“傳統\"與“現代\"之變 新課標視域下的課堂理解

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》明確指出，課程內容的組織“重點是對內容進行結構化整合，探索發展學生核心素養的路徑”.可以說，學生對幾何教學一般觀念的形成，一方面是了解知識橫向間的結構與關聯、價值與意義；另一方面是通過比較知識縱向間的差異化，在已有學習經驗的基礎上自主構建新知識的研究方法和研究路徑.

筆者從《標準》提出的結構化、整體化理念出發，對蘇科版八年級上冊綜合實踐課“等腰梯形”進行了整體重構.此教學設計是在學生學習了軸對稱圖形，對軸對稱圖形有了一定的認知基礎之上，盡可能地將已有的學習經驗遷移到等腰梯形的學習中，形成更加完善的三角形知識結構以及多邊形知識發展的結構.

1等腰梯形結構化整體教學背景

軸對稱圖形是圖形變化的基礎之一，是學生認識圖形變化、感受數學文化價值、發展空間觀念、培養幾何直觀、建立幾何模型的基石.軸對稱圖形主要研究了等腰三角形、等邊三角形的軸對稱性，“等腰梯形”之所以放在軸對稱圖形這一章節，目的是讓我們以變換的方式去闡釋具有同一屬性的幾何圖形，而且我們在解決四邊形問題時，往往是借助三角形進行解決，因而將等腰梯形安排在八上第二章軸對稱圖形之后的閱讀部分，通過研究三角形和四邊形的內在聯系加深對四邊形問題可化歸為三角形問題的理解，進而對學習平行四邊形、矩形、菱形、正方形起到鋪墊作用.

2等腰梯形結構化整體教學實踐

2.1思考“課程標準之變”

《義務教育數學課程標準（2022年版）》是《義務教育數學課程標準（2011年版）》從“數學實質\"到“數學本質\"的傳承與變化.標準的實施離不開教材內容的選擇，使選擇內容更能準確定位發展核心素養的教學目標，更能深刻體現結構化的數學特征.

2.2比較“教材內容之別”

部分版本教材中“等腰梯形”內容安排如表1：

表1部分教材中“等腰圖形”內容安排

通過比較發現，大多數版本教材沒有將“等腰梯形\"作為教材內容.從課程標準來看，梯形在小學階段的內容按兩個學段分布，分別是第二學段（ 3～4 年級）對梯形的初步感知和第三學段（ 5～6 年級）對梯形、等腰梯形的周長和面積的計算.可以看出，小學階段的幾何圖形僅僅是停留在對“圖形的認識和測量”上，形成初步的空間觀念和初步的推理意識.蘇科版八上教材創造性地將等腰梯形這塊內容穿插在“軸對稱圖形”之后，區別于其他教材的四邊形范疇，讓教師在實施對學生的核心素養落地上有更多“可為\"空間，

2.3分析“知識脈絡之聯”

對比各教材對“等腰梯形”內容編排及課標變化，2011年版的課程標準刪除了有關等腰梯形的內容，將“等腰梯形\"設置為閱讀內容，以“等腰梯形”為載體，引導學生嘗試運用圖形的軸對稱性探究圖形性質，并進一步加深學生對等腰三角形性質的認識.

隨著社會發展和國家培養人的目標的變化，《標準》對“等腰梯形”的闡釋是，在積累了軸對稱、等腰三角形的一些學習經驗后，讓學生自主探究等腰梯形的性質，探究“四邊形是等腰梯形”的條件，將等腰梯形問題轉化為等腰三角形問題來研究.

2.4落實“能力素養之需”

2022版《標準》為“等腰梯形”立身正名，“等腰梯形\"從某種角度上架構了數學課程、數學課堂和學生能力落地之間的聯系，同時是學生掌握數學研究路徑、整體建構認知的核心路徑，應當充分發揮其應有的價值.首先，創設如何研究等腰梯形的主題式活動，促進學生對等腰三角形的認識，讓學生在探究未知領域時，具備正向遷移的能力.其次，通過對問題的探究，逐步掌握提出問題、分析問題、解決問題的基本方法和策略.再者，充分發掘數學內涵，從數學思想、數學方法和數學觀點等方面進一步了解知識的形成和發展的結構化歷程.

2.5踐行“數學求真之路”

M ? 克萊因在《古今數學思想》的緒言中有過精辟論述：課本上字斟句酌的敘述，未能表現出數學創造過程中的斗爭與掙扎、挫折與失敗，以及在建立一個可觀的數學結構之前，數學家所經過的艱苦漫長的努力[2].數學教學不應缺失概念形成和概念同化的過程，挖掘教材的數學知識的結構性關聯、體系性表達，才能體會數學的本真.以“等腰梯形”為例，踐行求真之路.

3教學過程

3.1復習回顧，自然生長

師：請同學們說說我們是如何研究等腰三角形的？

教學說明：學生回憶，我們在研究等腰三角形時是通過等腰三角形的概念、等腰三角形的軸對稱性、等腰三角形的性質、等腰三角形的判定四個方面來研究的，通過某一圖形感悟對一般圖形的研究路徑，埋下自然生長的種子.

3.2由一生二，建立關聯

師：如圖1，在等腰三角形紙片ABC上，畫底邊BC的平行線 DE ，你能得到什么圖形？

圖1

教學說明：學生通過 DE//BC .發現四邊形DBCE有一組對邊平行，另一組對邊不平行，根據已有經驗可知，四邊形DECD是梯形.通過追問“你對這個梯形還有什么發現？”學生發現 DB=EC ，而 DB，EC 是梯形的兩腰，從而引出本節課學習內容—等腰梯形.等腰梯形是從等腰三角形中而來，可見二者間有密不可分的關聯.我們能否以研究等腰三角形的方法和策略來研究等腰梯形呢？留出懸念，引發無限遐想.

3.3自主建構，類比同化

師：你認為我們將研究等腰梯形的哪些方面？你能提出相應的問題嗎？請同學們自主完成《自主建構單》，將你的猜想記錄下來.

教學說明：自主建構單在研究路徑和研究內容上留白，通過動手寫一寫，讓思維可視化，類比等腰三角形的概念、對稱性、性質、判定，架構起等腰梯形的研究脈絡，借助結構化的表達，打通知識間聯系，讓學生積累研究經驗，從而為后階段幾何圖形的學習乃至為高中階段進一步研究圖形作方法鋪墊.

3.4關注本質，突出內聯

師：怎么說明等腰梯形是軸對稱圖形？

追問1：需要證明幾點重合？

追問2：我們可以借助哪個圖形說明等腰梯形的軸對稱性？

教學說明：杰伊·麥克泰格在《追求理解的教學設計》中指出，所謂逆向，不是從輸入開始思考，而是從輸出開始思考，從預期結構開始思考.將等腰梯形回歸三角形這一“元認知”，實質上是一種“逆”數學化過程.從培養學生模型觀念的視角看，“逆”數學化是對數學化的深化和升華，當學生能根據新問題想到已有模型時，可以說學生的模型觀念已初步形成.證明等腰梯形是軸對稱圖形有兩個難點.第一，學生需要知道用翻折的方式來說明；第二，等腰梯形的翻折要借助等腰三角形的翻折來解釋.通過延長等腰梯形兩腰，將等腰梯形復原成等腰三角形的想法就非常有價值.

追問2的提出又一次讓學生感受到等腰梯形的問題與等腰三角形問題之間的緊密聯系，使學生在原有認知的情況下，重新構建起對新問題的研究方向.借助證明等腰三角形是軸對稱圖形的形式，將等腰梯形還原成等腰三角形.

追問3：請你描述一下等腰梯形的對稱軸.

追問4：借助等腰梯形是軸對稱圖形，你還能發現哪些結論？

教學說明：類比等腰三角形兩底角相等，學生容易想到等腰梯形在同一底上的兩個角相等，更進一步還能發現等腰梯形的對角線相等.提升了學生發現問題和提出問題、分析問題和解決問題的能力.

師：根據同學們設計的研究方式，你覺得如何判斷一個梯形是等腰梯形呢？

教學說明：類似地，在判斷等腰三角形的時候，我們添加了一個等腰三角形的特有條件來作為等腰三角形的判定，那么在判斷一個梯形是等腰梯形時，我們也可以添加一個等腰梯形特有的條件，如兩腰相等、同一底上的兩個角相等、對角線相等，都可以說明一個梯形是等腰梯形，

3.5從一而終，返璞歸真

師：對于命題“同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形”，該如何證明？

教學說明：對于命題的證明，可以按照以下兩個步驟完成.第一，畫出圖形，寫出已知、求證；第二，用數學語言進行邏輯表達.

已知：如圖2，在梯形 ABCD 中，AD//CB ∠B=∠C

求證：四邊形ABCD為等腰梯形.

圖2

追問5：我們可以借助哪個圖形說明一個梯形是等腰梯形？

教學說明：如法炮制，學生延續一以貫之的方式，自然生成可以借助等腰三角形來解決.

方法一：如圖3，延長BA和 CD ，交于點 E ，借助三角形與梯形之間的聯系來證明.

圖3

圖4

方法二：如圖4，過點 A，D 分別作BC的垂線，交BC于點 M，N .該方法的證明借助與等腰三角形的聯系，展現出課堂自然的生長樣態.

問題的解決緊緊圍繞等腰三角形展開，等腰梯形從等腰三角形中來，又回到等腰三角形中去.進一步加深了學生對等腰三角形的再認識，建立學好數學的自信，形成勇于探索的科學精神.

4新課標視域下的課堂反思

4.1在教材的變化中把脈新課程標準

隨著新的課程標準的落地，新教材也應運而生.新教材并不是將傳統內容進行重新整合，而是服務于課標，體現時代特點.從培養人的角度去理解新教材，才能客觀地研究教材.

首先，我們要關注教材內容的延續部分，2011年版課標之前，等腰梯形作為教材內容之一，2011年版課標后的教材，雖然將等腰梯形放在了閱讀內容，但是教材編寫者的意圖是讓大家通過構建等腰梯形與等腰三角形的關聯，用等腰三角形的軸對稱性來加以說明，凸顯出編寫者保留等腰梯形的現實意義，符合作為學生素養水平提升的知識載體作用.2022年版課標后，等腰梯形作為結構化教學、落實學生核心素養的有效載體，是否會將“等腰梯形”重新納入到新教材中，我們翹首以盼.

其次，教材的數學知識結構、概念體系只能是相對完備的.數學教學應該尋找數學知識產生的本源思維結點，使學生了解數學知識發生和發展的創造性思維過程3.課程改革已深耕多年，但課堂改革滯后于課程改革，因此，重新審視當前的課堂教學，正確處理好教材“變\"與“不變\"的關系，有助于提升數學課堂教學質量.

4.2在傳統數學課堂中辯證運用結構化教學

現在的數學課堂普遍容量偏大，究其原因，教師以題代課，所謂好題的堆砌實際上壓縮了學生探索問題的時間和思考的空間，對數學概念的理解往往只停留在表面.但典型例題的分析卻又必不可少，需要我們教師辯證地加以區分，尋找傳統教學和結構化教學間的臨界點，虛實結合，辯證統一，讓教學也能從傳統的課堂上發展學生的思維能力.數學是強調思維的學科，忽視數學概念的形成過程，忽視學生從無到有的探究過程，勢必與新課標對發展人的需求相悖.我們渴望傳統的數學課堂，懷念一支粉筆一堂課的時代，不是為了回到原先那種低容量、低思維的課堂，而是要更好地讓學生融入課堂，讓學生成為課堂的主人.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022：2-3.

[2]克萊因.古今數學思想：第一卷[M.上海：上海科學技術出版社，1979.

[3]沈南山，黃翔.明理、哲思、求真：數學史教育價值三重性[J].西南大學學報（社會科學版），2010（3）：141-145.Z