“一般觀念\"統攝下中考幾何壓軸試題命制的邏輯探究

圖形與幾何的學習有助于學生建立幾何直觀、提升抽象能力和推理能力.然而在以往的命題和教學中，更多地關注幾何圖形的性質特征、形狀判定，圖形之間的位置、形狀關系及判定方法，對幾何試題的研究也集中于解題策略，關注點多在解題技巧上，忽略了圖形與幾何研究的“一般觀念”的統攝性價值《義務教育數學課程標準（2022版）》確定的課程目標立足于學生核心素養的發展，集中體現數學課程的育人價值，以研究數學對象的“一般觀念”才是真正提升學生發現和提出問題，分析和解決問題的能力，發展數學核心素養的重要抓手.基于此，中考幾何壓軸試題的命制與評析，要充分發揮“一般觀念”的引領性作用，在情境設置和問題設問方式上要體現“研究對象 + ”，即讓學生體悟研究對象的基本內容，研究的一般路徑、一般思想和一般方法等等本源性的問題，實現從“知其然”到“知其所以然\"再到“何由以知其所以然”的跨越.本文中以2022年和2023年福建省中考幾何壓軸試題為例闡述以上的思考.

等式表示 ∠ACE 與 ∠EFC 之間的數量關系，并證明；（3）如圖3，將（1）中的 ΔCDE 繞點 c 順時針旋轉（旋轉角小于 ∠ABC） ，若 ∠BAD=∠BCD ，求 ∠ADB 的度數.

圖1

圖2

圖3

例2（2023·福建·25）如圖4，在 ΔABC 中，∠BAC=90^°，AB=AC，D 是 AB 邊上不與 A，B 重合的一個定點， .AO⊥BC 于點 O ，交 CD 于點 E.DF 是由線段 DC 繞點 D 順時針旋轉 90^° 得到的， FD，CA 的延長線相交于點 M

1原題呈現及考法分析

1.1原題呈現

例1（2022·福建·24）已知 ΔABC?ΔDEC AB=AC ABgt;BC

圖4

（1）如圖 1，CB 平分 ∠ACD ，求證：四邊形ABDC是菱形；

圖5

（2）如圖2，將（1）中的 ΔCDE 繞點 c 逆時針旋轉（旋轉角小于 ∠BAC），BC，DE 的延長線相交于點 F ，用

（1）求證： ΔADE～ΔFMC ：

（2）求 ∠ABF 的度數；

（3）若 N 是 AF 的中點，如圖5，求證： ND=NO

1.2考法分析

例1中以兩個全等三角形繞公共點旋轉，例2中以多個等腰直角三角形和一個中點疊加為構圖對象，融合其他豐富的幾何元素，考查學生對特殊三角形、四邊形等知識的掌握情況.依托圖形變換，將直觀操作和邏輯推理有機整合，強調對合情推理和演繹推理的考查.通過不同切人點和多種解法，引導學生感悟動態幾何中的變中不變，滲透化歸與轉化、特殊與一般、函數與方程等數學思想方法，指向辨析、抽象、綜合、實踐等高階思維的考查，強調運用學科知識在復雜情境中分析與解決問題的能力，逐步形成空間觀念、幾何直觀、模型觀念、創新意識和應用意識等核心素養.

2研究幾何圖形的“一般觀念”

細究這兩道中考試題，其在試題命制的邏輯上一以貫之，即《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出的“從演繹證明、運動變化、量化分析三個方面研究點、線、面、角、三角形、多邊形和圓等圖形的基本性質和相互關系”.

2.1從整體到局部，圖形研究的一般路徑

明確研究對象是幾何圖形，研究內容是圖形的基本性質和相互關系，研究的一般路徑是從整體到局部認識圖形的構成元素及相關元素.具體為：從實際生活和數學背景中抽象出幾何圖形，明確內涵（構成要素）與外延（相關要素）給出定義，并以圖形的構成要素為標準加以分類；然后從構成要素、相關要素以及其關系人手研究局部性質，具體為點、線、角度、長度、面積、周長、外徑、內徑等幾何量；再根據性質特征逆向思考，判斷一個圖形是否屬于這類圖形；接著對構成要素、相關要素特殊化獲得特例圖形，并研究其性質和判定；最后在實際問題或相關的數學問題中應用所學的知識與方法.在此過程中研究方法是直觀視圖一操作畫圖一量化算圖一演繹證圖，將所獲得的結論按內在的邏輯順序，逐層展開組成知識體系并給予幾何語言表達.

2.2從靜態到變換，圖形研究的一般思想

隨著對幾何圖形的進一步研究，必然會引入平移、軸對稱和旋轉等幾何變換，從抽象到直觀、從靜態到變換更有效地探索圖形之間的關系.以幾何變換的要素為基準，將圖形變換前后對應的幾何量與變換的要素相聯系，研究變換中的不變性，讓圖形的要素及相關要素運動起來，看看運動過程中有什么規律，進而理解圖形及圖形之間的聯系.這也是進一步研究幾何圖形的一般思想，研究方法是運動變化.

2.3從一般到特殊，圖形研究的一般方法

經歷幾何圖形研究的一般路徑和一般思想，也是體現用數學眼光觀察世界，而后對幾何圖形的要素、相關要素或變換下的要素，添加條件和特殊化，在新的研究起點進一步發現問題、提出問題，循序漸進，從一般到特殊研究幾何圖形.這是從研究單一幾何圖形，成片開發、歸納共性和差異，到研究一類幾何圖形的一般方法.研究方法是合情推理和演繹證明.

3“一般觀念\"統攝下幾何試題的命制

3.1案例1（2022年福建省中考數學第24題）

本題中，研究對象為△ABC， ΔDCE ，基本構圖為等腰三角形ABC繞點 c 旋轉得到 ΔDCE 并連接BD，基于“一般觀念”，從整體到局部，構成元素及相關元素之間的關系逐層展開，有△ABC， ΔDEC 為等腰三角形的一系列性質， ΔABC?ΔDCE 的一系列圖形關系的性質，如若連 AD，BE ，還可以得到等腰三角形 ACDO 等腰三角形BCE的一系列圖形關系的性質.

對基本圖形有初步認識后，基于“一般觀念”，從靜態到動態，從旋轉變換的角度進一步研究性質.在運動過程中旋轉角不變，旋轉角 ∠ACD=∠ECB ，直線AB 與 DE 所成夾角也是旋轉角，研究邊的夾角也就是研究邊的位置關系.

在運動過程中旋轉前后對應邊所成夾角相等，例如對應邊上的高、中線、角平分線所成夾角相等.如若考慮非對應邊在運動過程中有何位置關系呢？即產生案例1中的第（2）小題：如圖2，當點 D 在直線 BC 右側時， ∠ACE+∠F=180^° （簡證：由 ΔABC ，ΔDEC 的等腰三角形構成元素可得 ∠ACF=∠CEF .故 ∠ACE+∠F=∠CEF+∠FCE+∠F=180^°.） 當 D 在直線 BC 左側時， ∠ACE=∠F ：

當然也可以探究其他線之間的位置關系，例如可以探究另一組非對應直線 CE 與 AB，BC 與 CD 之間夾角之間的關系.

如圖6，將例1第（1）題中的ΔCDE 繞點 c 逆時針旋轉（旋轉角小于 ∠BAC），EC 的延長線交 AB 于點 F ，則有 ∠BCD+ ∠AFC=180^° ：

圖6

還可以探究非對應邊上高、中線、角平分線之間的位置關系.進一步地，在運動的過程中，點 _D，E 旋轉路徑也保持不變，因此可以思考在運動過程中某些線段的最值，例如，點 G 為 DE 上一動點，點 P 為BC中點，探究在旋轉過程中 GP 的最大值與最小值.

對具體的幾何量進行賦值，如圖 7，AB=AC=2 .BC=1 ，簡證如下：當 G 在 DE 上運動至點 D 且ΔDEC 繞點 C 旋轉至點 G 在線段 BC 的延長線上時，

GP 最大，最大值為 當 G 在 DE 上運動至 CG⊥DE 且 ΔDEC 繞點 c 旋轉至點 G 在CB上時， GP 最小，又可求得ΔCDE 的邊 DE 上的高為 ，則 GP 最小值為

圖7

基于“一般觀念”，從一般到特殊，旋轉到特殊位置，將會有特殊的核心圖形產生.選取新的起點，向深處挖掘，連接 BD 后，對于四邊形 ABDC 已有三邊相等，因此產生案例1中的第（1）小題.若點 E 在 BC 的延長線上時，可以得到 ?ABDE ；若點 D 在 CB 的延長線上時，有 AB=CE+BD ：

同樣地， ΔACB 為等腰三角形，若進一步運動到特殊位置，例如案例1中第（3）小題，點 D 在 ΔACB 外部時，若 ∠BAD=∠BCD ，則 ∠ADB=30^° .命制動態試題時，并不是漫無目的碰運氣式找結論，而是在幾何大廈中，大概明確方向，有一定的特殊性質，需要命題人員有深厚的幾何功底，比如以上的特殊位置即屬于“角格點\"問題中的一例，其解決的方法很多，其他文章中已有證明，這里不贅述.在此還有一些等價結論：

基于“一般觀念”，從幾何學習的邏輯看，探究性質外還應考慮逆命題，也即條件與結論對調，增加試題的完備性.例如其余條件不變，若 ∠ADB=30^° ，可推得 ∠DCB=∠DAB ；特殊地，若 ∠CAB=∠ADB= 30^° ，則 CB=BD

可以考慮進一步運動到特殊位置，如圖8，若∠CBD=∠ABD=180^°- ∠ADC ，可證得 ∠BCD= ∠BDA=∠CAB=α ，則點B 為 ΔACD 的布洛卡點.

圖8

有以下性質： ① 可得 ΔCBD～ΔDBA ，則

（204號又 AB=CD ，故 BD²=BC?CD

（2號③ 設點 B 到 AD，CD，AC 的

距離分別為 h₁，h₂，h₃ ，則 .

故 1，即S△ABc=S_ΔABD ④ 由△CBD∽△DBA，則 故 即 h₁²=h₂h₃ .由此可以繼續探究一系列邊角之間的性質，全面拓寬了命題的來源，明晰幾何圖形研究如何發現和提出問題，而問題的發現和提出是培養學生創新意識的基礎.

3.2案例2（2023年福建省中考數學第25題）

本題中研究對象為兩個等腰直角ABC， ΔDFC 同向共頂點旋轉，其中點 D 在 AB 上運動， OA 為ΔABC 的中線.基于“一般觀念”，從整體到局部，構成元素逐層展開.圖形之間關系： ΔABO，ΔACO 為全等的等腰直角三角形， ΔDFC～ΔABC ；邊的關系： ；角的關系： ∠FDC=∠BAC=∠AOB=∠AOC=90^°， ∠ACB=∠DCF=45^° ，則 ∠ACD=∠BCF ：

基于“一般觀念”，從靜態到動態，從旋轉相似的角度進一步研究不變性.如圖4，由旋轉角 ∠ACD= ∠BCF ，有 ΔAEC～ΔHFC. 又 ∠FDC=90^° ，其補角∠MDC=90^° ，可發現射影圖，故 ∠M=∠ADC 又∠MFC=∠DAE=45^° ，因此有第（1）題的設問ΔADEΔCΔFMC ：

如圖9所示，分解出核心圖形，繼續探究旋轉角 ∠ACD= ∠BCF ，且 BC=CF，故△ACD∽ΔBFC ，可得 ∠FBC=90^° ，則∠DBF=135^° ，即第（2）小題結論.同時，可得到邊之間的關系，有

圖9

基于“一般觀念”，從一般到特殊，結合中線 AO 進一步更換研究起點，抽取逆向等腰直角三角形，即ΔAOC 與 ΔCDF ，如圖10，連接 AF ，并取中點 N ，連接 DN，ON ，有等腰直角三角形 DNO ，即第（3）題的設問.值得一提的一種證明方法：如圖8，構造等腰直角三角形 PCF ，等腰直角三角形 ACQ 同向共頂點旋轉，可得 ΔPAC?ΔFQC ，則 PA=FQ 且 PA⊥FQ ，利用中位線可得 DN//PA 且 ON//FQ 且 ON ，故 DN=ON 且 DN⊥ON .由此證法可以發現在“一般觀念”下，該題可歸納為馮·奧貝爾定理，如圖11，案例2第（3）題是其中的一部分.

圖10

圖11

基于“一般觀念”，明晰試題拓展方向，可以考慮點 D 的特殊位置，例如 CD 平分 ∠ACO 進行圖形性質探究.可以討論條件與結論對調，變換試題情境.也可以將等腰直角三角形 AOC 與等腰直角三角形DCF

一般化，從方法上類比.如下試題：如圖12，在ΔCOA 中， ∠ACO= 120^° AC=OC ，等邊三角形 ODE 繞點 O 旋轉，連接 AE ，點 G 為 AE 中點，連接 CG，DG ，試探究 CG 與 DG 的關系，并說明理由.

圖12

基于“一般觀念”，將數學情境變換為現實情境，增強試題的應用性和創新性.如下試題：某工程隊需要在 A，B 兩棵樹的前方建立一座八角亭.按如下方法選址.如圖13，甲工人從 c 點直走到樹 A 處，然后向右轉90^° 后再直走一段路等于 AC 的長度到點 D 處；乙工人從 c 點直走到樹B處，然后向左轉 90^° 后再直走一段路等于 BC 的長度到點 E 處.工程隊隊長打算把八角亭建在DE的中點G 處.過幾天，工程隊帶著建筑材料來施工，卻發現忘記標記起始點 c ，正當大家懊惱時，隊長說：別急，只要找到 A，B 兩棵樹連線的中點 F ，由點 F 引 AB 的垂線，再往 A，B 兩棵樹前方量出 AB 的長度的一半，就能找到之前的 G 點（如圖14所示）.你覺得隊長的方法對嗎？為什么？

圖13

圖14

4教學啟示

4.1提煉相應單元主題的“一般觀念”

用“一般觀念\"統領教學，可以有效避免碎片化學習，引導和規范學生深度學習，整體化、系統化學習，并形成關鍵能力，培育學生數學核心素養.在平時的教學中，應關注教材研讀，找出各個單元的核心主題、元素，尋找這些主題、元素之間的聯系，考慮它們如何相互作用，是否指向同一個更廣泛的主題或概念.而后將具體的單元主題整合、抽象化、可視化，形成具有統領性的“一般觀念”，在后續的教學中可以適當進行分析、多次迭代、驗證后修正，令其更具有一般化，學為用.例如，以“中點 + \"主題為例，將中點放在線段、三角形、平行四邊形、圓、平面直角坐標系等基本圖形中，貫通主線和脈絡，抓住中點與其他圖形的構圖聯系，形成整體宏觀認識，“見樹又見林”，重新組織起基于各個大概念的結構，形成認識問題的“一般觀念”：由尋找聯系人手，把離散、個別的元素（中點）放在系統中（基本圖形）研究，才能逐步提高對圖形分解、重構、提取、剖析的能力，才能對新的圖形產生聯想、類比、遷移，才能逐步提高學生的圖感（即對幾何圖形形狀、關系的敏感性和應用能力）.

4.2歸納各個領域知識形成過程中的“一般觀念”

義教階段數學學科數與代數、圖形與幾何、統計與概率、綜合與實踐四大領域有共同的“一般觀念”，對于具體某一知識主題形成的過程也會有特有的、明顯的“一般觀念”.例如，初中階段統計研究的“一般觀念”：明確研究的問題一數據收集（全面調查、抽樣調查）一數據整理（統計表）一數據描述（條形圖、折線圖、扇形圖和頻數分布直方圖等統計圖）一數據分析（平均數、眾數、中位數、方差等統計量）一利用數據解釋或說明問題（利用樣本的數字特征估計總體的數字特征，利用樣本的變化估計總體的變化趨勢）.只有對知識形成過程的“一般觀念”有了清晰的認識，才能有意識地運用它們引領教學，并在后續更高段的學習過程中孕育、修正它們，形成認識事物、探究未知的意識與習慣，積累數學探究經驗.

4.3立足“一般觀念\"統領問題解決，開展啟發式教學

不憤不啟，不悱不發.教師主要以啟發式教學引導學生進行探究性學習，然而現實中，往往困惑于如何進行啟發式教學，如何高質量地提問引發思考？只有明確了“一般觀念”，形成統攝性指導思想，才能解決以上問題.立足于“一般觀念\"統領問題解決，意味著面對問題時，應先回到更基本、更本質、更普遍的原理上理解問題，思考問題，并可能發現問題的解決途徑，而后可以提出一些引導式、啟發式的問題，激發思考和探索.例如：該問題的本質是什么？基本要素包括哪些？可以從已知的哪些類似問題中借鑒？是否有更廣泛的、更一般性的方法解決，有哪些可創新的方法可以嘗試？問題的解決有何可以抽象、歸納？

5結束語

總之，立足“四基”，發展“四能”，引導學生感悟、體會并應用學科“一般觀念”，積累數學活動經驗，讓學生了解數學思維的價值，欣賞數學思維一以貫之的形式美，形成有序思考的思維方法并最終培育發展學生核心素養.