聚焦熱點題型 提高核心素養

在初中數學教學中，圖形的平移與軸對稱作為平面幾何的重要內容，不僅承載著幾何直觀與空間觀念的培養任務，更是落實數學核心素養、提升學生綜合能力的關鍵載體.近年的中考試題中，圍繞平面中三角形的平移和軸對稱問題設計的熱點題型頻現，體現出對學生幾何變換理解、推理能力與圖形關系綜合分析能力的高度重視.因此，深入研究此類問題的典型特征與命題規律，有助于教師精準把握教學重點、難點，優化課堂教學策略，也有助于學生在解題過程中提升邏輯思維、空間想象與抽象建模等關鍵素養.

本文中將以2024年中考的一道典型試題為例，共同探索解決直角三角形平移相關綜合問題的巧妙思路.

1真題呈現

（2024年·山東青島中考真題）如圖1，RtABC中， ∠ACB=90^°，AC=8cm，BC=6cm，RtΔEDF 中， ∠EDF=90^°，DE=DF=6cm ，邊 BC 與 FD 重合，且頂點 E 與 AC 邊上的定點 N 重合，如圖2，ΔEDF 從圖1所示位置出發，沿射線 NC 方向勻速運動，速度為 1cm/s ；同時，動點 o 從點 A 出發，沿AB 方向勻速運動，速度為 2cm/s，EF 與BC交于點P ，連接 OP，OE ，設運動時間為 χ_t （單位： 解答下列問題：

圖1

圖2

圖3

（1）當 t 為何值時，點 A 在線段 OE 的垂直平分線上？

（2）設四邊形PCEO的面積為 s ，求 s 與 Ψ_tΨ_t 的函數關系式.

（3）如圖3，過點 o 作 OQ⊥AB ，交 AC 于點 Q 4Δ AOH與 ΔAOQ 關于直線 AB 對稱，連接 HB .是否存在某一時刻 χ_t ，使 PO//BH ？若存在，求出 χ_t 的值；若不存在，請說明理由.

2思路分析

（1）根據題意先表示出 AO，AE 的長度，然后利用線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等得AE=AO ，最后建立方程求解即可.

（2）根據題目給出的圖形的特點，經過點 o 分別作 AC，BC 的垂線，然后利用勾股定理得到 AB 的長度，再解直角三角形得到 sinA，sinB ，再證明 ∠DEF= 45^° ，再根據直角三角形求出 OG，OH，BP 的長，最后根據 S=S_ΔABC-S_ΔAOE-S_ΔBOP 這一面積之間的關系進行求解.

（3）首先作輔助線，過點 P 作 PG⊥AB 于點 G ，然后在直角三角形中，求出 PG，BG，OG 的長度，根據三角函數定義求出tan ∠POG 的值；然后根據RtΔAOQ ，結合對稱性可得 OH=OQ ，從而可以在RtΔOBH 中得到 _tan∠OBH ，再根據平行線的性質得到 tan∠OBH=tan∠POG ，最后列方程進行求解即可得到答案.

在初中數學中，圖形的平移與軸對稱變換是平面幾何的重要題型，特別是涉及直角三角形的平移問題，常在中考中出現，考查學生的邏輯思維、運算與空間想象能力.解這類題目的關鍵在于理解平移不改變圖形的形狀和大小，原圖與平移圖全等.同時，軸對稱問題要求學生掌握“中垂線”的概念，結合題目信息，理解軸對稱圖形的構成原理.學生需在腦中構建圖形變化過程，運用中垂線的性質解決全等三角形問題.

試題的具體解析過程略，可掃碼查看.

3解法總結

解答平面中三角形平移與軸對稱類問題，核心在于準確把握幾何變換的本質屬性，構建清晰的圖形變換過程，并借助代數工具進行數量表達與求解.在處理此類題型時，首先要明確一個基本原則：圖形平移不改變形狀與大小，原圖與平移后的圖形保持全等關系；軸對稱變換則具有“對稱軸上任一點到原像與對像距離相等”的特點，這些性質構成了解題的邏輯基礎.以題中第一問為例，判斷點 A 何時在線段MN的垂直平分線上，關鍵是理解“垂直平分線上的點到線段兩端距離相等”的幾何意義.解題時需先將點的運動路徑用含參變量 χ_t 表示出來，再結合AE=AO ，通過代數方式構建兩段距離相等的方程，進而求解 t 的值.這一過程體現了幾何與代數的融合.

第二問的本質是函數建模問題，要求學生將圖形變換中形成的面積與變量 Ψ_tΨ_t 之間建立數量關系.具體做法是通過添加輔助線，構造明確的直角三角形，使得可用勾股定理求出邊長，再由面積計算公式表達出面積 s 與時間 Ψ_t 的函數關系.在這一過程中，既要保證推導過程的嚴謹性，也要關注函數的表達形式是否清晰簡潔.這一問不僅考查學生對圖形構造與函數建模的能力，更是對其數學表達與建模素養的集中體現.

第三問則融合了對稱變換與動態分析，復雜度顯著提升.此類問題往往要求學生能在復雜圖形中抽象出對稱結構，識別全等三角形、等腰三角形、相似三角形等幾何圖形，并通過角度與邊長關系建立等式.具體解題策略包括作輔助線構建直角三角形，應用三角函數定義如正切值求角度或邊長，再結合圖形對稱與平移的路徑，通過構造出與變量有關的數量關系，進而求解對應時刻.特別是軸對稱問題中，學生需要深刻理解對稱點的構成規律、距離特性及角度對稱關系，靈活運用平行線、中垂線、等腰三角形等性質，才能準確捕捉對稱圖形中的等量關系，實現從圖形變化到代數表達的自然過渡.

因此，三角形平移與軸對稱類問題的解法并非簡單套用公式，而是一個融合空間想象、圖形構造、數量關系表達與邏輯推理的綜合過程.學生需要在掌握幾何基本性質的基礎上，善于通過添加輔助線揭示圖形間隱含關系，并以動態變化視角將問題轉化為含參代數模型，再借助方程解決未知量.這種由幾何直觀到代數建模的過程，正是數學核心素養中“圖形與幾何”“數學建模”“推理與證明”的集中體現，也是當前中考試題對學生綜合能力的真實考查方向.

綜上所述，在解決平面幾何中三角形的平移與對稱問題時，首先要明確圖形移動前后的關鍵要素：三角形的位置雖然改變了，但其形狀和大小依然保持不變.接著，要根據聯系學過的有關三角形的基礎知識進行思考求解，常用到的知識點有直角三角形中的勾股定理、三角函數定義、中垂線的性質、全等三角形的判定、三角形外角的性質、三角形中位線的性質、平行四邊形的性質和定理等.最后整合并分析題干中的信息，將這些信息與所掌握的知識點有機結合，根據平移的性質和軸對稱的性質，結合題目中給出的三角形邊和角的具體信息，以及軸對稱的相關理論，審慎選擇解題方法，并深思熟慮解題策略，如此我們將能夠找到既簡潔又高效的解題途徑.

4應對啟示

在知識層面，教師應系統梳理三角形平移和軸對稱的核心性質，幫助學生牢固掌握“圖形平移保持全等”“對稱點到對稱軸距離相等”“垂直平分線與對稱軸的關系\"等基本幾何知識，并引導學生結合典型圖形（如直角三角形、等腰三角形）理解圖形變化背后的數量不變性.同時，要強化學生對輔助線構造的認識，提升其在圖形中尋找對稱關系、構建全等三角形或直角三角形的能力，使其在面對復雜圖形變換題時具備靈活應變的能力.此外，在課堂教學中可適當引人函數思想，讓學生通過變量分析理解圖形運動與數量關系之間的聯系，為后續的建模能力打下基礎.

在實際訓練與教學設計中，應突出“數形結合、動靜統一\"的理念，強化多角度、全過程的解題策略指導.教師可以通過設置動態情境，如動點平移、線段對稱、圖形追蹤等任務，引導學生在變化中尋找穩定的幾何關系，借助圖示手段明確圖形變化路徑.在此基礎上，通過代數表達將圖形問題轉化為含參問題，逐步培養學生的建模與函數分析能力.在題型訓練中，要精選中考真題或模擬題，通過專題突破的方式強化解題路徑，如“點到線段距離恒等問題”“圖形面積與時間函數建模”“對稱圖形全等關系構建”等，提高學生對熱點題型的識別能力與應對能力.同時，教師要注重反思教學效果，及時根據學生的實際理解程度調整教學重點、難點，以形成有針對性、系統性的變換類問題解題能力培養方案，最終實現以題促思、以題促能、以題促素養的教學目標.Z