從具象操作到符號表達(dá)

抽象是數(shù)學(xué)的基本特征，也是數(shù)學(xué)的基本思想，更是用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實世界的基本方法。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱新課程標(biāo)準(zhǔn)）明確將數(shù)學(xué)抽象能力作為初中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一，強調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)遵循從具象到抽象的漸進(jìn)式過渡原則。然而，當(dāng)前，初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，普遍存在\"抽象斷層\"的具體問題一學(xué)生對符號化、形式化數(shù)學(xué)語言理解困難。不僅如此，抽象能力的內(nèi)隱性特征也為教學(xué)實踐帶來了不小的挑戰(zhàn)。

初中階段，數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)既要以小學(xué)階段形成的量感、數(shù)感與符號意識為基礎(chǔ)，又要為高中數(shù)學(xué)的抽象思維發(fā)展奠定根基。分析初中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容與教學(xué)要求發(fā)現(xiàn)，這一階段的數(shù)學(xué)抽象能力以數(shù)學(xué)概念、關(guān)系以及方法的抽象為主要表現(xiàn)形式。由此可見，初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生抽象能力時，教師既要關(guān)注初中階段數(shù)學(xué)教學(xué)的特殊性與過渡性，又要進(jìn)一步探索將抽象能力轉(zhuǎn)化為可觀可測行為指標(biāo)的方式方法，并在課堂教學(xué)中落實相應(yīng)的培養(yǎng)策略，從而幫助學(xué)生逐步完成從具象操作到符號表達(dá)的思維升級。基于此，本文立足新課程改革的大背景，詳細(xì)研究了初中數(shù)學(xué)教學(xué)中抽象能力的培養(yǎng)路徑，旨在幫助學(xué)生深人理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，引導(dǎo)其從具體問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，實現(xiàn)從算術(shù)思維到代數(shù)思維的跨越。這種培養(yǎng)方式不僅能提升數(shù)學(xué)教學(xué)效果，而且能為學(xué)生未來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，激發(fā)其持續(xù)發(fā)展的內(nèi)在動力。

一、搭建符號化認(rèn)知階梯，促進(jìn)算術(shù)思維向代數(shù)思維的漸進(jìn)式轉(zhuǎn)化

從小學(xué)步人初中，學(xué)生要面臨代數(shù)課程的系統(tǒng)化學(xué)習(xí)。這一轉(zhuǎn)變需要學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中實現(xiàn)由算術(shù)思維到代數(shù)思維的有效過渡，而數(shù)學(xué)抽象能力也在此過程中萌發(fā)。算術(shù)思維和代數(shù)思維具有本質(zhì)區(qū)別。具體而言，算術(shù)思維需要嚴(yán)格按照步驟計算具體數(shù)值，每個步驟都是為了直接得到結(jié)果，而代數(shù)思維重點在于建立符號之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，通過方程式來展現(xiàn)各個量之間的抽象聯(lián)系。不僅如此，二者在解題策略上也大不相同，算術(shù)思維更強調(diào)“直奔終點”的解決問題方法，而代數(shù)思維更側(cè)重通過去情境化的手段，將現(xiàn)實性問題轉(zhuǎn)化為符號方程，并以此為基礎(chǔ)，運用運算規(guī)則解題，最終再將符號結(jié)果轉(zhuǎn)化為現(xiàn)實情境。在此過程中，中間的符號運算階段完全獨立于原始問題，這種脫離具體情境的特性，進(jìn)一步讓代數(shù)方法發(fā)展成為解決各類問題的通用工具。算術(shù)思維與代數(shù)思維的差異性從本質(zhì)上體現(xiàn)了從具體到抽象、從特殊到一般的認(rèn)知躍遷，也是初中階段數(shù)學(xué)抽象思維培養(yǎng)的重要著眼點。基于上述分析，結(jié)合算術(shù)思維與代數(shù)思維的區(qū)別與聯(lián)系，教師可以在教學(xué)設(shè)計中充分尊重學(xué)生的學(xué)習(xí)發(fā)展規(guī)律，通過階梯式活動的構(gòu)建，引導(dǎo)學(xué)生逐步從依賴具體實物的算術(shù)思維，轉(zhuǎn)向運用符號表示抽象關(guān)系的代數(shù)思維，進(jìn)一步讓抽象能力在實踐操作中得以發(fā)展。

以人教版初中數(shù)學(xué)七年級上冊第五章《一元一次方程》的教學(xué)為例，教師可以基于上述分析，遵循“問題抽象一符號表示一方程建立”的教學(xué)邏輯構(gòu)建教學(xué)活動，為學(xué)生由算術(shù)思維向代數(shù)思維過渡提供重要保障。基于教材章節(jié)引言中“甲、乙登山隊追趕問題”，教師可以設(shè)計出以下階梯式活動：在具象操作階段，教師引導(dǎo)學(xué)生利用實物模擬數(shù)量關(guān)系，如教師建議學(xué)生用文具，如鉛筆、橡皮，分別代表兩支隊伍，并鼓勵其在課桌上模擬兩隊的行進(jìn)過程。通過直觀演示，移動文具的過程中，學(xué)生能夠直觀感受甲隊逐漸接近乙隊的過程，初步感知“追趕時間”與“路程差\"“速度差\"之間的關(guān)系。在“半抽象\"階段，教師引導(dǎo)學(xué)生通過線段圖梳理數(shù)量關(guān)系，用線段圖表示兩隊的位置和運動過程。學(xué)生在線段圖上標(biāo)注甲隊和乙隊的初始位置、行進(jìn)方向和速度，并嘗試用文字描述追趕過程中的等量關(guān)系：甲隊行進(jìn)的路程 乙隊行進(jìn)的路程 + 初始路程差。這一過程幫助學(xué)生將具象操作轉(zhuǎn)化為半抽象的圖形與文字表達(dá)，為符號化奠定基礎(chǔ)。最后，在符號表達(dá)階段，教師引人方程實現(xiàn)抽象建模，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生用代數(shù)符號表示未知量和數(shù)量關(guān)系一設(shè)追趕時間為 x 小時，甲隊行進(jìn)的路程為 1.2xkm ，乙隊行進(jìn)的路程為 0.8xkm 。根據(jù)線段圖中的等量關(guān)系，學(xué)生嘗試列出方程“ 1.2x= 0.8x+（3-1） ”并完成解方程。這一過程使學(xué)生體驗到用符號表達(dá)可以簡化復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，實現(xiàn)從算術(shù)思維到代數(shù)思維的跨越。

二、深化概念生成過程，促進(jìn)多元理解

數(shù)學(xué)概念是初中階段抽象能力培養(yǎng)的重要載體，其內(nèi)在的抽象屬性往往難以被學(xué)生直接理解，從而造成一定的理解困難。在抽象能力培養(yǎng)視域下，理解概念、定義是發(fā)展抽象能力的基本途徑。為此，教師可以著眼于概念的發(fā)生、發(fā)展以及邏輯過程，幫助學(xué)生建立具象與抽象之間的認(rèn)知聯(lián)結(jié)。基于此，教師在概念教學(xué)中應(yīng)盡可能做到多角度、分階段，以便讓學(xué)生在觀察、操作、歸納的過程中逐步建構(gòu)抽象概念，避免直接灌輸定義。

以人教版初中數(shù)學(xué)八年級下冊第十九章《一次函數(shù)》的教學(xué)為例，基于這一概念，教師就可以設(shè)計“具體情境一圖像表示一解析式抽象”的遞進(jìn)式教學(xué)路徑。首先，在“情境感知”階段，教師通過引入“彈簧伸長量與拉力的關(guān)系”\"汽車勻速行駛時路程與時間的關(guān)系”等現(xiàn)實情境，讓學(xué)生感知變量之間的依賴關(guān)系；其次，在“圖像表示\"階段，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將情境中的數(shù)據(jù)繪制成圖像，觀察圖像的直線特征，初步抽象出“一次函數(shù)圖像是直線\"的直觀認(rèn)識；最后，在“符號表達(dá)\"階段，教師引導(dǎo)學(xué)生從具體數(shù)據(jù)中歸納出 y=kx+b 的解析式，解釋符號k和b的實際意義，完成從具象到符號的抽象。不僅如此，在循序漸進(jìn)地完成概念感知與理解后，教師要在此過程中滲透多維度抽象路徑，讓學(xué)生能夠分別從幾何、代數(shù)與現(xiàn)實建模的角度進(jìn)一步深化對概念的理解與分析。例如：教師可以利用教材中的“溫度變化折線圖”，引導(dǎo)學(xué)生觀察“時間一溫度”的一一對應(yīng)關(guān)系，從而強化學(xué)生對函數(shù)關(guān)系的幾何直觀理解。除此之外，教師可以用信息技術(shù)設(shè)備向?qū)W生展示解析式 y=2x+1 ”中，輸入 x 值與輸出y值的動態(tài)關(guān)系，讓學(xué)生從代數(shù)視角加深理解。最后，教師引入現(xiàn)實案例，如“分析手機套餐每月固定月租加上按量計費資費”的函數(shù)特征，為學(xué)生提供現(xiàn)實建模視角。

三、從具體操作到模式抽象，于問題解決中提煉通法

數(shù)學(xué)通法是抽象思維的核心體現(xiàn)，它要求學(xué)生從具體問題中提煉出普遍適用的解決策略。抽象能力培養(yǎng)的過程中，教師應(yīng)著重引導(dǎo)學(xué)生從具體問題中感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)，提煉具有遷移價值的數(shù)學(xué)通法。這種從具體操作到模式抽象的轉(zhuǎn)化過程，有助于實現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)目標(biāo)。

以人教版初中數(shù)學(xué)九年級上冊第二十一章《一元二次方程應(yīng)用》中典型問題“圍欄靠墻問題”為例，教師可以設(shè)計如下教學(xué)路徑。首先，教師引導(dǎo)學(xué)生動手操作，用紙條模擬圍欄，探索長、寬變化對面積的影響，進(jìn)行具體建模;其次，教師可以設(shè)靠墻邊長為 x ，引導(dǎo)學(xué)生建立面積表達(dá)式 S=x（20-2x） ，實現(xiàn)變量提取；再次，教師可以引人“最大利潤\"“最短路徑”等相關(guān)問題，引導(dǎo)學(xué)生歸納二次函數(shù)最值模型的共性，讓學(xué)生能夠找到此類問題的練習(xí)，從中提煉出數(shù)學(xué)通法；最后，教師可以創(chuàng)設(shè)出“商品定價優(yōu)化\"等具有創(chuàng)新性的教學(xué)情境，鼓勵學(xué)生進(jìn)行靈活的遷移運用，讓學(xué)生將所學(xué)知識內(nèi)化于心、外化于行，在策略遷移中深化理解與體悟。層層遞進(jìn)的教學(xué)過程中，學(xué)生不僅掌握了具體的數(shù)學(xué)知識，而且從中學(xué)會了從特殊到一般的抽象方法，讓數(shù)學(xué)抽象能力在問題解決中得到深化。

四、結(jié)語

綜上所述，數(shù)學(xué)抽象能力的階梯式培養(yǎng)是一個從具象到抽象、從特殊到一般的漸進(jìn)過程。數(shù)學(xué)抽象能力作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一，其重要程度不言而喻。因此，初中數(shù)學(xué)教師需要從本階段數(shù)學(xué)教學(xué)的特點出發(fā)，拓展自身的教學(xué)視野，樹立創(chuàng)新策略一一通過實現(xiàn)算術(shù)思維向代數(shù)思維的過渡，培養(yǎng)學(xué)生的符號意識；在概念教學(xué)中注重發(fā)生發(fā)展過程，提升學(xué)生的多元抽象能力；在問題解決中提煉通法，增強抽象思維的遷移性。這些教學(xué)策略契合新課程改革要求，將“以學(xué)為本\"的教學(xué)觀深度落實，為學(xué)生未來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之路提供有效的支持與助力。