巧借數學實驗，培養高階思維

數學學習能促進個人思維能力發展，使人們學會用嚴謹、理性的方式認識和探索世界.隨著信息化時代的到來，數學學習的方式越來越多樣化、個性化.通過在真實、適切的問題情境中發現和提出問題，親身經歷知識的形成和發展過程，有助于學生從本質上深入理解所學內容，同時習得研究問題的一般方法，形成適應未來社會發展的必備品格和關鍵能力.從這個意義上來說，在初中數學教學過程中，合理開展數學實驗教學，讓學生在“做數學\"的過程中學數學、用數學，感受數學與生活的聯系，發掘數學的應用價值，能有效助力學生高階思維培養，形成深度學習習慣.

1初中數學實驗的育人價值

瑞士數學家歐拉指出：“數學這門學科需要觀察，也需要實驗.\"通過數學實驗，學生可以將抽象的概念具體化，將習得的經驗具身化，將被動的習得主動化，將傳統的學習個性化.通過測量、比較、操作、推理等實驗探究方式進行數學知識的學習，能激發學生的學習興趣，營造多元的學習環境，激活學生的實踐意識，點亮學生的創新思維.數學實驗有多種分類方式，根據實驗的功能，可以分為現象解釋型、結論驗證型、問題解決型、規律發現型、建模應用型五類1；根據研究對象的知識范疇，可以分為數與代數的數學實驗、圖形與幾何的數學實驗、統計與概率的數學實驗、綜合與實踐的數學實驗.本文中根據實驗的目的不同，將數學實驗分為演示驗證型數學實驗、操作探究型數學實驗、創新設計型數學實驗等三類，并據此對初中數學實驗的教學價值進行闡述.

1.1演示驗證型數學實驗有助于創設有效問題情境，培養學生辯證思維品質

數學教學不能停留在簡單機械的知識傳授層面，而要達到讓學生感知“是什么”以及“為什么是”的多元交流階段，培養學生主動提問和善于發現的好習慣.演示驗證型數學實驗是對已有數學結論的驗證，是使用運算、推理、觀察、模擬等實驗方式對已知數學結論進行實證化探究，可以創設有效、適切的問題情境，讓學生在真實、可視的實驗過程中親身經歷數學對象的合理性形成過程，從主動提出疑問到主動解決問題，對于培養學生用數學的眼光觀察現實世界，激發學生的學習興趣，用辯證的觀點認識世界有重要作用.

1.2操作探究型數學實驗有助于創設深度學習環境，激活學生理性精神和科學態度

著名的數學教育家弗賴登塔爾曾用“冰冷的美麗\"和“火熱的發明”來形容數學結論的表達形式和研究過程.只注重結論不注重過程，會讓學生的學習變得“冰冷”.親身經歷知識的發現、研究、歸納和應用全過程，才能讓數學學習變成“火熱的探究\"過程.操作探究型數學實驗聚焦核心素養的培育，以學生問題分析能力和問題解決能力提升為自標，以學生主動參與數學實驗活動為主要教學形式，關注“怎么做”“能不能做得更好\"等核心問題.教學過程中，在充分解析數學對象、發現數學問題的前提下，啟發學生猜想數學對象的相關結論，主動設計實驗過程探尋問題解決方案，并及時評價和反思，調整策略.這對于培養學生專注學習、深度思考、與人合作的能力，形成理性精神和科學態度有重要意義.

1.3創新設計型數學實驗有助于提升學生實踐能力和創新意識

時代的發展呼喚具有較強實踐能力和創新意識的人才，數學知識的學習、應用和再創造過程為學生實踐能力和創新意識的培養提供了充足的沃土.創新設計型數學實驗指應用數學知識以實驗探究的方式對數學對象之間可能存在的關系、自然界的現象進行數學化研究，或者利用數學原理改進原有研究方法，創新設計產生開放性結果的過程.在這個過程中，學生要充分調動自身的主觀能動性，積極思考，大膽建構，在實驗操作的過程中不斷嘗試，不斷改進，學會與人交流與合作，最終突破原有成果，建構新模型、發現新結論或者形成新作品.學生的學習主體性在這一實驗過程中得到充分體現.

2數學實驗促進高階思維發展的教學實踐

高階思維是指發生在較高認知水平層次上的心智活動或認知能力，高階思維是高階能力的核心，主要指創新能力、問題解決能力、決策力和批判性思維能力2.高階思維具有能動性、復雜性、深刻性、穩定性、綜合性等特征[3].數學高階思維主要表現在靈活運用數學知識分析復雜情境中的數學現象和數學問題，綜合運用數學知識和數學方法設計問題解決方案，運用元認知策略調控和評價問題解決過程，以及積極的知識遷移和再創造等方面.教學過程中關注學生主體性的體現，以核心素養為導向，根據教學目標和教學對象的特點，合理地開展數學實驗教學，能對學生數學高階思維發展和培養起到關鍵性促進作用.本文中結合筆者參加省級實驗說課比賽中的實驗課例“最短路徑問題”，闡述數學實驗在促進高階思維發展中的作用.

2.1巧借演示驗證型數學實驗，呈現象之“美”，啟 辯證思維

數學對象的基本概念和本質屬性是自然界客觀存在的規律，在概念學習的過程中適時開展演示驗證型數學實驗，能迅速吸引學生的注意力，將“為什么是這樣\"的過程以可視化方式呈現給學生，讓學生感受到原來數學世界如此“美妙”.

在進行“最短路徑問題”之“將軍飲馬模型”的教學過程中，為了讓學生感受研究這類問題的必要性，深刻把握“最短路徑\"的本質特征，教師充分了解了學生已有認知基礎，包括在物理學中學生已學習了“光的反射定律\"和“平面鏡成像原理”等.在課程伊始，便設計了一個有趣的演示實驗——“假如我是一束光”.從生活中物理現象一一光的直線傳播和光的反射現象入手，以小黑板、紅外線燈、平面鏡等身邊的材料為實驗器材.首先演示從黑板上的點A出發，照射到點B 的光線，引導學生說出“光在同種介質中沿直線傳播\"的基本事實.再將點 A 與點 B 置于平面鏡同側，演示光線由點 A 射出借助平面鏡反射并經過點 B 的路線，引導學生從物理學角度理解以上路線是光選擇的最快路線，也是最短路線.同時啟發學生思考：從數學角度來看，能從以上問題中抽象出怎樣的幾何圖形？光所選擇的最短路徑是否為數學上“由點 A 經直線 l 再到達同側的點B”的最短路線呢？

從物理現象引入數學問題的研究，打破了常規最短路徑問題研究的定勢.直觀有趣的演示實驗引導學生從欣賞自然現象到驗證再到解釋，在感知學科間聯系的同時，充分認識研究最短路徑問題的必要性.在這里，演示驗證型數學實驗直觀地呈現了自然現象或數學結論，在觀察現象的同時引發思考，將自然現象或實際問題中的數學元素抽象出來，發現并提出其中的數學問題.這一過程有利于培養學生用數學的眼光觀察現實世界和用辯證的觀點抽象數學問題的能力.

2.2巧借操作探究型數學實驗，挖知識之“深”，啟決策能力

學習數學的過程是元認知監控下的“做數學”和“用數學做\"的問題解決過程.在面對新情境、新問題的時候，學生能積極行動，深入思考，快速決策，并能合理利用資源開展實驗探究，能根據實驗結果進行分析、歸納和概括實驗結論，反思實驗成效并適當改進實驗操作，獲得優化成果，最終完成“知行合一”的數學知識學習過程，是操作探究型數學實驗的育人目標.

將以上兩個光的最短路線問題抽象為數學問題，即可得到兩類最短路徑問題情境，光線從點 A 經過點B 的最短路線可以對應數學上“兩點之間，線段最短”的基本事實.而光線由點 A 射出經平面鏡反射后再到達點B的路線是否為數學上兩點在直線同側時，“點一線一點\"的最短路徑，就有待實驗探究了，需從“存在性”和“唯一性”兩個角度進行研究.在教師的啟發下，學生選擇了生活中常見的實驗工具一—圖釘、細繩、硬紙箱、直尺等，自主設計了“測量一計算一比較一分析”的實驗過程.選擇直線 ? 上的多個點作為點c ，用細繩模擬直線同側的線段 AC，BC ，實驗小組成員分工合作完成了選點、測量、計算、分析的過程，并分組匯報了實驗結果.

在以上操作過程中，勢必會存在一組距離和的最小值，但怎樣說明一定存在并確定直線 l 上使 AC+BC最小的點 c 的位置呢？學生經過思考提出實驗改進方案：可以選擇一個方向在直線上依次取點并測量計算，這樣可以呈現出 AC+BC 值的變化趨勢.還有學生提出可以類比于光線的傳播，用平面鏡成像原理畫出點 c ，測量此處的線段和并與其他各處比較.這樣的課堂生成說明學生已具備一定的實驗探究和數學思考能力，形成了良好的問題解決策略.在此基礎上，教師與學生一起用幾何畫板等工具進行繪圖、測量，并繪制線段和隨點 c 位置變化的函數圖象，進一步鞏固學生的良好實驗成果.這一過程充分尊重了學生的學習主體地位，讓他們在真實情境中應用知識解決問題，經歷復雜情境中的問題分析、工具選擇、人員分工、成果表述、實驗改進等過程，較好地鍛煉了學生的決策能力.

2.3巧借設計創新型數學實驗，育思維之“花”，啟創新思維

創新是時代發展的需要和民族進步的靈魂，是培養全面發展的人的重要育人目標之一.教學過程中引導學生利用已學知識探索新結論、產生新成果，不僅全面提升了學生的數學素養，啟發了學生的創新思維，也豐富了課堂教學的形式，拉進了師生、生生距離，營造合作共贏、協同進步的良好學習氛圍.

在“最短路徑問題\"的教學過程中，筆者認為有兩處可以開展創新型數學實驗.一是實物操作獲得結論后對最短路徑的數學化證明過程.證明是建立模型的前提，也是本節課的教學難點.如何證明點 A 關于直線 ξ_l 的對稱點 A^′ 與點 B 的連線和直線 l 的交點即為使 AC+BC 的值最小的點呢？學生很難一下子聯想到再取一點 C^′ 來輔助證明.這時可引導學生使用手邊的實驗工具，觀察點 c 在不同位置時，線段 AC，A^′C 4BC的位置及長度情況，學生會發現 A^′C+BC 有直有折，對比點 A，B，C 在同一直線上與形成三角形的情況，困難就迎刃而解了..這一看得見摸得著的可視化過程較好地化解了思維的難度，將抽象的證明實物化，這個過程也幫助學生打開了幾何“唯一性\"證明的大門.

另一思維創新點在“最短路徑問題”的拓展思考上.學生經歷“將軍飲馬\"類最短路徑的完整探究過程，能構建模型并能解決“對稱類\"最值問題.在此基礎上，引導學生進一步觀察物理現象，生活中不僅有光的反射現象，還有折射現象.因介質的不同，光線從空氣進入水中，路線會發生改變，從空氣中的點 A 射出的光線經過水面折射，經過水下的點 B ，光選擇的最短路線如何對應數學中的最短路徑呢？此處已有“胡不歸模型\"的雛形，教師可引導學生通過查閱資料、演示操作、推理演算等方法進行初步研究.另外，生活實際中管道的鋪設還會考慮更多因素，如何為實際生活中的最短路線選擇問題提供方案，教師也可以引導學生以項目式學習的方式開展實驗探究，激發學生深層次學習的欲望、實踐能力和創新思維.

3開展初中數學實驗的注意事項

3.1注意實驗的適切性、必要性和可操作性

開展數學實驗的自的是為了營造真實、可操作的學習環境，開展什么類型的數學實驗，應根據教學目標和學情實際來確定.教師要充分領會課標要求，深度挖掘可用素材，設計貼近學情、可操作性強的實驗內容.同時應充分設想實驗器材和實驗場地可能存在的危險因素，杜絕不必要的險情出現.對于一些難度較大的實驗，可以考慮分多個課時接續開展，或劃分實驗階段，充分利用課前、課中、課后的時間.

3.2因地制宜，充分利用好身邊各類資源

教學中培養學生善于觀察生活的能力，引導學生因地制宜尋找身邊的材料開展實驗活動，能很好地鍛煉學生的想象能力和創造能力.充分發揮信息技術，如幾何畫板、人工智能等工具的輔助教學作用，提高實驗精度和效度.

3.3重視評價和反思，引導學生轉化實驗成果

反思和評價是高階思維的重要組成部分.學會對實驗成果和自己的表現進行及時反思，有利于學生構建體系、內化經驗，形成批判性思維和深度思考的習慣.同時，教師也要對實驗設計、實驗表現、實驗結論和實驗改進進行多元評價，提升教學能力，構建和諧師生關系.

參考文獻：

[1]汪昌輝，朱偉衛.基于DIMA平臺的高中數學實驗教學研究[M].上海：上海科學普及出版社，2017.

[2]何正文.基于核心素養的高階數學思維的培養[J].數學通訊，2020（3）：1-4.

[3]吳柳.指向高階思維培養的初中數學跨學科教學研究[D].大連：遼寧師范大學，2024.Z