低起點多角度深層次求解一元二次方程

一元二次方程作為初中數學的核心內容，近年在各地中考中頻繁出現，成為熱門考點.面對這類問題，學生不僅要掌握基礎解法，還需熟悉特殊和一般一元二次方程的通用解法.在解題過程中，深人分析方程的外在形式及變量的系數顯得尤為重要，這有助于學生提煉出有效的解題方法和思路.總結歸納也是不可或缺的一環，它能幫助學生掌握關鍵的解題技巧.接下來，我們將通過一些具體例題進行深入分析，旨在達到舉一反三的效果，從而有效解決問題.

1開平方法

開平方法是一種求解一元二次方程的有效手段，其核心在于利用平方根的定義找到方程的解.在應用此方法時，首要步驟是將方程整理為完全平方的形式.一旦方程呈現為完全平方，就可以通過對方程兩邊同時開平方的方式，將其轉化為兩個一元一次方程.隨后，分別求解這兩個一元一次方程，即可得到原一元二次方程的解.

例1（2024·河南安陽初三檢測）某公園內有一個噴泉從垂直于地面的立柱 OA 的端點 A 處噴出一個水柱，其形狀呈拋物線型，建立如圖1所示的坐標系，OA所在的直線是 軸，地面上有一個底面為正方形的無蓋長方體水池（厚度忽略不計），其底面邊長是 1m ，高是 ，點 C，D 是其底面一組對邊的中點，矩形BCDE是其經過點 ?C，D 的一個豎直截面，點 σ_O，C，D 都在 x 軸上.已知 T ，拋物線型水柱在距離 軸 2m 處到達離地面 的最高點 P

（1）求拋物線的解析式.

（2）該拋物線型水柱是否會把水噴到水池內？請通過計算進行說明.

點評：對于根據開平方法求解一元二次方程的根的問題，主要就是依據平方根的定義，將題目中的已知信息，結合所學知識點轉化為完全平方的形式，再根據一元二次方程的求根方法求解即可.

2配方法

配方法是求解一元二次方程時極為常用的一種策略，它的核心在于運用了數學中的轉化思想.具體來說，就是通過對已知方程進行恰當的配方處理，同時巧妙地利用“偶次方程的非負性質”，將原本復雜的一元二次方程轉化為一元一次方程.完成這一轉化后，就可以利用直接開平方的方式輕松求解，從而找到原方程的解.

例2（2024·安徽合肥初三期末）【過程學習】對于代數式 x²+4x+3 ，我們可作如下變形：

x²+4x+3=x²+4x+4-4+3=（x+2）²-1 因為 （x+2）²?0 ，所以當 x=-2 時，代數式 x²+ 4x+3 取得最小值一1.這種方法叫作配方法求最值.

【初步應用】對于代數式 2x²-4x+3 ，可變形為2 （ "x +____） "2 "+ 1"，所以，對于代數式 2x²-4x+3 .當 x= （20 時，取得最小值1.

【問題解決】某工業設備專賣店銷售一種機床，四月份的售價為2萬元，共銷售60臺，根據市場銷售經驗知：當這種機床售價每增加0.1萬元時，就會少售出1臺.

① 五月份該專賣店想將銷售額提高 25% ，求這種機床每件的售價；

② 求五月份銷售額最大值.

點評：解一元二次方程時，配方法是一種重要的策略.它的主要步驟包括移項、配方、開方和求解.在這個過程中，對已知方程進行變形配方是至關重要的一步.完成配方后，可以直接開平方找到方程的解.但需要注意的是，如果配方后完全平方式的另一側為負數，這意味著原方程在實數范圍內無解.

3公式法

公式法是一種直接且有效的求解一元二次方程的方法.其核心在于利用一元二次方程的求根公式，只需將題目中給出的各項系數數值直接代入該公式，即可進行求解，找到方程的解.

例3（2024·湖北襄陽初三聯考）如圖2，一艘輪船以 30km/h 的速度沿既定航線由西向東航行，途中接到臺風警報，某臺風中心正以 20km/h 的途度由南向北移動，距臺風中心 200km 的圓形區域（包括邊界）都屬臺風影響區.當這艘輪船接到臺風警報時，它與臺風中心的距離 BC=500km ，此時臺風中心與輪船既定航線的最近距離 BA=300km

圖2

（1）如果這艘輪船不改變航向，那么它會不會進入臺風影響區？

（2）如果你認為這艘輪船會進入臺風影響區，那么從接到警報開始，經過多長時間它就會進入臺風影響區？

（3）假設輪船航行速度和航向不變，輪船受到臺風影響一共經歷了多少小時？

點評：利用公式法求解一元二次方程的根時，首先要將方程轉化為一般形式.接著，計算判別式的值，并根據這個值與零的大小關系來確定方程的根的個數，一旦確定了根的個數，就可以直接使用公式來求解方程的根了.

4因式分解法

因式分解法，相較于其他求解一元二次方程的方法，難度稍大，但其優勢在于能夠簡化運算過程，迅速找到答案.這一方法的核心在于利用“降次\"思想，將一元二次方程等價轉化為兩個一次因式的乘積等于零的代數式.通過這樣的轉化，我們可以輕松地找到方程的解.

例4（2024-2025學年·九年級上·湖南長沙·開學考試）已知關于 x 的一元二次方程 （m-1）x²+

（1）求證：此方程總有兩個實數根；

（2）如果此方程的兩個實數根都是整數，求正整數 Σ_m 的值.

點評：當一元二次方程兩邊存在相同的因式時，因式分解法是一個有效的求解策略.但需要注意的是，這個共同的因式并不能直接約掉.我們應該討論這個因式是否為零，并在這個基礎上進行求解.這樣才能確保找到方程的所有可能解.

5換元法

換元法，這是一種充滿智慧的求解策略，它體現了一種整體思想.在面對復雜的根式或高次方程時，可以將其看作一個整體，并采用整體換元的方式進行處理.具體來說，可能會使用倒數換元，或者用一個參變量來代替這個整體.通過這樣的換元處理，可以有效地簡化方程，降低其次數，從而使方程的代數式變得更加簡潔，極大地提高運算效率.

例5（2024·廣西南寧初三開學檢測）閱讀與思考：小悅同學解一元二次方程的方法如下所示，請完成相應的任務.利用均值換元法解一類一元二次方程：

解方程：

第一步：原方程可變形為 （x+200）（x-640）= -144000 .

第二步：令

第三步：第一步的方程可變形為 （t+420）（t- 420）=-144000 .

第四步：…；

根據 Ψ_t 的值可以求出 x₁=400，x₂=40 元

方法總結：求第一步中方程等號左邊兩個多項式的平均值，從而換元得到較為簡單的一元二次方程，因此，這種方法稱為均值換元法.我們在解決形如（ax+c）（ax+b）=d（a，b，c，d 是常數，且 a≠0 ）的方程時可以利用均值換元法求解.

（1）利用均值換元法解方程體現的數學思想是 ；

A.分類討論思想 B.數形結合思想C.整體代換思想 D.類比思想

（2）完成材料中第三步以后求 Φ_t 值的過程；

（3）根據材料中的內容，利用均值換元法解方程：

點評：利用換元法解決一元二次方程的本質，在于運用數學中的整體代換思想.當我們面對一個比較繁瑣的方程時，可以通過換元的方式，將其轉化為一個更簡單的形式，從而達到化簡的目的.這樣，我們就能更快速地解決原本復雜的問題.

一元二次方程的求解問題，核心在于熟練掌握各種解法，并深人了解每種方法所適用的方程特點，以及它們的優點和缺點.在學習過程中，學會自我總結歸納解題方法是非常重要的，這有助于我們更好地理解和應用這些解法.同時，應該注重方程解法之間的相互滲透，建立方程思想，為日后學習解決其他更復雜的問題奠定堅實的基礎.Z