有理數(shù)運(yùn)算的技巧分析

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，有理數(shù)的運(yùn)算不僅是基礎(chǔ)性內(nèi)容，更是后續(xù)代數(shù)學(xué)習(xí)的重要支撐.然而，學(xué)生在有理數(shù)四則運(yùn)算中常常出現(xiàn)計(jì)算失誤、思維混亂等問(wèn)題，歸根結(jié)底是缺乏對(duì)運(yùn)算規(guī)律與技巧的深入理解和靈活運(yùn)用.為提升學(xué)生的計(jì)算準(zhǔn)確率與思維效率，教師需引導(dǎo)學(xué)生掌握并運(yùn)用典型的運(yùn)算技巧，如“倒數(shù)法”在除法轉(zhuǎn)化中的應(yīng)用、“歸類與組合法”在復(fù)雜加減中的優(yōu)化處理、“錯(cuò)位相減法”在數(shù)列型結(jié)構(gòu)中的簡(jiǎn)化作用，以及“裂項(xiàng)相消法\"在分式求和中的巧妙設(shè)計(jì).本文聚焦上述四類典型方法，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐與典型例題，探討其應(yīng)用過(guò)程與教學(xué)價(jià)值，旨在為有理數(shù)教學(xué)提供思路借鑒，推動(dòng)學(xué)生數(shù)感與運(yùn)算能力的雙向提升[1].

1倒數(shù)法

倒數(shù)法，顧名思義，指先取運(yùn)算對(duì)象的倒數(shù)（可能是整個(gè)算式，也可能是算式的一部分），而后運(yùn)用有理數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行加減、乘除或乘方運(yùn)算，求得結(jié)果后再取倒數(shù)，便可得到原運(yùn)算對(duì)象的結(jié)果.運(yùn)用倒數(shù)法進(jìn)行有理數(shù)運(yùn)算時(shí)，應(yīng)先觀察算式的特點(diǎn)，一般被除數(shù)和除數(shù)之間存在倍數(shù)關(guān)系時(shí)，可以使用倒數(shù)法.倒數(shù)法在計(jì)算與分?jǐn)?shù)相關(guān)的運(yùn)算時(shí)效果顯著，應(yīng)在解題中增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，根據(jù)解題需要正確應(yīng)用.

例1認(rèn)真閱讀以下算式的計(jì)算過(guò)程.

對(duì)原算式取倒數(shù)，可得

5+12=-10.

故原式的值為 0

基于對(duì)上述計(jì)算過(guò)程的理解，計(jì)算：

分析：運(yùn)用倒數(shù)法可將復(fù)雜除法轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)便的乘法運(yùn)算，顯著降低通分、計(jì)算符號(hào)錯(cuò)誤的風(fēng)險(xiǎn).關(guān)鍵在于準(zhǔn)確取倒數(shù)、理解乘法分配律的應(yīng)用，并在最終步驟中及時(shí)“再取倒數(shù)”，提升整體計(jì)算效率與準(zhǔn)確性.

點(diǎn)評(píng)：該題難度不大，主要考查有理數(shù)的四則混合運(yùn)算.采用常規(guī)的運(yùn)算思路，需要先對(duì)括號(hào)中的算式進(jìn)行通分做加減運(yùn)算，而后做乘除運(yùn)算，雖然最終能夠求得結(jié)果，但是計(jì)算比較復(fù)雜，稍有不慎容易出錯(cuò).而運(yùn)用倒數(shù)法，將有理數(shù)的除法轉(zhuǎn)化為乘法，借助乘法分配律，最后做加減運(yùn)算便可得出結(jié)果，需要注意的是運(yùn)算后，再次取倒數(shù)才是原算式的值.

2歸類與組合法

為提高初中數(shù)學(xué)有理數(shù)運(yùn)算效率，應(yīng)根據(jù)習(xí)題情境采取不同的運(yùn)算策略.對(duì)于采用常規(guī)思路不易計(jì)算出結(jié)果的習(xí)題，應(yīng)擺脫定式思維的影響，先觀察、分析習(xí)題與常規(guī)習(xí)題的不同，把握習(xí)題的特點(diǎn)，以迅速找到突破口.對(duì)于部分習(xí)題，看似無(wú)規(guī)律可循，實(shí)則隱含著一定的技巧，如通過(guò)分析算式各個(gè)部分之間的和、差、積、商為定值，對(duì)相關(guān)部分進(jìn)行歸類和組合，可以規(guī)避煩瑣的計(jì)算[2].

例2定義 x+1（x≠-1），求f（2 025）+ 的值.

分析：能識(shí)別算式中項(xiàng)的對(duì)稱性或規(guī)律性，如自變量互為倒數(shù)的函數(shù)值之和為定值，這一步是關(guān)鍵，然后局部歸組最后整體匯總，通過(guò)歸類與組合法將無(wú)序的項(xiàng)變?yōu)榻Y(jié)構(gòu)清晰的“組”，實(shí)現(xiàn)運(yùn)算量?jī)?yōu)化.

說(shuō)明：例2至例4的具體解析略，可掃碼查看.

點(diǎn)評(píng)：該題情境新穎，考查有理數(shù)的運(yùn)算知識(shí).解題時(shí)應(yīng)注意把握幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn).其一，正確理解所給的函數(shù)表達(dá)式，能夠運(yùn)用函數(shù)表達(dá)式求出對(duì)應(yīng) x 的函數(shù)值.其二，觀察要求的算式特點(diǎn)，將對(duì)應(yīng)的 x 代入到函數(shù)表達(dá)式中，歸納出 x 互為倒數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值的和為1.其三，確定要求的算式可以分為單項(xiàng) f（1） 和另外2024組，每組的和為1.

3錯(cuò)位相減法

錯(cuò)位相減法是一種重要的求和方法，對(duì)于有理數(shù)的運(yùn)算，采用錯(cuò)位相減法，可以順利求出復(fù)雜算式的值[.一般情況下，使用錯(cuò)位相減法解決有理數(shù)的運(yùn)算問(wèn)題，習(xí)題的題干會(huì)給出提示，要求基于提示解決一些新的問(wèn)題，對(duì)理解以及靈活遷移所學(xué)的能力具有一定的要求.運(yùn)用錯(cuò)位相減法解決有理數(shù)運(yùn)算問(wèn)題，應(yīng)注意把握細(xì)節(jié)，明確哪些項(xiàng)在運(yùn)算中被消去，哪些項(xiàng)被保留.

例3為了求 1+7+7²+…+7²⁰²³ 的值，則可令 S=1+7+7²+…+7²⁰²³ ，則 7S=7+7²+7³+ …+7²⁰²³+7²⁰²⁴ ，因此， 7S-S=7²⁰²⁴-1 ，則 S= （204號(hào)，這種方法稱為“錯(cuò)位相減法”參考上述推理過(guò)程，則 1×2¹+2×2²+3×2³+…+9×2⁹ 的值為（ ）.

A.2¹³ （20 C.2¹³+4

分析：解這類題的關(guān)鍵是認(rèn)真讀題，分析題干中所給例子的解題過(guò)程，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，參考題干中給的提示，理解錯(cuò)位相減法的計(jì)算過(guò)程.錯(cuò)位相減法是利用結(jié)構(gòu)中“前項(xiàng)一后項(xiàng)”的遞推形式，實(shí)現(xiàn)大規(guī)模項(xiàng)的對(duì)消簡(jiǎn)化.重點(diǎn)在于理解“構(gòu)造新式—對(duì)位相減—剩余求和”的步驟，避免遺漏項(xiàng)，并注意運(yùn)算順序與符號(hào)處理，提升復(fù)雜數(shù)列求和的處理能力.

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查用錯(cuò)位相減法解決有理數(shù)運(yùn)算問(wèn)題，難度中等，解題時(shí)應(yīng)把握幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn).其一，認(rèn)真讀題，深入理解題干中所給實(shí)例的運(yùn)算過(guò)程，把握錯(cuò)位相減法的本質(zhì).其二，在深入理解錯(cuò)位相減法的基礎(chǔ)上，對(duì)要求的算式進(jìn)行針對(duì)性處理和變形，為使用錯(cuò)位相減法奠定基礎(chǔ).其三，準(zhǔn)確把握各部分之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)錯(cuò)位相減求得最終的結(jié)果.需要注意的是，相減的過(guò)程中結(jié)果要正確且不能出現(xiàn)遺漏.

4裂項(xiàng)相消法

裂項(xiàng)相消法是進(jìn)行有理數(shù)運(yùn)算的又一重要方法，通常將算式中的各項(xiàng)按照一定的規(guī)律分為兩個(gè)部分，在進(jìn)行求和運(yùn)算時(shí)其中的項(xiàng)便可消去，以迅速求得結(jié)果.裂項(xiàng)相消法中常見(jiàn)的裂項(xiàng)形式為： 為常數(shù)），其中當(dāng) k=1 時(shí)，便得到 n+1·運(yùn)用裂項(xiàng)相消法解決有理數(shù)運(yùn)算問(wèn)題應(yīng)注意牢記、理解裂項(xiàng)的常見(jiàn)形式，能夠根據(jù)習(xí)題情境迅速做出判斷，進(jìn)行正確的裂項(xiàng).

例4已知 |a-1|+（ab-2）²=0 ，則關(guān)于 x 的方程 的解為（ ）.

A.2 021 B.2 022 C.2 023 D.2 024

分析：解此類題的關(guān)鍵是通過(guò)裂項(xiàng)達(dá)到相消的目的.裂項(xiàng)相消法通過(guò)拆分為可消結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)大量項(xiàng)抵消的簡(jiǎn)化.應(yīng)熟記常見(jiàn)裂項(xiàng)模型，如，把握拆分時(shí)的“分子分母結(jié)構(gòu)差異”尤其是在方程中配合提公因式使用，能有效降低分式計(jì)算難度，提升解題精準(zhǔn)度.

點(diǎn)評(píng)：該題考查的知識(shí)點(diǎn)多，主要有絕對(duì)值、完全平方式、裂項(xiàng)相消法、一元一次方程等，且技巧性強(qiáng)，具有一定的難度.解答該題時(shí)需要順利解決以下問(wèn)題.其一，能夠從 ∣a-1∣+（ab-2）²=0 中挖掘出隱含條件，得出 ∣a-1∣=0，（ab-2）²=0 ，求出 a，b 的值；其二，提取公因式后，能夠觀察到分?jǐn)?shù)的特點(diǎn)進(jìn)行裂項(xiàng)；其三，裂項(xiàng)相消時(shí)，明白還剩下哪幾項(xiàng).

綜上所述，有理數(shù)運(yùn)算作為初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要基石，不僅關(guān)系到學(xué)生對(duì)數(shù)的本質(zhì)和運(yùn)算規(guī)律的理解，更直接影響到其后續(xù)代數(shù)與函數(shù)等板塊的學(xué)習(xí)效率與準(zhǔn)確性.本文聚焦于倒數(shù)法、歸類與組合法、錯(cuò)位相減法和裂項(xiàng)相消法四類典型運(yùn)算技巧，結(jié)合具體試題分析了其在解題過(guò)程中的應(yīng)用價(jià)值與策略引導(dǎo).在教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生跳出機(jī)械運(yùn)算的定式思維，學(xué)會(huì)從結(jié)構(gòu)上審視算式特征，發(fā)現(xiàn)運(yùn)算中的對(duì)稱性、消去性與轉(zhuǎn)換性，從而靈活選擇最優(yōu)的計(jì)算路徑.例如，倒數(shù)法可顯著簡(jiǎn)化帶分式的除法運(yùn)算，降低通分出錯(cuò)的風(fēng)險(xiǎn)；歸類與組合法能在復(fù)雜加減結(jié)構(gòu)中快速提取等值組合，提升整體效率；錯(cuò)位相減法則適用于特定遞推型結(jié)構(gòu)，能夠?qū)崿F(xiàn)信息的批量抵消；而裂項(xiàng)相消法則以其高度技巧性在處理分式求和或函數(shù)型題目中展現(xiàn)出簡(jiǎn)捷高效的特征.這些技巧不僅提升了學(xué)生的解題速度與準(zhǔn)確性，也促進(jìn)了數(shù)學(xué)思維的生成與遷移.因此，在日常教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)化這些方法的歸納訓(xùn)練，鼓勵(lì)學(xué)生在實(shí)踐中反復(fù)應(yīng)用、總結(jié)與反思，從而實(shí)現(xiàn)從“會(huì)算\"到“巧算”，從“機(jī)械操作\"到“思維驅(qū)動(dòng)”的轉(zhuǎn)變.唯有如此，才能真正實(shí)現(xiàn)以運(yùn)算促理解、以技巧促思維的教學(xué)目標(biāo)，提升學(xué)生的整體數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]秦天.進(jìn)行有理數(shù)混合運(yùn)算的八個(gè)技巧[J].語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)（初中版），2025（2）：28-30.

[2]吳欣，吳健.有理數(shù)的運(yùn)算技巧15法[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（初中版），2019（9）：25-27.

[3]宋揚(yáng).有理數(shù)的運(yùn)算技巧和方法[J].數(shù)學(xué)大世界（下旬），2019（5）：6-7.Z