問題驅(qū)動探本質(zhì) 探究策略提素養(yǎng)

在初中數(shù)學教學中，幾何問題歷來是培養(yǎng)學生邏輯思維與空間想象能力的重要載體.其中，線段旋轉(zhuǎn)類問題因其融合圖形變換與數(shù)量關系分析的特點，成為核心素養(yǎng)導向下的重要考查內(nèi)容.《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》明確提出要加強學生問題意識與探究能力的培養(yǎng)，強調(diào)“以問題為載體，發(fā)展學生的數(shù)學思維”.

由于這類題型考查方式靈活多變，要求學生不僅要具備直觀想象的能力，還需靈活運用邏輯推理，將平面圖形的性質(zhì)與圓的相關知識緊密結(jié)合，共同為求解問題服務.下面以2024年中考的典型試題為實例，一起探索一個旋轉(zhuǎn)問題的巧妙思路.

1真題呈現(xiàn)

（2024年·山東德州）在 ΔABC 中， AC=BC ∠ACB=120^° ，點 D 是 AB 上一個動點（點 D 不與點A，B 重合），以點 D 為中心，將線段DC順時針旋轉(zhuǎn)120^° 得到線 DE

圖1

圖2

圖3

（1）如圖1，當 ∠ACD=15^° 時，求 ∠BDE 的度數(shù).

（2）如圖2，連接 BE ，當 0^°lt;∠ACDlt;90^° 時，∠ABE 的大小是否發(fā)生變化？如果不變，求 ∠ABE 的度數(shù)；如果變化，請說明理由

（3）如圖3，點 M 在 CD 上，且 CM：MD=3：2 .以點 c 為中心，將線段CM逆時針轉(zhuǎn) 120^° 得到線段CN ，連接 EN ，若 AC=4 ，求線段 EN 的取值范圍.

2思路分析

（1）首先要利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出 ∠CDE=120^° .然后根據(jù)等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理得到 ∠A= 30^° ，再利用三角形外角的性質(zhì)求得 ∠BDC=45^° ，最終可以求出 ∠BDE 的度數(shù).

（2）首先，連接 CE ，交 BD 于點 O ，然后根據(jù)三角形相似，證明 ΔBOCΔEOD ，根據(jù)相似三角形對應 （204號邊成比例得 然后證明 ΔCOD～ΔBOE ，由此就比較容易求出 ∠ABE 的度數(shù).

（3）經(jīng)過點 c 作 CH⊥AB 于點 H ，然后求出∠A=30^° ，從而有 .再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得 ∠CDE=120^° CD=DE ， ∠MCN=120^° . CM= CN ，根據(jù)圖形中的關系，首先設 CD=DE=5x ，由此可以得到 CM=CN=3x .過點 D 作 DG⊥CE 于點 G ，則不難得到 CE=2CG ，然后利用勾股定理得 .通過證明 ∠ECN=90^° ，在RtΔECN 中，根據(jù)勾股定理得 .然后不難求出 ，由此可以得到線段 的范圍.

3試題解析

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得 ∠CDE=120^° .因為 AC= BC ;∠ACB=120^° ，所以 30^° ，則 ∠BDC=∠ACD+∠A=30^°+15^°=45^° 所以 ∠BDE=∠CDE-∠BDC=120^°-45^°=75^°

（2）結(jié)論： ∠ABE 的大小為定值.

理由如下：

連接 CE ，交 BD 于點 O ，如圖4. 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得 ∠CDE=120^° ，且 CD=DE ，從而 ∠DCO=

，從而∠DEO=∠ABC=30^°， 又因為 ∠BOC=∠EOD 則 ΔBOC～ΔEOD ，則""，也即""OE·又因為 ∠COD=∠BOE ，所以 ΔCOD～ΔBOE. 所以∠ABE=∠DCO=30^°.

圖4

（3）如圖5，過點 c 作 CH⊥ AB 于點 H .由（1）知 ∠A=30^° .在Rt ΔAHC 中，易知 CH=

圖5

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得 ∠CDE= 120^° CD=CE ， ∠MCN=120^° CM=CN ，則 ∠DEO=30^°

設 CD=DE=5x .因為 CM：MD=3：2 ，所以 （20

如圖5，過點 D 作 DG⊥CE 于點 G

結(jié)合 CD=DE . ∠DEO=30^° ，得

在 RtΔCDG 中，由勾股定理，可得 CG= ，所以 ：

因為 ∠DCE=30^° ∠DCN=120^° ，所以 ∠ECN= 120^°-30^°=90^°

在 RtΔECN 中，由勾股定理得 EN²=CE²+ ，所以 或 （舍去）.

因為點 D 是 _AB 上一個動點（點 D 不與點 A，B 重合），所以 CH?CD 所以

4解法總結(jié)

（1）充分運用旋轉(zhuǎn)變換的本質(zhì)特征是解決問題的前提.旋轉(zhuǎn)角度確定后，需明確旋轉(zhuǎn)前后圖形間的對稱性與角度關系，從而迅速鎖定關鍵角度.

（2）需靈活運用三角形內(nèi)角和、外角定理及等邊對等角的基本性質(zhì)，結(jié)合角度條件與邊長關系構(gòu)建推理鏈條，完成基本角度的求解任務.同時，輔助線的合理添加尤為關鍵，尤其是通過構(gòu)造相似三角形與垂線，形成比例關系或勾股結(jié)構(gòu)，為未知量的計算提供直接路徑.

（3）在變量變化的問題情境中，掌握圖形變換過程中的不變量是辨析結(jié)論恒定與否的核心，如本題中∠ABE 在旋轉(zhuǎn)過程中保持不變，即源于旋轉(zhuǎn)前后圖形結(jié)構(gòu)的嚴格對稱關系.

（4）融合比例、旋轉(zhuǎn)、勾股定理等多重知識點的范圍求解，要求學生能夠靈活運用基礎知識、準確計算，掌握從數(shù)量關系到幾何圖形的有效轉(zhuǎn)化.

5教學啟示

5.1教材例題的基礎引導與知識起點

在現(xiàn)行初中數(shù)學教材中，特別是人教版教材七年級下冊“圖形的旋轉(zhuǎn)\"章節(jié)，學生初步接觸圖形的旋轉(zhuǎn)變換.這一階段的例題多以圖形繞定點旋轉(zhuǎn)一定角度為基礎，強調(diào)旋轉(zhuǎn)圖形的對應點、對應邊、旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)后的圖形全等等基本特征.教學重點主要在于幫助學生建立“旋轉(zhuǎn)”的初步圖形感知和基礎規(guī)則理解.然而，這種基礎性例題較少涉及綜合推理、圖形構(gòu)建或變量分析，在提升學生核心素養(yǎng)方面存在一定的局限性.學生若停留在這一層面，則難以應對中考試題中結(jié)構(gòu)復雜、邏輯跳躍性強的旋轉(zhuǎn)問題.因此，教材的例題內(nèi)容雖為基礎，卻必須在后續(xù)教學中加以拓展、深化.

5.2中考真題的提升引領與素養(yǎng)考查

與教材中的基礎例題相比，2024年山東德州中考真題在結(jié)構(gòu)設計和能力要求上顯著提升.題目圍繞等腰三角形及其邊上的線段旋轉(zhuǎn)展開，設置三問，分別考查角度求解、角度恒定性分析和邊長范圍探究.題目層層遞進，逐步引導學生從圖形識別走向圖形建模和邏輯推理，既注重旋轉(zhuǎn)本身的幾何意義，也強調(diào)旋轉(zhuǎn)前后圖形中不變量的提取與應用.

由本題可以清晰看到從教材到該題的演進路徑，旋轉(zhuǎn)問題已不再是單一概念教學，而成為培養(yǎng)學生綜合能力與核心素養(yǎng)的重要工具.因此，教師在教學中必須將教材例題作為基礎跳板，圍繞“旋轉(zhuǎn)中的本質(zhì)問題\"開展“問題鏈式”教學，通過創(chuàng)設富有探究性的情境引導學生主動建模、發(fā)現(xiàn)不變量、運用多種策略解決問題.

綜上所述，對于平面幾何圖形中三角形線段的旋轉(zhuǎn)問題，我們首先要清晰理解圖形旋轉(zhuǎn)的三個核心要素：旋轉(zhuǎn)的方向、旋轉(zhuǎn)的中心點及旋轉(zhuǎn)的角度.在構(gòu)建圖形的基礎上，精確地把握旋轉(zhuǎn)軌跡的位置，特別注意的是，當旋轉(zhuǎn)中心恰好是三角形某條邊的中點時，這些特殊位置常常為解決問題提供重要線索，有助于我們建立旋轉(zhuǎn)前后圖形之間的聯(lián)系.Z