初中數學開放性典例問題探索

初中數學的開放性問題，因其具有條件多余或者缺失、答案不唯一、結論多樣化等特點，成為熱點題型.此外，開放性問題能夠鍛煉學生的解題思維，培養學生的數學解題能力，以及發現和探索未知知識的能力，并讓學生從中體會到數學學習的樂趣.

1考題呈現

（2025年徐州模擬第17題）【問題初探】

（1）數學綜合實踐課上，李老師提出了一道幾何證明題：如圖1，已知在 ΔABC 中， ∠A=60^° ∠ACB=90^°，CD 為角平分線（如圖1），求證 BC=AC+AD ：

圖1

針對該問題，同學們給出了兩種不同的證明思路：

① 小明同學的證法：如圖2，在邊 BC 上取點 E 使 CE=CA ，連接 DE ，將 BC，AC，AD 之間的關系轉化為 DE 與 AD 之間的數量關系；

圖2

② 小強同學的并證法：如圖3，延長 CA 至點 E ，使 CE=CB 連接 DE ，將線段 BC，AC，AD 之間的數量關系轉化為 AE 與AD 之間的數量關系；

圖3

請任選一種證明方法完成證明過程.

【方法探究】

（2）李老師在講評中指出，兩位同學都巧妙運用了轉化思想，將三線段關系問題簡化為兩線段關系的證明.為了深化學生對轉化思想的理解，現對原題進行如下變式：

如圖4，在四邊形ABCD中，

E 是 BC 的中點，若 AE 平分 ∠BAD，∠AED=90^° 請你探究 AB，AD，CD 之間的數量關系并證明.

【學以致用】

圖5

（3）如圖5，在 ΔABC 中，∠A=60^° ∠ABC 和 ∠ACB 的平分線交于點 P，M，N 分別為AB .AC 上的點，且 P 為 MN 的中點，若 BM=5 ， 0MN=4 ，求 BC 的值.

圖4

2思路分析

（1）若選擇小明同學的證明思路：首先證三角形全等，得到線段 AD=DE ，再證明 BE=DE=AD ，從而解決問題；若選擇小強同學的思路：依舊是先證明三角形全等，得出線段 AE=AD ，進而證明結論.

（2）首先作輔助線，證明有關三角形全等，得出線段之間的數量關系，然后得到要證明的結論.

（3）首先通過作輔助線，截取線段相等，連接有關線段并結合前面結論證明 ΔGPH 為等邊三角形，找到有關邊長的長度，最后得到結論.

3試題解析

（1）根據題目給出的信息，若選擇小明同學的思路：因為 CD 平分 ∠ACB ，所以 ∠ACD=∠ECD 在△ACD和 ΔECD 中， ，所以ΔACD?ΔECD （SAS），于是 ∠A=∠CED=60^° AD=DE 在 RtΔABC 中， ∠ACB=90^° ，所以 ∠A+∠B=90^° 所以 ∠B=90^°-∠A=90^°-60^°=30^°. 因為 ∠CED 是 ΔBDE 的外角，所以 ∠CED= ∠EBD+∠EDB ：

所以 ∠EDB=∠CED-∠EBD=60^°-30^°=30^° 所以 ∠EBD=∠EDB ，則 BE=DE=AD 因為 BC=CE+BE ，所以 BC=AC+AD

若選擇小強同學的思路：

在 RtΔABC 中， ∠ACB=90^° .所以 ∠A+∠B= 90^° ，則 ∠B=90^°-∠A=90^°-60^°=30^°

因為 CD 平分 ∠ACB ，所以 ∠BCD=∠ECD

在△ECD和△BCD中， ，所以ΔECD?ΔBCD（SAS） ，所以 ∠E=∠B=30^°

因為 ∠CAB 是 ΔADE 的外角，所以 ∠CAB= ∠E+∠ADE ：

所以 ∠ADE=∠CAB-∠E=60^°-30^°=30^°.

所以 ∠E=∠ADE ，則 AE=AD 因為 CE=AC+AE ，所以 BC=AC+AD

（2） AD=AB+CD 理由如下：在 AD 上截取 AF=AB ，連接 EF ，如圖6.因為 AE 平分 ∠BAD ，所以∠BAE=∠FAE.

圖6

在 Δ BAE和△FAE中，

所以 ΔBAE?ΔFAE（SAS） 1所以 ∠AEF=∠AEB，BE=EF. 因為 E 是 BC 的中點，所以 CE=BE=EF

因為 ∠AED=90^° ，所以 ∠AEF+∠DEF=90^°

∠AEB+∠DEC=90^°

因為 ∠AEF=∠AEB ，所以 ∠DEF=∠DEC 又 DE=DE ，所以 ΔDEF?DEC（SAS）

所以 DF=DC

因為 AD=AF+DF ，所以 AD=AB+CD

（3）如圖7，在 BC 上截取CG=CN ， BH=BM ，連接PG，PH

圖7

因為 CP 平分 ∠ACB BP 平分 ∠ABC ，所以有 ∠PCB= （20號

在△ABC中， ∠A+∠ABC+∠ACB=180^° ，所以 ∠ABC+∠ACB=180^°-∠A=180^°-60^°=120^° ：

在△PBC中， ∠BPC+∠PBC+∠PCB=180^° 所以 ，所以∠CPN+∠BPM=60^°

同（1）得

所以 ∠CPN=∠CPG，∠BPM=∠BPH，PN= PG，PM=PH ，所以 ∠CPN+∠CPG+∠BPM+ ∠BPH=2∠CPN+2∠BPM=120^° ，所以 ∠GPH=60^°

因為 P 為MN的中點，所以 2，所以 PG=PH=2. 又因為 ∠GPH=60^° ，所以ΔGPH 為等邊三角形，所以 GH=PG=PH=2 ，所以

點評：本題為有關三角形的綜合開放性問題，涉及全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定及其性質、三角形的外角特性及內角和定理等相關知識的綜合運用，解題過程中，需借助合理添加輔助線的方法，構建全等三角形，從而推動問題的解決.結合等腰三角形的判定與性質等基本知識進行解答是解題的核心.

4開放性試題的一般解題思路總結

首先，學生應準確理解題意和條件，明確哪些信息為關鍵.由哪些條件可作輔助或延伸.以題中兩名學生不同的解題路徑為例，他們均利用了輔助線和轉化思想，將復雜的線段關系簡化為兩個線段之間的數量關系，體現了“從整體到局部\"的思維轉換.這一步驟對培養學生的抽象思維和數學建模能力至關重要.

其次，合理選擇輔助線或構造新的圖形元素，成為解決此類開放性問題的核心技巧.通過適當的輔助線，將問題轉化為已知的三角形全等、等邊等特殊性質的證明，有效整合不同知識點，體現知識的遷移與綜合運用.

再次，在推理過程中，學生需要多角度驗證并歸納結論，靈活運用全等三角形的判定、三角形內外角性質、線段中點等基本知識，綜合分析數量關系.正如題目變式部分所示，學生不僅要解決具體問題，還要嘗試探究相關結論的普適性.

最后，教學實踐中應注重引導學生表達多樣化解題思路，強化過程記錄和合理推理，摒棄僅追求唯一答案的傳統觀念，鼓勵開放性思維和創造性解決問題Z