借助函數圖象特征解決實際問題

初中數學涉及一次函數、二次函數及反比例函數，對應的函數圖象有各自的特點，應做好不同函數圖象特征的深人剖析，構建數形間的內在聯系，以更好地用于解決實際問題.

1一次函數圖象特征及實際應用

例1 （2025年揚州模擬）小明和妹妹小紅從學校出發到書吧看書，而后回家.小明先步行出發，其間速度不變.妹妹小紅騎車到書吧前的速度為 兩人距離學校的路程 s （單位：m）和小明離開學校的時間 Ψ_t （單位：min）的函數圖象如圖1所示.

（1）求小明的步行速度.

（2）若妹妹小紅比小明晚到書吧 2min ① 求圖中 α_a 的值；

② 若妹妹小紅在書吧停留 11min 后回家，且速度為小明的1.6倍，求妹妹追上哥哥時兩人與家的距離.

解析：問題（1），線段OA所在直線過原點，由一次函數圖象的特征可知，路程與時間的比值是小明的步行速度，也是對應一次函數的k值；問題（2），由小明到達書吧的時間、妹妹小紅的速度及學校和書吧的距離，可以求出妹妹小紅騎車對應的時間t，結合妹妹小紅較小明晚到 2min 便可求出 Ψ_a 的值.根據小明的步行速度不變，妹妹小紅的騎車速度，對照圖中點的坐標，分別求出兩人的運動對應的一次函數，聯立一次函數求出兩人相遇時的時間，距離學校的路程，便不難求出兩人與家的距離.

（1）由圖中點 A 的坐標為（8，800），可知學校與書吧的距離為 800m ，小明步行 8min 到達，則小明步行的速度為 800÷8=100（m/min）

（2）小明步行 8min 到達書吧，而妹妹小紅比小明晚到書吧 2min ，表明妹妹小紅到達書吧時對應的 t 為10，而其從學校到書吧的時間為 800÷200= 4（min） ，則對應 a 的值為 10-4=6

由于小明步行的速度保持不變，由問題（1），可設BC 的方程為 y=100t+b. 又由其過點 B（17，800） ，代入解得 b=-900 ，則 y=100t-900. 將 _y=1 900 代入解得 t=28 ，即點 C（28，1 900） ！

妹妹小紅在書吧停留 11min ，則對應的時間為10+11=21（min） ，設對應的點為 F ，則點 F 的坐標為（21，800）.由妹妹小紅對應的速度為小明的1.6倍，則設對應直線的方程為 y=160t+b^′ 將點 F 的坐標代入解得 b^′=-2 560 ，即 s=160t-2560

由 100t-900=160t-2 560 ，解得 3而21lt; ，表明妹妹能夠追上哥哥.將 代入 y= （20100t-900 ，解得 ，兩人距離家的距離為 1900- ，即妹妹小紅追上哥哥時，兩人與家的距離為

2二次函數圖象及實際應用

例2（2025年南京模擬）如圖2為某橋的截面示意圖，其中橋底為拋物線， OA=500m 以OA所在直線為 x 軸作平面直角坐標系，橋面 BF//OA ，橋面距離拋物線的最高點 E 的距離為 EF=12m ，橋面BF 上有一點 C，BC=150m ，過點 c 作 CD⊥BF ，和拋物線交于點 D ，若點 O，D，B 在同一條直線上，則CD=m

解析：結合二次函數圖象特征設出二次函數的解析式，并根據已知條件中線段的長度，確定對應點坐標.最終結合平行線的性質，列出分式方程，解方程得出結果.

根據題意，設橋底拋物線的表達式為 y=ax（x- 500） .由 OA=500m，EF=12m ，易得到點E（250，-62500a），F（250，-62500a+12） ，則點B（500，-62500a+12） ：

又 BC=150m ，則 x_D=500-150=350. 將其代入 拋物線的表達式，可解得 y_D=350a×（-150）= -52500a ，則點 D（350，-52500a） ，所以 CD= -62500a+12-（-52500a）=-10000a+12.

由點 ξ^O，D，B 在同一條直線上， BF//OA ，易得 ， 即 -62500a+12，整理可得到 -87500a=84 ，解得 3125·經檢驗a=3 125是原方程的根.故CD=－1000×（ 12=9.6+12=21.6（m）.

3反比例函數圖象及實際應用

例3（2025年無錫模擬）某公司生產一種產品的成本為4元/件.調研發現，每年的年銷售量 y （單位：萬件）和銷售價格 x （單位：元/件）的關系如圖3所示，其中 AB 段為反比例函數圖象的一部分.設該公司銷售該種產品的年利潤為 w （單位：萬元）

圖3

（1）求 y 和 x 間的函數關系式；

（2）求每件產品的銷售價為多少時，年利潤最大，并求最大年利潤.

解析：問題（1），由反比例函數圖象及一次函數圖象的特征，運用圖象中對應點的坐標，設出反比例函數及一次函數的解析式，通過待定系數法進行求解.問題（2），結合每件產品的利潤、銷售量、總利潤之間的關系，構建對應的函數，結合函數的性質分析、計算求解.

（1）由所給的圖象可知，其由反比例函數圖象的一部分和一次函數圖象的一部分構成.

當 4?x?8 時，因為過點 A（4，40） ，所以 當 8?x?28 時，設 y=kx+b（klt;0） ，由點 B（8，20） ， ， {^k=-1_b=28 C（28，0） ，可得 解得 此時 y= ，-x+28

綜上可知，

（2）每件產品的利潤為 （x-4） ，根據每件產品的利潤和年銷售量之間的關系可知，當 4?x?8 時， w= 當 82+32x- 112=-（x-16）²+144

故 當 4?x?8 時， w 隨 x 的增大而增大，則 x=8 時， w 取得最大值 ；當 8lt; x?28 時，由二次函數性質可知，當 x=16 時， 取得最大值144.

綜上可知，當產品的銷售價為16元/件時，年銷售利潤最大，最大利潤為144萬元.

4總結

初中數學涵蓋一次函數、二次函數和反比例函數等基本函數類型，這些函數圖象各具特征，在具體問題中能直觀反映變量之間的關系變化.因此，從函數圖象中提取信息、分析趨勢和確定關鍵量值，成為理解函數本質、解決問題的重要路徑.

4.1認識與應用圖象的定量特征：提升信息提取與轉換能力

函數圖象呈現的是變量之間數量關系的整體趨勢與局部變化.一次函數圖象的線性特征，使我們能通過斜率反映速度、變化率等量值，適用于判斷等速運動、均勻變化等情境中的定量問題；二次函數圖象的對稱性與極值特征，常用于描述最大高度、最小成本、最優選擇等；反比例函數的變化趨勢，可揭示反向關系中變量制約的邊界與極值.這些特征使得函數圖象成為解決實際問題的“信息容器”.

在實際教學與解題中，學生應具備通過圖象坐標點提取變量具體數值，通過斜率或開口方向判斷變化趨勢，借助圖象頂點和交點等關鍵點尋找極值或臨界條件的能力.例如，在運動問題中，通過直線斜率判斷速度大小、通過交點判斷相遇時刻；在利潤問題中，通過拋物線頂點反映最優定價點.這種對圖象定量特征的識別與運用，是實現“由圖象解問題”的核心能力.

4.2建立數形結合的結構觀：實現模型建構與邏輯推理

函數圖象的價值不僅在于“讀數”，更在于“建模”.函數圖象的形狀反映變量之間的結構性關系，通過圖象建立“數量一空間\"的雙重認知，是解決實際問題中的重要思維方式.不同函數類型的圖象蘊含不同的結構模式，例如，一次函數的直線性反映勻變規律，二次函數的對稱性體現最值策略，反比例函數的漸近性突出約束與限制.在面對實際問題時，教師應引導學生從情境中提取變量間關系，通過圖象建構“模型一邏輯一結果\"的鏈條.

以橋梁設計、利潤優化、時間一速度關系等問題為例，均需學生依據圖象確定函數表達式，再結合圖象特征如頂點坐標、變化趨勢、交點位置等信息，進行代數建模與邏輯推理.這不僅考查學生對圖象的識別能力，更要求其具備“由圖象還原模型”“由結構推演規律\"的能力，從而形成“圖象一函數一問題”的思維閉環.這一能力的培養，正是義務教育數學課程標準所強調的數形結合、建模能力的核心體現.Z