抓住本質 體現關聯 突破難點

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標》對尺規作圖在結構與學業要求上都發生了變化.在結構上，《課標》采取“化整為零\"的方法將尺規作圖植入各幾何圖形的內容之中[1.在學業要求上，增加了經歷尺規作圖的過程，增強動手能力，能想象出通過尺規作圖的操作所形成的圖形，理解尺規作圖的基本原理和方法，發展空間觀念和空間現象力[1].在一次市級初三復習教學研討活動中，筆者觀摩了一節與“圓\"的教學內容有關的復習課，這節課中有一個環節是關于尺規作圖的活動設計，通過作圖喚醒學生對所學內容的回憶，實現對圓的再認識的教學目標.這節課上，出現了一個課堂生成的典型錯誤，究其原因是學生對所學知識理解不夠深刻，遷移同類解決問題的能力較弱.基于尺規作圖的結構與學業要求，筆者對這個典型錯誤繼續進行研究，從動手操作、實驗探究、邏輯推理角度出發，突破學生理解上的難點.

1教學片段

1.1發現問題

問題1利用尺規作圖，把一段圓弧二等分已知：如圖1，利用尺規作圖，把 二等分.

圖1

解法探析：連接 AB ，作線段AB的垂直平分線，垂直平分線與 的交點 P 就是所求作的點.這種方法主要利用了線段垂直平分線的性質，學生基本上能夠畫出來.

問題2利用尺規作圖，把一段圓弧四等分.

學生活動：學生在猜想思考后，在二等分圓弧的基礎上，根據垂徑定理，進一步利用畫線段中垂線的方法求解，但具體畫法出現了兩種不同的操作方式.

方法1：如圖2，學生以已經等分的弧的端點為線段端點，通過作線段垂直平分線得到四等分弧.

圖2

圖3

方法2：如圖3，學生以已經等分弦的一半線段為基準，作線段中垂線來得到四等分弧.

教師呈現了兩位學生的做法，讓學生回答哪種做法正確，哪種做法不正確？方法1正確，方法2不正確.然后就進入到了下一個問題的探究.筆者在自己任教的班級進行了嘗試，發現利用方法2作圖的學生不在少數，這背后的原因是什么？用什么方法可以說明方法2的不正確性？產生方法2的原因是什么？筆者進行了分析.

1.2錯因分析

知識學習的負遷移.如圖4所示，在學習中位線定理時得到的經驗，直線 m//BC 且 Σ_m 經過 AB 中點時，那么可得直線 Σ_m 平分線段 AC，AD ；學生應用已有經驗，通過類比，猜想當直線 m//BC 且經過 AB 中點 D 時，得出了直線 Σ_m 平分 的結論.

圖4

學生對垂徑定理的理解不到位.垂徑定理是指垂直于弦的直徑平分弦，并且平分這弦所對的兩條弧.學生抓住了垂直平分弦可以平分弧，沒有抓住只有垂直平分連接圓上兩點的弦才能平分對應的弧.這里做得了形似而非神似，沒有抓住問題的本質.

1.3策略探究

策略一：讓學生進行實驗操作探究.

通過實驗操作，培養學生的幾何直觀能力，基于這一學業要求，首先用實驗操作的方法去探究方法2是否正確.

方式1：結合圖5，利用刻度尺，量一量弧端點之間線段AE 與EG的長度是否相等，得出AE和GE是否相等，進而得出結論.

圖5

方式2：如圖5，根據圖形的軸對稱性，學生動手操作，通過折一折，把所畫的圖形沿著分點 E 折一折，觀察AE和GE是否重合，從而得出結論.

方式3：如圖5，繼續動手操作，利用圓規畫一畫，以 E 為圓心， EA 長為半徑畫圓弧，觀察所畫的圓弧是否經過點 G ，從而得出結論.

方式4：如圖6，利用幾何畫板軟件中的度量功能等進行驗證，可以進一步讓學生認識到方法2的作圖是錯誤的.

圖6

教學說明：上述方式 1～ 方式3采用的是猜想和操作等直觀方式，利用了形象化的表達，但是缺少嚴格的推理證明，測量也存在一定的誤差.方式4，利用幾何畫板演示，發展學生空間觀念，給探究結論的正確性提供方向性的指引，教學中還需要繼續探究.

策略二：用符號語言進行推理論證.

策略一主要是從幾何直觀的角度進行探究.幾何是培養學生邏輯推理能力的重要板塊，如何讓學生利用符號語言進行推理論證，來說明方法2不正確呢？可以采用以下的方式進行說明.

方式5：用特殊值法、特殊位置法舉反例.

要說明一個命題是錯誤的，在數學中可以運用舉反例的方法.舉反例可借用特殊值法、特殊位置法將等分的圓弧變成半圓（如圖7）進行探究.由于 CE 垂直平分 OA ，可得 OE=AE ，因此 AE=OE=OA ，則 ΔAOE 是等邊三角形，進一步可得""為 60^°"0"為 30^°"，分成的四段弧不全相等，說明用方法2四等分弧是錯誤的.

圖7

方式6：直接進行證明.

如圖8所示，連接 AE，EG，EF ，延長 AE 交 α 于點 H .因為點 A，E，H 在同一直線上，點 A，E，G 在圓弧上，所以點 H 和點 G 不重合.可以證明 RtΔEHM ，可得 AE²=EH²=EM²+MH² ， EG²= EM²+MG² ，因為 MG≠MH ，所以 EH≠EG ，則 AE≠ EG ，從而 不成立，故方法2是錯誤的.

圖8

圖9

方式7：反證法.

如圖9所示：連接 AE，OE，EG ，延長 AE 交 _AB 的中垂線于點 H ，可證 EA=EO=EH .若 則 AE=EG ，進一步可得 EO=EG=EH ，所以點 o G，H 在以 E 為圓心， EO 長為半徑的圓上.這與 ^，G .H 在同一直線（中垂線）上矛盾.因為過同一直線上的三個點不能畫圓，所以 不成立，故方法2是錯誤的.

反證法也可以這樣證：如圖10所示，連接 AE ，EO，EG ，由中垂線的性質知， AE=OE .若 則 AE=EG ，所以點 A，O ，G 在以 E 為圓心， EO 長為半徑的圓上，且 ∠AOG 是該圓的一個圓周角，所以AG 為直徑，即點 A，E，G 在同一直線上，這與點 A ，Δ_E，G 在同一條圓弧 上矛盾，所以 不成立，故方法2是錯誤的.

教學說明：課程標準指出，理解和掌握尺規作圖的基本原理和方法，通過尺規作圖等直觀操作，理解平面圖形的性質與關系.也可以通過平面圖形的性質與關系，來驗證作圖的正確與否.為了說明方法2不正確，從數學的角度進行推理，由于結論是一個假命題，因此可以通過舉反例的方法，也可以利用反證法進行證明，有利于加深學生的理解，培養學生的邏輯推理能力.

1.4遷移應用

問題3在 ?O 中作出一段弧 ，使得 2 ，你有哪些方法？

學生很快通過圓心角、圓周角與弧之間的聯系作圖，但也有學生借助問題2中的經驗，很快想到了利用等分弦心距的辦法去解決問題.如何驗證這種猜想是否正確呢？依然可以借助特殊值法、特殊位置法、通過邏輯推理進行說明.

取特殊值法，如圖11，令ON=NM=ME=2 ，則 OD= 6，OF=FB=3.

根據圖11，可得 DN²= OD²-ON²=36-4=32

NG²=MB²=OB²-OM²=36-16=20， BE²=ME²+MB²=4+20=24， DB²=GB²+GD²=GB²+（ND-NG）²=4+ （

所以 BE≠BD

因此在這種情況下， OM=2ON ，顯然 不成立.

是否存在 OM=2ON ，使得 ？可以繼續進行研究.

從弧長關系出發，探究弦心距是否存在兩倍關系，如圖12所示，記 ?O 半徑為單位1.

設 ∠BOD=∠BOE =∠AOE=∠AOC=α 0^°lt;2αlt;90^° ，則 ON=cos2α，OM=cosα 若 OM=2ON ，則cos α=

2cos 2α ，于是可得cos α=2（2cos²α-1） ，即 4cos²α- cos α-2=0

解得cos （不合題意，舍去），或COs

所以只有在cos 時，結論能成立.

教學說明：針對學生的普遍性想法，引導學生繼續通過猜想一驗證一證明的過程，解決困惑.培養學生發現問題、分析問題、解決問題的能力，讓學生學會思考，提升數學素養.

2教學反思

2.1重視課堂教學生成資源

課堂上生成的教學資源，可以轉化為進一步研究的素材.生成的教學資源是一筆寶貴的財富，教學片段中出現的把一段圓弧四等分既有正解的解答，又有錯誤的解答，正是基于錯誤的解答，去追根溯源，體現了等分弧的本質是要將圓上的弧進行二等分，需要連接弧上的兩點，再作線段的垂直平分線.當然課堂要有生成性資源，教師需要在課堂上給出足夠的時間和空間，備課既要備教材，也要備學生，對學生的學習情況要做充分的預設，站在學生的立場思考問題.教學中，教師也可以舉出一些步驟錯誤的做法讓學生辨別其正誤或者尋找錯因，加深印象.

2.2經歷猜想一驗證的幾何教學過程

我們學習的一些定理和性質的發現，起源于猜想，在猜想得到驗證證明為正確之后，就得到了相應的定理結論.反之，也可引導學生猜想結論是否正確，引導學生從已有的經驗出發進行探究活動，可以從運用實驗操作量一量、折一折、看一看的角度，加深對圖形的直觀體驗和對圖形的認識，運用邏輯推理進行證明，達成新課程標準對尺規作圖的學業要求.這樣才能體現關聯，讓學生抓住本質，突破理解上的難點.

3.3重視尺規作圖教學帶給學生更深刻的理解

史寧中教授所說：尺規作圖教學，要教想法，教想象力，會用是將核心素養內化于己的手段.初中階段增加尺規作圖的學業要求，目的是幫助學生通過與具身認知相關的具體操作活動，經歷對幾何圖形的構造過程，進一步理解組成幾何圖形的元素之間的相互關系與結構，培養幾何直觀與空間想象力3.課堂上除了讓學生會畫、會認，還要讓學生會用.會畫是最基本的技能，在此基礎上理解尺規作圖的原理和方法，才能會認和會用.

參考文獻：

[1中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]王小林.從被動到自主，讓“尺規作圖”走向“低耗高效”——由一道試題引發的思考[J].數學教學通訊，2014（16）：15-16.

[3]陸華.“新課標”下尺規作圖學業要求、命題形式與教學展望——以2024年中考數學真題為例[J].中學教研（數學），2024（11） ：46-48.Z