學范式，為新課標下的跨學科學習提供了可復制的實踐樣本.教師角色從知識傳授者轉化為文化解碼引導者，助力學生在解決真實問題的過程中實現核心素養的立體化發展.后續研究將進一步拓展傳統文化中的STEM教育元素，構建更具普適性的創新人才早期識別與培育體系.

3.3學科聯結深化，強化知識應用的綜合能力

本項目通過園林古亭載體，實現了數學與多學科的深度聯結.讓學生看到了數學在不同領域的應用價值，培養了他們從多角度分析問題、綜合運用知識的能力，真正落實了“綜合與實踐\"課程中對學科融合的要求，讓知識學習從單一走向多元，從理論走向實踐.