2024年湖北數學中考第23題的多種解法探究

通過作垂線、平行線構造“A型”“X型\"相似、全等模型，是解決幾何綜合題的基本方法之一[1].下面通過2024年湖北省數學中考試題第23題第（3）問的多種解法來體驗通過垂線、平行線構造“A型”“X型\"相似、全等模型的妙用.

1試題呈現

在矩形 ABCD 中，點 E，F 分別在邊 AD，BC 上，將矩形 ABCD 沿 EF 折疊，使點 A 的對應點 P 落在邊 CD 上，點 B 的對應點為點 G PG 交 BC 于點 H

（1）（2）問略.

（3）如圖1，連接 BG ，當 P ， H 分別為 CD，BC 的中點時，探 究 BG 與 AB 的數量關系，并說 明理由.

圖1

2解法探究

思路1：如圖2，作垂直，構相似、 .RtΔ

分析：欲探究 BG 與AB的數量關系，可用“設參法”設 CP 為參數 b ，再用參數 b 把相關線段表示出來.再過點 G 作 GM⊥ BC 于點 M ，構造 RtΔGMH 和RtΔPCH 相似（X形），利用相似求出 GM，MH，BM 的長，再用勾股定理求出 BG 的長即可.

圖2

解法1：過點 G 作 GM⊥BC 于點 M 設 CH=a ，CP=b ，則 CH=BH=a ， CP=PD=b BC=AD= 2a ，CD=AB=2b

因為 RtΔCPH～RtΔDEP ，所以 DE，則

在 RtΔDEP 中， ，整理得 5b²=4a² ，所以

在 RtΔPCH 1 ，可得

因為 GM⊥BC，∠C=90^° ，所以 GM//CD，ΔGMH～ ΔPCH ，可得

所以，在 RtΔBGM 中， 可得 .又 AB=2b ，所以

點評：在求線段長度時，通常作垂直構造直角三角形，或構造平行，利用相似、勾股定理來解決問題.

思路2：如圖3，矩形、翻折構造相似三角形.

圖3

分析： P 是 CD 的中點，借鑒“中線倍長”，構建全等得到 CH=DM 利用翻折得到 BG//AP ，由矩形得到 AD//BC ，從而構造 ΔBGH 和 ΔAPM 相似.再求出 BG 的長即可.

解法2：延長 HP，AD ，相交于點 M ，連接 AP .設CH=a，CP=b ，得 （同解法1） 在 RtΔADP 中 ，可得 易得 CH=DM=a ，所以 AM=2a+a=3a 由折疊得 AP//BG ，由矩形 ABCD 得 AD//BC

（20 所以△BGH∽△APM，則 得

又因為 AB=2b ，所以 業

點評：本解法通過翻折對應點連線平行（學生容易忽視）以及矩形對邊平行來構造相似三角形.同時，還需中點倍長中線（類似）構造全等，實現線段的轉化.

思路3：如圖4，平行構造“X型\"相似三角形.

分析：已知 P 是 CD 的中點，借鑒“中線倍長”，構建全等得到 AP=PM AD=CM .利用翻折得到 BG// AP ，構造 ΔBGF 和 ΔPMH 相似（“X型\"），求出 BG 的長即可.

圖4

解法3：連接 AP 并延長，交BC的延長線于點 M 設 CH=a ， CP=b ，得到 （同解法1）.

易得 （同解法2）.

易得 ΔADP?ΔMCP ，所以 AD=CM=2a . _HM=2a+a=3a

由折疊可得 AP//BG ，則 ΔPMH～ΔGBH

（204號 所以 BG，可得BG

又因為 AB=2b ，所以

點評：本解法依然要用中點 P 構造全等（類似中線倍長），折疊中對應點連線平行構建“X型”相似模型，從而用全等來相互轉化，再用相似求出答案.

思路4：如圖5，翻折得平行構 造\"A型\"相似三角形.

分析：已知 P，H 是 CD，BC 的中點，借鑒“中線倍長”，構建ΔBHM 和 ΔCHP 全等得到BM=CP .利用翻折得到 BG// AP ，從而可以構造△APM和ΔBGM 相似（“A型\".求出 BG 即可.

圖5

解法4：連接 AP ，延長 AB，PG 交于點 M 設 CH=a . CP=b ，易得 （同解法1）.

易得 （同解法2）.易得 ΔBHM?ΔCHP ，可得 BM=CP=b，AM=

2b+b=3b

折疊可得 AP//BG ，所以△BGM∽△APM，可得 BG，則BG

又因為 AB=2b ，所以

點評：本解法與解法3類似，同樣要通過另一個中點 H （類似中線倍長）構建全等，再用折疊平行性質構建“A型\"相似模型，求出線段BG的長.解法4是五種解法中最簡潔、最常規的做法.

思路5：如圖6，用中位線構 造“A型\"相似三角形.

分析：由折疊、矩形，可得BG//AP，CD//AB ，得到平行四邊形ABMP，實現線段轉化.PH 為中位線，得 BD//PG ，構造 Δ DBM和△PGM相似（“A\"字形），根據平行線分線段成比例定理求出 BG 的長即可.

圖6

解法5：連接 AP，BD ，延長 BG，DP 交于點 M 設CH=a ， CP=b ，得 （同解法1）， （同解法2）.

由折疊得 AP//BG ，由矩形 ABCD 可得 AB//CD

于是得平行四邊形 ABMP ，所以 AB=PM=2b ，

因為 P，H 分別為 CD，BC 的中點，可得 PH//BD 所以 （204號 即 ，可得

又因為 AB=2b ，所以

點評：解法5利用翻折、矩形得到平行構建平行四邊形，再用平行四邊形對邊相等的性質進行條件的轉化；同時，用中位線構造“A型”相似模型，再用平行線分線段成比例求 BG 的長.本解法比較新穎獨特.

以上五種解法各有不同，但都是通過翻折、矩形、中位線得到平行來構造相似圖形；用垂直、中點構造全等圖形，通過勾股定理、相似，并綜合“設參法”、倍長中線法來解決問題.從不同角度思考問題，可以拓展思維，提高解決問題的能力，有助于學生靈活性、創新性思維的形成[2].

參考文獻：

[1]許文秀，王彭德.一道中考數學翻折問題的幾種解法[J].中學生數學，2023（4）：39-42.

[2]朱海東.例談高中生“一題多解、一題多變”思想的培養[J].中學生數理化（學研版），2014：44.Z