數學建模與信息技術

汪新凡

[摘要] 數學建模與信息技術的整合是當前大學數學課程教學創新的有力生長點。在課堂教學形式下，如何整合數學建模、信息技術與大學數學教學，構建新型教學模式具有重要的現實價值。

[關鍵詞]數學建模，信息技術，數學教學，整合，教學模式。

[中圖分類號]O13[文獻標識碼]A[文章編號]1005-4634(2006)04-0326-04

計算機的迅速普及和數學建模技術的廣泛應用給數學本身及數學教育帶來強勁的沖擊和深遠的影響，數學建模與信息技術成為現代數學教育改革的兩個最關鍵因素。數學建模與信息技術的整合已成為21世紀數學課程教學創新的有力增長點。

1數學建模和信息技術為現代數學教育注入活力

數學建模將實際問題數學化，是一種創造性過程，它展現給學生的是一個“微型”的科研過程。通過數學建模將學過的數學知識和方法同周圍的現實世界聯系起來，不僅使學生知道數學有用、怎么用，體會到在真正的實際應用中還需要繼續學習，而且可以使學生體驗到數學的魅力和價值。數學建模表現出獨特的作用：①有利于培養學生的洞察力、想象力和抽象能力。實際問題常常是非常規的，沒有標準答案。只有發揮創造性，通過觀察、聯想、判斷、解釋，才能在看似無序的狀態中找出結構；②有利于培養學生的數學思維和數學意識。建模過程需要調用各種數學知識與方法去分析，才能把表面上完全不同的實際問題用相同或相類似的數學模型去描述；③有利于培養學生綜合運用各種知識的能力。事實上，在數學建模中，學習者面臨的問題往往是復雜的、綜合性的，學習過程中涉及的知識面是跨學科的，需要綜合運用多方面的知識才能予以解決，這不僅是數學知識的綜合運用，也是不同學科知識的綜合運用；④有利于培養學生應用計算機求解數學問題的能力。建模過程中利用計算機的強大功能進行數據處理、過程模擬、分析求解，能實現數學與計算機的結合；⑤有利于培養學生的交流、合作、團結和創新精神。數學建模需要多個人方方面面的合作，既有分工負責，又有合作交流，可以陶冶情操，培養合作攻關的科研能力；⑥有利于培養學生求真務實的科學態度。數學建模由于沒有既定的模式，所以失誤在所難免。學生在不斷修改錯誤、發現真理的過程中，可以鍛煉意志品質，克服恐懼、依賴心理，增強應變能力。

信息技術集文字、聲音、圖形、影像、動畫等各種信息表現形態于一身，為數學教學提供了一個理想的環境和操作平臺：①信息技術的集成功能，可以提供多元化的學習情境，產生多樣性的外部刺激，有利于學生對知識的獲取和保持；②信息技術的再現功能，可以對一些抽象的過程、微觀的現象進行模擬，對動態的過程、瞬間的現象進行定格分析，使教學內容變得具體生動；③信息技術的虛擬功能，使教學內容的呈現擺脫了文字平面化敘述方式，學生既可進入微觀世界，也可進入宏觀領域；④信息技術的超文本功能，能實現教學信息組織表達的最優化，使過去難以實現的教學設計變為現實；

⑤信息技術的擴充功能，使教學內容突破對教科書和教學輔導書的局限，實現教學資源的多樣化；⑥信息技術的交互功能，能實現人－機、人－機－人之間的多向溝通，實現人－機之間的交互學習。

數學建模與信息技術的整合使數學變得更加現實了，使數學模型思想發展到了一個前所未有的水平，它可以把數學家頭腦中的“數學實驗”變成現實。如利用計算機可以左右實驗的進程，可改變模型的初始條件、計算方法等，它為研究許多不同的假說創造了條件；利用計算機可以創造一種模擬實驗環境，重現所要描述的客觀現象，進而對呈現的某些規律作出判斷、預測。如中子擴散、地震效應就是采用計算機模擬形式對其運動規律作出判斷預測的；利用計算機可以對大型工程項目的多種設計方案進行比較，以選取最佳方案。如大慶油田某個區的開發方案，便是利用計算機比較了兩千多個方案后才確定的。尤其對于那些危險性很大或投資多的實驗，數學實驗正在逐步取代實物實驗。

數學建模與信息技術的整合為現代數學教育注入生機和活力，還產生了兩門新課程——《數學實驗》和《數學建模》，這兩門新課程的建設已成為高校數學教育改革的重頭戲和推進劑。

2基于數學建模、信息技術的數學教學模式——數學建模實驗

數學建模實驗是一種科研方法。科學家使用數學軟件研究數學問題（探索、猜想、求解、驗證），解決實際問題（建立數學模型、求數值解、進行計算機模擬）；數學建模實驗也是一種學習手段。學習者可以借助計算機（數學軟件）繪函數圖形，做動態畫面，從觀察中發現某些現象，從現象中猜測某些性質，對猜測的性質進行證明或反證，對證明的性質進行推廣應用，在教師指導下進行數學的發現和學習，獲得在傳統學習環境中無法獲得的知識信息。隨著數學教育改革的深入，“數學建模實驗”已逐步成為一種新的極具生命力的數學教學模式。數學建模實驗課的教學可分三個層次進行：

1）基本能力層。教師通過在工科數學教學中融合數學建模實例或集中開設《數學實驗》課程，引導學生進行簡單的數學實驗，讓學生體驗數學建模思想，體驗數學應用，體驗嘗試成功的喜悅和反復調試的苦惱，提高學生用計算機求解數學模型的意識和能力；

2）具體能力層。通過開設全校性選修課《數學建模》，系統介紹數學建模的方法和步驟，使學生能模仿建立數學模型，掌握數學建模軟件的使用，會設計算法，編制程序，并上機調試，會進行各種數學處理和計算，這是學生數學建模能力培養的重要階段；

3）問題解決層。這是數學建模教學的高級階段，主要通過每年的全國大學生數學建模競賽活動，以數學建模競賽集訓形式展開。要求學生具有對生產、生活、工程等實際問題的洞察力、理解力和抽象能力，通過采集、整理、分析判斷數據和信息，發現量與量之間的關系，建立數學模型，利用計算機對所建立的模型設計算法，編制程序，上機計算，對計算結果進行分析處理、檢驗與評價，從而有效地解決實際問題，最終還要寫成科技論文。學生可根據自己的具體情況提出問題，可發揮自己的特長和個性，從不同角度、層次探索問題解決的方法，從而獲得綜合運用所學知識和方法解決實際問題的經驗，發展學生的創新意識和創新能力。

數學建模實驗關鍵在于“實驗”，“實驗”這兩個字恰恰是現行數學教育最缺乏的東西，因而數學建模實驗作為一門課程是對現行數學教育的一種重要補充和揚棄。其體現出如下基本特征：

1）應用性。應用性是數學建模實驗的最基本特征。第一，數學建模實驗重在數學知識技能的應用，不在于數學知識量的掌握；第二，數學建模實驗提高了學生的應用意識；第三，數學建模實驗使數學應用的普遍性得到充分體現，使學生感受到數學是無所不在的；

2）綜合性。在數學建模實驗中，學習者面臨的問題往往是復雜的、綜合性的，學習過程中涉及的知識面是跨學科的，需要綜合運用多方面的知識才能予以解決，這不僅是數學知識的綜合運用，也是不同學科知識的綜合運用。數學建模實驗是一種真正意義上的綜合課程；

3）主體性。數學建模實驗既然是實驗就要求學生多動手、多上機。教師不再作為知識的權威而將預先組織的知識體系傳遞給學生，學生不再作為知識的接受者被動地聽任教師的擺布，課程成為師生共同探索新知識的發展過程；

4）過程性。數學建模實驗并不是一種知識教育，而重在實驗的過程。“數學實驗就是對數學進行折騰”，“就是讓學生自己折騰，自己動手做，自己用眼睛觀察，自己從觀察到的現象中得出結論，猜測和驗證規律。”在數學建模實驗過程中，學習者是否掌握某項具體的知識或技能并不重要，關鍵是能否對所學的知識有所選擇、判斷、解釋、應用，從而有所發現、有所創造。換句話說，數學建模實驗的過程本身也就是它所追求的結果；

5）體驗性。數學建模實驗既重視學習過程中的理性認識，又十分重視感性認識，即學習的體驗。因此，教學目標不是教完多少知識點、多少種算法，而是強調讓學生嘗試和體驗，通過實驗的過程嘗試和體驗數學的探索、發現和應用。體驗了，嘗試了，嘗到味道甚至只是聞到氣味了，就達到了教學效果；

6）合作性。數學建模實驗是問題解決的學習，學習者面臨著復雜的綜合性問題，因此需要依靠學習伙伴的集體智慧和分工協作。這有利于培養學生的合作意識與能力，體現了時代和社會的要求；

7）創新性。數學建模實驗中，需要對事物系統、運動變化過程有深刻而全面細致的了解，需要對實際背景做去偽存真、去粗取精、簡化變換等步驟，需要對于對象及對象體系中的復雜眾多的數值進行排列、集中、表示、計算、分組、分層、分類、直觀化、函數化等等工作，這些工作需要豐富的想象力和敏銳的洞察力，需要一定的直覺思維能力和發散思維能力，需要一定的靈感和頓悟，因而數學建模實驗有助于培養學生的創新能力。

3數學建模與信息技術的整合引發數學教育的三大質變

3.1從重“做”數學到 “做”與“用”并重

傳統教學中，學生的數學活動只是“做”數學。教師在黑板上講數學，學生則每天在課堂上聽數學和在紙上做數學題。而現代科學的發展要求各類專業科技人才應該具有將他所涉及的專業實際問題建立數學模型的能力。故現代數學教育不僅注重培養學生的抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力和數學運算能力，而且注重培養學生的數學建模能力與數值計算能力（含數據處理能力），即注重培養學生“用”數學解決實際問題的能力，會用計算機進行科學計算的能力。

3.2從重“思維”到“思維”與“實驗”并重

在傳統觀念中，學數學只需動腦，不必動手，輕視實驗。認為數學學科是一種具有嚴謹系統的演繹科學，數學活動只是高度的抽象思維活動，始終逃脫不了定義、公式、定理、法則、例題、習題的模式。實際上，數學與其它自然科學一樣，也要使用“觀察”和“實驗”來形成、發展、檢驗理論。G波利亞曾指出：“數學有兩個側面，一方面它是歐幾里德式的嚴謹科學，從這個方面看，數學像是一門系統的演繹科學；但另一方面，創造過程中的數學，看起來像是一門實驗性的歸納科學。”弗賴登塔爾也曾指出：在傳統的課堂里，再創造方法不可能得到自由的發展。它要求有個實驗室，學生可以在那兒個別活動或是小組活動。

不過，傳統的數學觀仍然認為即使數學需要實驗也只是進行所謂的思想上的實驗（歐拉、拉卡托斯稱之為“準實驗”）。而計算機促成了實驗數學的誕生，使之與純粹數學、應用數學鼎足而立。正如郝柏林院士等人所指出的：“近20年來一部分數學家已經在熱烈討論‘實驗數學的發展。人們把計算機作為數學實驗室，不僅直接解決無法用解析方法處理的難題，尋求有助于抽象思維的特例或反例，而且還把它作為導致新發現和嚴格數學結果的工具。”著名的“四色定理”，便是借助于計算機獲得證明的。混沌學的創立和發展，則可以說是計算物理與實驗數學相結合的成果。

現代數學教育不僅重視思維，而且重視實驗。數學不僅是思維的科學，也是實驗的科學。

3.3從重“教”到“教”與“學”并重

傳統教學片面強調教師與教師的教，其表現有二：一是以教為中心，學圍繞教轉；二是以課堂為中心，學在課堂里轉。數學建模、信息技術整合于數學課程教學，帶給教師教的過程與學生學的過程以極大的變革。數學建模實驗以實驗室為基礎，以學生為中心，以問題為主線，是學生積極、主動、自覺地探求知識、解決問題的過程。教學不再顯得機械、沉悶，顯現出勃勃生氣。

現代數學教育不僅重視教，也重視學。不僅要求學生具有主動探究的精神，而且要求學生對自己的探究過程主動做出監控和調節，對自己的探究結果做出總結和評價。教圍繞學轉，以激發學生的主動性、自主性和創造性。

總之，數學建模、信息技術蕰涵著先進的教育理念，同時為實現新教育提供了技術、方法和認知工具，支撐著新型教學模式的建構。要努力讓學生接受到高質量的數學知識、思想、方法的教育，特別是數學建模、數學實驗和數學軟件的教育，如此才能體現出數學教育的活力和價值。

參考文獻

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