動靜結合相得益彰：平面幾何中的動點問題

幾何動點問題提供了一種獨特的視角，將傳統的幾何學與動態變化相結合，不僅關注靜態的幾何形狀和其固有屬性，而且將幾何圖形與動態變化結合起來，探討其隨點、線、形的運動，以及圖形的移動、旋轉和翻折等的變化.通過這種視角，學生能夠更深入地理解幾何圖形之間的數量關系和位置關系，從而在分析問題、想象和動態思維能力上獲得顯著提升，核心求解策略仍為“動中取靜，以靜探動”

1動中取靜，以靜探動 確定適用模型原理

在幾何動點問題中，存在多種數學模型，如將軍飲馬模型、胡不歸模型、阿氏圓模型、費馬點模型等，這些模型在幾何動點問題中有極大的應用，是常見的考查點.在解題時，通過對題干的分析，首先確定動點的軌跡特點，然后結合圖形特征，聯系所學模型原理，從動態的軌跡中探尋出“靜止”狀態，動靜結合，以達到解題的過程.

例1如圖1，在 RtΔABC 中， ∠A=30^°，∠C=90^°，AB=6 ，P 是線段 AC 上一動點，點 M 在線段 AB 上，當 時，PB+PM 的最小值為（ ）.

圖1

解析：如圖2，作 B 點關于 AC的對稱點 B^′ ，連接 B^′M 交 AC 于點 P ，則 BP=B^′P

：： ?PB+PM=B^′P+PM≥B^′M ，最小值為 B^′M 的長.

過點 B^′ 作 B^′H⊥AB 于點 H

： ?∠A=30^°，∠C=90^°， ： ∠CBA=60^° ： AB=6 ，： BC=3 ： BB^′=6 ∵在 RtΔBB^′H 中，

： AH=3 ： ·： AM=2 ： .MH=1 ∴在 RtΔMHB^′ 中，可得

（20·PB+PM 的最小值為 .故選：B.

圖2

思路分析：題干中的動點為點 P ，其在線段 AC 上運動，問題為“求兩個線段和的最小值”，符合“將軍飲馬”這一數學模型，可以運用該模型，化動為靜，找到靜止的“特殊狀態”，而后進行分析.“將軍飲馬”模型關鍵在于構造對稱圖形.因此，該題的求解，首先是利用軸對稱的知識作出輔助線，完成動態問題的“靜態化”，然后借助直角三角形的性質、三角函數、勾股定理等知識，完成求解的過程.

2動中取靜，以靜探動 建立函數關系

動中取靜，以靜探動一一建立函數關系，即在解決平面幾何動點問題時，巧妙地從動態的變化過程中抽象出靜態的函數關系，從而簡化問題并找到解決方案.建立函數關系就是要找到與動點相關的函數表達式.這樣一來，原本復雜的幾何運動問題就可以轉換為靜態的函數性質問題，比如極值、單調性等.

例2已知二次函數 y=x²+（m-2）x+m-4 其中 mgt;2 ：

（1）當該函數的圖象經過原點 O（0，0） ，求此時函數圖象的頂點 A 的坐標；

（2）如圖3，在（1）的條件下，若平移該二次函數的圖象，使其頂點在直線 y=-x-2 上運動，平移后所得函數的圖象與 軸的負半軸的交點為 B ，求 ΔAOB 面積的最大值.

圖3

解析：（1）將 O（0，0） 代入 y= x²+（m-2）x+m-4 ，解得 m=4 由 mgt;2 ，知 m=4 符合題意.

所以 y=x²+2x ，即 y=（x+1）²-1

故 A（-1，-1）

（2）設平移后圖象對應的二次函數表達式為 y= x²+bx+c ，則其頂點坐標為

當 x=0 時， y=_c ，則 B（0，c）

將點 代入 y=-x-2 ，可解得 （204

因為 B（0，c） 在 軸的負半軸上，所以 clt;0 所以

過點 A 作 AH⊥OB ，垂足為H ，如圖4.因為 A（-1，-1） ，所以 AH=1 在 ΔAOB 中， ·

圖4

：當 b=-1 時， clt;0，ΔAOB 面積有最大值，最大值為 A

思路分析：因為二次函數在變化，所以點 B 屬于動態點，其位置在發生變化.結合圖象可知，求解三角形面積的最大值，實質是要先求解線段OB的最大值.從幾何角度，很難找到特殊狀態，并不容易分析出最值.此時則可以結合函數進行分析，根據二次函數的性質，得出和動點相關的函數表達式，從而將幾何動態最值問題轉化為函數靜態最值問題進行分析.

3動中取靜，以靜探動 尋找幾何不變量

在解決動點問題時，表面上題目描述的是點的運動軌跡，看似需要追蹤其動態變化.然而，往往在這些動態描述背后，存在著一些固定不變的靜態特征，即使在點的運動過程中，這些特征仍然保持恒定.這些靜態特性可能是幾何量之間的固定關系，如兩點之間的距離、某個角的度數、一個多邊形的面積，或者是一個幾何形狀的對稱性.這些不變的幾何量為我們提供了解題的線索，因為它們在整個運動過程中都不會改變.通過這種方法，我們可以避免直接處理復雜的動態系統，以靜態特性來間接地探究動態過程.

例3如圖5，在等邊三角形ABC的頂點 A，C 處各有一只蝸牛，它們同時出發，分別以相同的速度由 A 向 B 和由 C 向 A 爬行，經過 Ψ_t 分鐘后，它們分別爬行到點D，E 處.在爬行過程中， CD 和 BE 始終相等嗎？

圖5

解析：由于兩只蝸牛同時以相同的速度爬行，因此路程相同，即 AD=CE ：： ΔABC 是等邊三角形，∴ AC=BC ∠A=∠BCE 在 ΔADC 與 ΔCEB 中，： AD=CE ?CE，∠A=∠BCE，AC=CB ，·?ΔADC?ΔCEB ： CD=BE ：

思路分析：題目直接給出兩動點速度相同，這提示我們在同一時間內，動點移動的路程是相等的，這一點成為分析問題時的關鍵不變量.雖然兩動點的確切位置隨時間變化，但是在任何特定時刻，它們到達的新位置時，走過的路程都是相等的.這里，我們通過識別出的不變量，將動態變化的問題固定化成了靜態的線段相等問題.接下來，可以利用這一靜態特性，即4 AD=CE ”這一條件，運用全等三角形的判定和性質等幾何知識來進一步分析和求解問題.

4動中取靜，以靜探動 借助題目特定狀態

動點問題通常被看作是幾何圖形的一種動態變化，涉及點的移動、線的延伸、形狀的轉換等.然而，在某些題目的設計上，盡管表面上看起來是關于動點的問題，但實際上它們在本質上是靜態的數學問題.這類題型的特點是，問題情境的設置不是要求考生跟蹤點的整個運動軌跡，而是關注動點在特定位置時的狀態.在這種情況下，題目可能會描述一個動點沿著特定的路徑移動，但求解過程中并不需要關注這個運動過程本身，而是將焦點集中在動點到達某個特定位置時的情況.此時，題目實際上已經將動態情境靜態化，要求學生分析和處理的是一個固定時刻的幾何構造.這種靜態化的問題設定允許考生應用傳統的幾何定理和數學工具來解決問題，如利用相似三角形、勾股定理、角的性質等，來推導出在該特定位置時圖形的性質或者計算某些特定的量.因此，雖然題目的背景是動態的，但解決問題的方法卻是建立在靜態分析之上.

例4如圖6，在 RtΔABC 中， ∠ACB=90^°，AB=5cm，BC=3cm ，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉 90^° 得到ΔADE，連接CD.點 從點B出發，沿BA方向勻速運動，速度為1cm/s ；同時，點 Q 從點 A 出發，沿 AD 方向勻速運動，速度為 1cm/s.PQ 交 AC 于點F ，連接 CP . EQ 設運動時間為 Ψ_t s （0

圖6

（1）當 EQ⊥AD 時，求 Ψ_t 的值.（2）是否存在某一時刻 χ_t ，使 PQ//CD ？若存在，求出 χ_t 的值；若不存在，請說明理由.

解析：（1）在 RtΔABC 中，由勾股定理得 AC=

（20： ΔABC 繞點 A 按逆時針方向旋轉 90^° 得到 ΔADE ，?AD=5，DE=3，AE=4， ∠AED=90^°，∠BAD=90^°. （20： ?_EQ⊥AD ，·： ∠AQE=∠AED=90^°. 又 ∠EAQ=∠DAE ，： .ΔAQE～ΔAED 0 2

（2）如圖7，過點 c 作 CM⊥ （204號 AD 于點 M ，易求得 . （20

圖7

假設存在某一時刻 Ψ_t ，使 PQ//CD

： ∠AQP=∠ADC

又 ∠PAQ=∠CMD=90^°

∴ΔAPQΔMCD

（204

：存在時刻 s，使 PQ//CD

思路分析：在平面幾何中，動點問題通常涉及點在平面內的運動，尤其是沿著特定圖形如三角形的邊緣運動.然而，不少題目在設計時雖然引入了動點的概念，但實際上要解決的卻是一個靜態的問題.該問題（1）（2）的情境，實質均為靜態問題.問題（1）中，給出了某時刻 EQ⊥AD 的文字信息；問題（2）中，給出了某時刻 PQ//CD 的文字信息.這些條件實際上已經將動態的運動問題轉化為一個固定時刻的靜態問題.在這種靜態問題中，即使點 P 和點 Q 是沿著三角形的邊運動的，但只需要關注它在特定位置，即 EQ⊥AD 以及PQ//CD 時的情形.問題的解法不再依賴于動點運動的路徑，而是基于這個特定時刻幾何圖形的性質.

總之，平面幾何的動點問題的基本思路是“動中取靜，以靜探動”，求解的關鍵在于對點運動或圖形運動的路徑的特點進行分析，依據熟悉的數學模型、函數知識、隱含的不變量或者題干所提供的特定狀態，將動點問題轉化形成各類靜態問題.在這個過程中，我們不再直接面對復雜的運動變化，而是以靜態的視角深入探究動態過程中的規律和關系，從而揭示出問題的解.這種“以靜制動\"的思考模式，不僅為解決動點問題提供了一種清晰的路徑，也是培養學生動態思維能力的重要手段.Z