根的判別式的應(yīng)用

一元二次方程 ax²+bx+c=0 的求根公式是 x= -b±√b2-4ac（b2-4ac≥0，a≠0），由此不難發(fā)現(xiàn)，決定一元二次方程有無(wú)實(shí)數(shù)根的重要因素是 b²- 4ac ，只有當(dāng) b²-4ac?0 時(shí)一元二次方程才有實(shí)數(shù)根，否則沒有實(shí)數(shù)根[1，為了方便研究問題，我們把 b²- 4ac 叫做一元二次方程根的判別式，用希臘字母“ ”表示.一元二次方程根的判別式具有廣泛的應(yīng)用，如判定方程根的情況、確定參數(shù)的值或范圍、判定兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況[2.以下筆者結(jié)合實(shí)例作一分析探討！

1不解方程判定方程根的情況

案例1定義新運(yùn)算“ ”：對(duì)于任意實(shí)數(shù) a_λ，b ，都有 a*b=（a+b）（a-b）-1 ，其中等式右邊是通常的加法、減法、乘法運(yùn)算，如 4×3=（4+3）（4-3）- 1=7-1=6 .若 x*k=x（k 為實(shí)數(shù)）是關(guān)于 x 的方程，則它的根的情況為（ ）.

A.有一個(gè)實(shí)數(shù)根

B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

D.沒有實(shí)數(shù)根

分析：根據(jù)新運(yùn)算 ，首先把“ x?k=x ”轉(zhuǎn)化普通的加法、減法、乘法運(yùn)算，即（x+k）（x-k）-1=x ，整理得 x²-x-k²-1=0 ，這里二次項(xiàng)系數(shù) a=1 ，一次項(xiàng)系數(shù) b=-1 ，常數(shù)項(xiàng) c= -k²-1 ，由根的判別式“ b²-4ac ”，得 Δ=（-1）²- 4（-k²-1）=4k²+5. 由 k²?0 ，可知 4k²+5gt;0 ，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.故選：C.

案例2關(guān)于 x 的方程 ax²+（1-a）x-1=0 ，下列結(jié)論正確的是（ ）.

A.當(dāng) a=0 時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根B.當(dāng) a=-1 時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根C.當(dāng) a=1 時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D.當(dāng) a≠0 時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

分析：題中的已知條件是“關(guān)于 x 的方程”，而不是“關(guān)于 x 的一元二次方程”，所以此方程可能是一元一次方程，也可能是一元二次方程，也就是說，這里的二次項(xiàng)系數(shù)可以為0.被選項(xiàng)給出了四種情況下方程根的情況，我們分別討論一下.當(dāng) a=0 時(shí)，原方程可化為 x-1=0 ，那么 x=1 ，顯然方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，故A選項(xiàng)說法錯(cuò)誤；當(dāng) a=-1 時(shí)，原方程可化為 -x²+ 2x-1=0，Δ=b²-4ac=4-4=0 ，所以方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故B選項(xiàng)的說法錯(cuò)誤；當(dāng) a=1 時(shí)，原方程可化為 x²-1=0 ，解得 x₁=1，x₂=-1 ，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故C選項(xiàng)說法正確；當(dāng) a≠0 時(shí)，原方程是一元二次方程，因?yàn)?Δ=（1-a）²+4a= （1+a）²?0 ，所以原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根或兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故D選項(xiàng)的說法錯(cuò)誤.綜上，應(yīng)選：C.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于一元二次方程根的情況，可以通過計(jì)算根的判別式來確定，當(dāng)根的判別式大于0、等于0或小于0時(shí)，一元二次方程分別有兩個(gè)不等實(shí)根、兩個(gè)相等實(shí)根或沒有實(shí)數(shù)根.當(dāng)根的判別式中含有字母時(shí)，要把根的判別式化為含有完全平方式的形式，以便于確定它的正負(fù)號(hào).

2根據(jù)判別式確定參數(shù)的值或范圍

案例3關(guān)于 x 的一元二次方程 x²+（2m+1）x+ m²-1=0 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

（1）求 Σ_m 的取值范圍；

（2）寫出一個(gè) Σ_m 的值，使得該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，并求此時(shí)方程的根.

分析：（1）關(guān)于 x 的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，包括了兩種情況，即有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根與有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以根的判別式 b²-4ac?0. 因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)為 2m+1 ，常數(shù)項(xiàng)為 m²-1 ，所以 b²-4ac=（2m+1）²-4（m²-1）=4m+5≥0. 解不等式，得 所以 Ψ_m 的取值范圍是 ： ：

（2）因?yàn)橹挥懈呐袆e式大于0時(shí)，方程才有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以由（1）知， 時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.取 m=1 時(shí)，方程為 x²+ 3x=0 ，解得 x₁=-3，x₂=0 ，即當(dāng) m=1 時(shí)，方程的解是 x₁=-3，x₂=0

案例4已知關(guān)于 x 的方程 （m+1）x²+2mx+m-3=0

（1）當(dāng) Σ_m 取何值時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？

（2）給 Σ_m 選取一個(gè)合適的整數(shù)，使方程有兩個(gè)有理根，并求出這兩個(gè)根.

分析：（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，一是原方程是一元二次方程，也就是二次項(xiàng)系數(shù)不為0，即 m+ 1≠0 ，亦即 m≠-1 ；二是 Δ=b²-4ac≥0 ，即 （2m）²-4×（m+1）（m-3）=8m+12gt;0 ，解不等式，得 .綜合可得 且 m≠-1 時(shí)，方程有= ￥兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

（2）根據(jù)一元二次方程 ax²+bx+c=0 的求根公式可知，當(dāng) Δ=b²-4ac 是完全平方數(shù)時(shí)，方程有兩個(gè)有理根，因?yàn)?Δ=8m+12 ，所以當(dāng) m=3 時(shí)， 8m+12= 36，方程有兩個(gè)有理根，原方程可化為 4x²+6x=0 .整理為 2x（2x+3）=0 ，所以 2x=0 或 2x+3=0 ，解 ·

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)不等實(shí)根，或沒有實(shí)數(shù)根，利用根的判別式大于0，或小于0，建立不等式，解不等式可求得參數(shù)的取值范圍；根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，利用根的判別式等于0，可以建立方程，解方程可求得參數(shù)的取值范圍.當(dāng)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)時(shí)，要注意考慮二次項(xiàng)系數(shù)不為0的情況.

3判定兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況

案例5 已知二次函數(shù) y=kx²-（k+1）x+ 1（k≠0） B：

（1）求證：無(wú)論 k 取任何實(shí)數(shù)時(shí)，該函數(shù)圖象與 x 軸總有交點(diǎn)；

（2）如果該函數(shù)的圖象與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，且 k 為整數(shù)，求 k 值.

分析： （1）_X 軸可以看作直線 y=0 ，求兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，通常解方程組即可，所以可以建立方程組{y=kx2-（k+1）x+1， 由此得一元二次方程kx²-（k+1）x+1=0（k≠0） .由根的判別式，得 （k+1）²-4k=（k-1）²?0 ，所以一元二次方程有實(shí)數(shù)根，所以方程組有實(shí)數(shù)解，也就是說二次函數(shù)圖象與 Ψ_x 軸點(diǎn)有交點(diǎn).（2）由（1）知，兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況關(guān)鍵看一元二次方程 kx²-（k+1）x+1=0 解的情況，所以解方程得 ，根據(jù)兩函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)均為整數(shù)，且 k 為整數(shù)，可知 k=±1

案例6在同一平面直角坐標(biāo)系中，若一個(gè)反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù) y=-2x+6 的圖象無(wú)公共點(diǎn)，則這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式是

圖1

解析：如圖1所示，一次函數(shù) y=-2x+6 的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，而反比例函數(shù)的圖象只有兩種情況，一是在第一、三象限，二是在第二、四象限，因?yàn)榉幢壤瘮?shù)的圖象無(wú)限趨近坐標(biāo)軸，所以當(dāng)反比例函數(shù)圖象在第二、四象限時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖象一定有交點(diǎn)，所以排除反比例函數(shù) 中 klt;0 的情況.但在反比例函數(shù) kgt;0 的范圍內(nèi)，也不可以隨意選擇，如何準(zhǔn)確選擇反比例系數(shù) k ，使這兩個(gè)函數(shù)圖象沒有交點(diǎn)呢？需應(yīng)用根的判別式.根據(jù)求函數(shù)圖象交點(diǎn)的通常作法， （y=-2x+6，先建立方程組，得 由此得一元二次方程-2x²+6x-k=0. ，因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)圖象無(wú)交點(diǎn)，也就是說這里的一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根，所以 Δ=6²-8klt; 0，解得kgt;. k 以與直線 y=-2x+6 無(wú)交點(diǎn)，如取 k=5 或6等.所 卡 以這個(gè)反比例函數(shù)表達(dá)式可為 或 等.

點(diǎn)評(píng)：二次函數(shù)圖象與 x 軸的交點(diǎn)情況，二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況，反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況，都可以通過先建立方程組，然后化為一元二次方程，根據(jù)一元二次方程根的情況，決定兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況.一元二次方程有兩個(gè)不等實(shí)根、有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)、沒有實(shí)數(shù)根，分別對(duì)應(yīng)兩個(gè)函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)、一個(gè)交點(diǎn)與無(wú)交點(diǎn).

綜上，利用根的判別式可以判定方程根的情況、確定參數(shù)的值或范圍、判定兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想，有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力、數(shù)形結(jié)合能力等[3].

參考文獻(xiàn)：

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[3]蔡文漢.再探“根的判別式”的應(yīng)用[J.初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2022（14）：48-49.Z