數與式的規律探索題解法探索

在初中數學教學中，數與式的規律探索題因其融合了觀察、分析、歸納與表達等多種能力的考查，成為培養學生數學思維與核心素養的重要載體.這類題目往往以表面簡單、實則深藏規律的數字或代數式呈現，要求學生在有限的信息中發現隱藏的結構特征，進而加以歸納推廣[1].

為了幫助學生更好地把握此類題目的解題策略，本文將以“觀察數字特征”“關注式子特征”“數形結合\"“歸納與驗證”四個維度為切入點，系統探討規律探索題的常見類型與解題方法.這四類方法既體現了解題過程中的思維路徑，又展示了數學思想的內在聯系，有助于學生建立系統的解題意識與模型感知能力.通過典型例題分析與策略歸納，旨在為規律探索題的教學與學習提供清晰的思路指引和實踐路徑，

1題型分類例析

1.1觀察數字特征

一些習題創設的是數字情境，給出一組或幾組數，要求回答相關問題.解答該類問題，需要探尋數字的特征.一般情況下，如給出的數為一組，需要分析彼此相鄰數之間的差別，包括符號相同還是有規律地變化，數之間是按照什么方式變化的，數與順序之間有否內在聯系.若給出的數是幾組或若干組，分析時既要注重觀察組內數的特征，又要具備整體意識，探究組與組之間數的關系.

例1（2025年日照模擬）觀察下面三行數：

（1）按第 ① 行數排列的規律，第7個數是第 n 個數是 （用含 n 的式子表示）.

（2）觀察第 ② 行數與第 ① 行數的關系，第 ② 行第 n 個數是 （用含 n 的式子表示）；觀察第 ③ 行數與第 ① 行數的關系，第 ③ 行第 n 個數是 （用含 n 的式子表示）.

（3）取每行數的第8個數，計算這三個數的和.

分析：該題給出三組數并設計三個問題.其中問題（1）要求第 ① 行數的相關問題，解題的發力點應該放在探尋數之間的變化規律上.分析可知各數按照—2的 n 次方變化，其中 n 和數的順序相同，容易得到數與 n 的關系為 （-2）ⁿ .在解答問題（2）的過程中，需要分別對比 ① 和 ② . ① 和 ③ 對應數之間的差別，通過作差、作商，找到規律.在順利解決問題（1）和問題（2）后，問題（3）也就不難得出結果.

說明：本文4道例題的具體解析 可掃碼查看.

1.2關注式子特征

部分習題會給出一組式子，要求基于對式子規律的分析解決相關問題.該類問題的解題方法隱藏在式子之中，因此，應認真觀察式子的特征，尤其是當所給的式子與分數相關時，應觀察、分析分數的分子和分母之間是否有聯系，是否存在規律性變化.當給出的式子為分數相關的運算時，應通過對比探尋運算規律.

例2（2025年江蘇模擬）觀察等式： 2+2²=2³- 2，2+2²+2³=2⁴-2，2+2²+2³+2⁴=2⁵-2，…… 已知按一定規律排列的一組數； 2¹⁰⁰，2¹⁰¹，2¹⁰³，…，2¹⁹⁹ 若 2¹⁰⁰=m ，用含 Ψ_m 的代數式表示這組數的和是

分析：本題屬于典型的“關注式子特征”類規律探索題，其突破口隱藏在指數式和求和結構之中.題目通過遞推式展示了一類指數和的規律.如 .逐步構建出“前 n 項指數式的和等于下一個2的冪減2”的模式.面對題設給出的從 2¹⁰⁰ 到 2¹⁹⁹ 的求和問題，應先識別出其是首尾明確的等比數列，再結合指數冪的性質，巧妙構造出完整的等比和再相減.通過構造從2到 2¹⁹⁹ 的總和減去從2到 2⁹⁹ 的部分和，運用等比數列求和公式 2ⁿ⁺¹-2 ，最終得出結果為 2²⁰⁰-2¹⁰⁰ ，即m²-m .本題重點在于通過觀察式子內部指數結構及其變化規律，發現并運用指數冪之間的關系，是訓練學生“式子敏感度”和代數化表達能力的典型例題.

1.3數形結合

部分初中數與式相關的習題結合圖形進行設問，事實上，初中階段遇到與圖形相關的習題，可以通過數形結合找到解題思路.解答該類習題時需要認真觀察所給的圖形，明確圖形中數表示的含義，并根據需要從不同的視角對圖形進行分析，從而建立對應的方程，促進問題的順利解決.

例3（2025年濟南模擬）將長為 2a ，寬為2b的長方形對折后再對折，展開得到如圖1所示的圖形，沿圖中虛線用剪刀平均剪成四個小長方形，然后用這四個小長方形拼成如圖2所示的圖形.

圖1

圖2

（1）通過兩種不同的方法表示圖2中陰影部分的面積，可得到關于 a，b 的等量關系為

（2）根據（1）中的等量關系，解決下列問題：

① 若 m+n=6 ， mn=3 ，則 （m-n）² 的值為 ；

② 將邊長分別為 x，y 的正方 形 ABCD 、正方形CEFG按圖3所 示擺放，若 xy=12，BG=1 ，求圖3 中陰影部分面積的和.

圖3

分析：該題以圖形為背景，要求探尋數之間的內在聯系.解題的關鍵在于以面積為橋梁構建相等關系.問題（1）通過觀察確定陰影部分的邊長表示其面積，而后從整體視角通過圖形的面積相減表示出其面積，由此便可建立相等關系.問題（2）中的兩問是對問題（1）結論的靈活應用，解題時需要結合圖形，設出對應參數，結合問題（1）中的結論，通過變形、推理、計算得出結果.

1.4歸納與驗證

初中數與式的問題中，部分習題給出相關的定義或運算法則，并設計問題檢驗對定義或運算法則的理解及靈活應用能力.解答該類問題的關鍵在于吃透題意，通過對相關運算過程的歸納，找到對應的運算法則.同時，聯系所學，對運算法則進行驗證，做好細節上的修改，確保得出正確的結論.

例4 （2025年菏澤模擬）閱讀理解：一般地， n 個相同因數 a 相乘記為 ，如 2×2×2=2³=8 ，此時3叫作以2為底的8的對數，記為 log₂8? （即 log₂8=3 ）

（1）計算： ， ·

（2）（1）中三數9，81，729之間滿足怎樣的關系式？寫出 log₃9，log₃81，log₃729 之間的關系式

（3）由（2）的結果，請你歸納出一個一般性的結果： log_aM+log_aN=（agt;0 且 a≠1，Mgt;0 Ngt;0^? ）

（4）根據上述結論解決下列問題：已知 log_a2= 0.3，求 log_a4 和 log_a8 的值 （agt;0 且 a≠1） ：

分析：該題以乘方運算為背景給出新的運算法則，并解決問題.觀察可知，新的運算法則是乘方運算的逆運算.結合題干不難得出問題（1）和問題（2）的答案.問題（3）是對新運算法則的進一步推廣，可以通過問題（2）歸納得出.問題（4）具有一定難度，需要深刻理解新的運算法則，并靈活應用，

2解法總結

在數與式的規律探索類題目中，解法的核心在于對題目所呈現信息的深入觀察與合理歸納，而非機械套用公式或模板.這類題型以數字、代數式、圖形、定義等為載體，考查學生對數量關系的敏銳洞察和對數學思想的綜合應用能力.無論是給出一組特殊數列，還是呈現一連串具有結構特征的代數式，或是在圖形背景下融合數的變化規律，其共同點都在于通過表面形式引導學生尋找背后的本質聯系，從而實現從特殊到一般、從具體到抽象的思維躍遷.因此，規律探索類題目的解法并非千篇一律，而是要求學生基于所給情境靈活分析，選擇合適的數學工具與策略.具備整體觀和結構意識，是高效解題的前提[2].

以數字特征類題目為例，面對多組數據時，關鍵在于從數值的變化規律入手，明確數與數之間的差異、倍比關系或位置關系，進而推導出通項表達式或遞推規律.同時，在面對式子特征類問題時，要特別關注表達式內部結構的變化趨勢，尤其是指數、分式或乘法構造等常見形式，嘗試通過構造與變形將其轉化為可識別的模式.在此過程中，建立數與式之間的等價轉化尤為關鍵，常見策略包括拆項、配湊、遞推和整體替代，最終實現代數化表示與簡潔求解.此外，圖形類題目中常通過“面積構造”“圖形變換”“形數關系”等策略引導學生建立圖和數之間的聯動機制，在圖形拆分、重構或轉化中表達數量關系，進而轉化為代數語言求解；而定義類題型則要求學生在理解新規則的基礎上進行歸納演繹，并通過驗證確保規律的成立和適用性.

總之說，規律探索題的解法需依托“觀察一比較一歸納一驗證\"這一基本思維路徑.先通過觀察和分析提取信息，再通過對比構建關系、歸納出一般表達，最終借助具體算例或邏輯推演驗證其正確性.這一過程體現的是數學的思維方法論，也是培養學生抽象概括、邏輯推理與數學表達等能力的重要途徑.教師在教學中應引導學生在具體情境中體會“發現規律一抽象建模一驗證應用\"的完整過程，使學生在解題過程中既能提升數學思維的深度，也能增強對數學結構美與邏輯美的感知，從而實現“以題促思、以題養能\"的目標.

參考文獻：

[1]雍蓉.初中數學規律探索問題的題型分類與分析[J].數理天地（初中版），2024（9）：8-9.

[2]周存蘭.初中數學探索規律型題目解法探析[J].數學之友，2022，36（11）：58-59，62.Z