初中數學課堂教學中數形結合思想在函數解題中的應用探究

張小亮

摘 要：隨著新課改的推進，初中數學的教學標準有所提高，教師要轉變教學理念，創新教學模式。在初中，學生開始接觸函數問題，但由于函數解題的抽象性，很多學生在解題過程中容易不知所措。主要分析了數學結合思想在初中數學函數解題中的應用，期望能夠幫助學生提高函數解題能力，促進學生數學學習能力的提高。

關鍵詞：初中數學；數形結合；函數解題

一、數形結合思想的方法的含義和特點

1.數形結合思想法的含義

數形結合思想就是將代數和幾何相結合，充分利用兩者結合的優勢解決數學問題的一種數學方法。數形結合的使用分兩種情況，一是利用圖形的形象性揭示隱藏在圖形中的數據的聯系，例如可以使用一次函數的圖象揭露一次函數y=kx+b（k≠0）中k，b不同取值對函數圖象的影響。二是使用代數闡述函數圖象的性質。

2.數形結合思想的特點

（1）形象性。在講解題的過程中，教師僅使用語言描述很難讓學生形成知識網絡。使用數形結合，能夠通過形象的圖形和具體的數據推導幫助學生形成形象思維。例如，在平面直角坐標系中，只有將一次函數的圖象反映到坐標中，并通過坐標的移動軌跡總結到圖象的特點。

（2）直觀性。圖形具有直觀性、生動性，在處理圖形問題時應充分使用圖形的優點實現抽象的概念和形象的圖象之間的轉化。使用圖形能夠將數據直觀呈現出來，以便于學生的理解。例如在二次函數的學習中，單純通過數字很難讓學生理解其圖形的變化規律，這時就可以使用圖形反應二次函數的圖象的特點。

（3）雙向性。在解題的過程中，往往需要將數量關系和圖形綜合使用，相互轉化。有些問題通過數很難解釋，但使用圖形則能夠迅速得到結果。還可以根據圖形檢驗數量關系，反之還可以通過數量關系驗證圖形。

二、數學結合思想在初中數學函數解題中的應用

1.以圖形幫助代數

在二次函數的解題過程中，如果遇到數據型題目時，就可以通過繪制二次函數的圖形幫助解題。例如，有一個二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），其圖象上分別有（-3，6），（-2，0），（-1，-4），（4，6），（3，0）幾個點，根據這些數據求ax2+bx+c<0的解集。解這道題時，首先要想到的是將函數知識和不等式相結合，通過繪制二次函數圖象發現x軸以下部分的圖形，然后將這部分圖形通過代數表示即可。很多學生在看到這道題時會想到使用這些點求出函數的表達式，然后求解。但通過觀察這些點，我們會發現，這道題給出了兩個x軸上的點，通過觀察圖象可知道ax2+bx+c<0時x的取值范圍為-2

如一元一次函數表達式，如y=3x+2，y=-3x+2，y=3x-2，y=-3x-2，當x取不同值時，一次函數y=kx+b（k≠0）的k和b的取值對函數增減性的影響。當k>0時，x變大，y也隨之增大，反映到圖象上就是圖形直線從左到右呈上升趨勢。當k<0時，x變大，y值變小，反映到圖象上就是圖形直線從左至右呈下降趨勢。同理，可以探究b的取值對函數增減性的影響。

如，初中銳角三角函數的定義是在直角三角中定義的，有關的例題、習題等也都是通過構造直角三角形來解題的，即將這個角放到直角三角形中。例如，在Rt△ABC中，角C為直角，且AC=4，BC=3，則SinA的值為多少。在解題的過程中，學生就可以通過畫一個三角形，通過計算可知，AB=5，然后通過得到SinA=0.6。

2.以數輔形

以數輔形就是利用代數解決有關函數圖象的有關問題。例如，一次函數y=kx+m與二次函數y=ax2+bx+c有交點（1，2），（8，9），二次函數與x軸的交點為（6，0），求：k>0時，x的取值范圍。這道題反應的就是以數輔形，通過觀察圖象就能夠得到題目的解。雖然圖形較為形象，但其中所隱藏的數量關系很難直觀被反映出來。

3.數形結合在函數應用題中的應用

在解函數應用題的過程中，通常需要使用數形結合，實現代數和圖形的有效結合，以更好地解題。數形結合在函數應用題中的應用通常需要將問題中所描述的實際問題轉化為圖形進行解決，有利于學生更好地理解，特別是二次函數，很多實際問題都使用到了二次函數的有關知識。例如，在體育測試中需要測試扔鉛球，某男生在測試扔鉛球時，出手高度為2米，鉛球運行到最高點時距地面6米，距離出手點的水平距離為5米，假設鉛球運動的軌跡為二次函數圖象的一部分，求鉛球擲出的水平距離。在遇到這一類型題目時，如果不畫圖形時，學生很難較好地解題。這時，教師應讓學生通過題目中的已知條件畫圖形，已知條件分別為出手高度的坐標為（0，2）、最高點的坐標為（5，6），然后就可以簡練地畫出這一二次函數的一段，然后再以y=0求出x的值就是答案。但在實際問題中，x的值應為正數，x取正值即可。另外，一次函數在實際中也有較多的應用，例如速度和路程問題、注水問題等，都可以利用一次函數的特性和圖形進行解題。

在初中階段，學生開始接觸和學習函數問題，但由于學生的學習能力還處于發展期，學生對函數的理解和掌握還存在一定的不足。因此，教師應充分利用數形結合法幫助學生理解代數和圖形之間的關系，實現數和形之間的轉換。另外，教師應加強練習，幫助學生扎實掌握數形結合法，提升學生的學習能力。

參考文獻：

[1]何火欽.數形結合思想在初中數學教學中的滲透探究[J].考試周刊，2018.

[2]張麗娟.數學課堂教學中滲透“數形結合思想”例談[J].現代教育，2018.

注：本文系2018年平涼市教育科學“十三五”規劃課題（課題批準號：[2018]PLG470）《初中數學教學中“數形結合思想”在函數中的應用研究》成果。