數學活動水平的層次分析與有效教學

鄧友祥

[摘要]數學教學是數學活動的教學。不少教師對學生數學活動水平層次的認識和把握不夠，極大地影響了數學活動教學效果。從哲學、學生認知發展、數學思維特點的角度來分析，小學生數學活動水平可劃分為直觀水平、直覺水平、經驗水平、知識經驗水平、邏輯水平、方法論水平6個水平層次。有效的小學數學活動教學要重視善于引起學生觀念上的不平衡，實行數學的“再創造”，提供挑戰性認知任務，正確表征數學問題，引導學生“數學地思維”。

[關鍵詞]數學活動；水平層次；有效教學

數學教學是數學活動的教學。隨著數學新課程的深入實施。廣大的數學教師在課程理念方面已有一定的認識，比較重視改善學生的數學學習方式，重視數學交流、合作學習等數學活動的教學，并積累了較豐富的數學新課程實施經驗。但是，當前數學活動教學在很大程度上仍然停留在“為活動而活動”的表層上。數學教學只是讓學生“體驗”一下科學家發現知識的過程，從事一下“類似”科學家發現知識的活動，數學活動展開不夠充分，數學的本質凸現不夠，數學教學缺乏創造性和數學性，學生的數學思路打不開，內在的情感和思維沒有被真正激活。這在很大程度上極大地影響了主體的主動建構。上述教學現狀導致不少學生獨立思考的意識不強。數學學習缺乏深層次的思考，數學學習效率和水平普遍不高，到了中學階段(高中階段尤為明顯)數學學習顯得“后勁”(數學思維)不足。究其原因，不少教師對數學活動水平層次的認識和把握不夠，不能準確地了解學生的真實思維活動，較多的只是憑自己的經驗、直覺，甚至是主觀臆斷選擇教學方法，教學方法缺乏針對性和有效性，因而在實施數學活動教學時無所適從，不能科學地把握教學的進程與節奏。極大地影響了數學活動教學效果。由此看來，對數學活動水平進行科學分析，探究和把握學生的真實思維活動，進而采取有針對性的有效的數學活動教學策略。對提高數學活動水平和數學教學效率將有著十分重要的意義。

關于數學活動，至今還沒有一個準確的定義，這里只是局限于對數學中積極性的狹義理解，把數學教學的積極性概念作為具有一定結構的思維活動的形成和發展來理解，這種思維活動稱為數學活動。因此，從這個意義上講，數學活動是思維活動。

一、數學活動水平的層次分析

數學活動是一個組織經驗領域的活動，學生在數學學習過程中，思維進人較高層次時，較低層次的組織方法將變成較高層次的研究題材，較低層次的活動就成為分析的對象，要了解學生真實的數學思維水平，就必須要對數學活動的層次進行足夠深度的分析。

1數學活動水平層次劃分的理論依據。

從哲學的角度看。人類認識事物所采用的科學方法是逐步深入的，至今有如下5個遞進層次：“認識論、實證論、方法論、價值論、本原論”。認識論是人類用以理解事物的最為古樸、直接的思維方法，也是一種本能的認識方法；實證論是認識論的具體和實在化方向的深化；方法論系指思想方法、世界觀，可以說是認識論、實證論的升華和指導；價值論是考慮了“利益”關系的問題，也是在自然問題上考慮了社會性的問題或管理類問題：本原論則志在追本溯源，尋找事物發生的真諦。簡單地說，認識論是解決“是什么”的，實證論是解決“有什么”的，方法論是解決“像什么”的。價值論是解決“應該是什么”的，本原論是解決“為什么”的。認識論、實證論、方法論是基礎、是重點，價值論、本原論是其派生和推廣。這為數學活動水平層次劃分的類別確定，提供了重要的分層依據。

從學生認知發展的角度看，蘇聯著名心理學家維果茨基提出的“最近發展區”理論認為，兒童有兩種發展水平：一是兒童的現有水平，即由一定的已經完成的發展系統所形成的兒童心理機能的發展水平，如兒童已經完全掌握了某些概念和規則；二是即將達到的發展水平。這一理論強調教學不能只適應兒童發展的現有水平。而應走在發展的前面，最終跨越“最近發展區”達到新的發展水平。這為數學活動水平層次間的差異確定，提供了理論支撐。

從數學思維特點的角度看。數學活動實質是數學思維的活動，一個具有“數學思維”修養的人常常表現出如下特點：在討論問題時，習慣于強調定義(界定概念)，強調問題存在的條件；在觀察問題時，習慣于抓住其中的(函數)關系，在微觀(局部)認識的基礎上進一步作出多因素的全局性(全空間)考慮；在認識問題時，習慣于將已有的嚴格的數學概念如對偶、相關、隨機、周期性等概念廣義化，用于認識現實中的問題。這對如何確定數學活動水平的層次標準和教學要求，具有直接的理論指導價值。

2小學生數學活動水平的層次剖析。

根據上述理論分析，結合我國小學數學教學及學生實際，避開知識的局限性，可以得知，當前我國小學生數學活動水平在認識論、實證論這兩個層次上可達到，方法論只是很淺顯地涉及但無法達到，至于價值論和本原論不是小學階段所論及的水平層次。基于這樣的認識，筆者認為。可以將小學生數學活動水平劃分為如下6個層次：直觀水平、直覺水平、經驗水平、知識經驗水平、邏輯水平、方法論水平。

(1)直觀水平。

這是數學活動的最低層次。在這一層次水平上，學生只能認識眼前有形的、實在的事物。

處于此水平上的學生通常是低年級學生。如教學“認識圖形”(蘇教版義務教育數學課程標準實驗教科書《數學》一年級下冊)(簡稱一下，下同)中長方形、正方形、圓時，學生通過實物(長方體積木等)和模型來辨認“附著”在其上的長方形、正方形、圓。就是直觀水平。但是值得注意的是，中高年級學生進行數學學習時，有時還需重復經歷這一水平層次，如教學“長方體和正方體的認識”(六上)，學生雖對長方體、正方體有直觀認識，但仍需要結合實物進行教學，這樣做的目的不是只停留在這一水平層次上，而是為了幫助學生順利地上一個更高水平層次。

(2)直覺水平。

簡單地說。直覺=直觀+想象。它可作預測性的認識，但其準確性較差。不同年級的學生都能不同程度地表現出此種層次水平。

比如。學生數感的培養在中低年級都有一定的要求，就如何讓學生感受大數的意義并進行估計。無論是要求低年級結合現實素材，還是中年級結合現實情境來進行，學生可能更多的是憑直覺。又如，教學“平行和相交”(四上)，學生對“平行線”的認識，既要有直觀又要有一定的想象(此時學生頭腦中已有平行線的實例，如一組平行的電線，但不能認為這是學生已有的經驗，因為學生并未經歷過電線的拉排與平行測量。這里只是學生觀察與想象中的“平行”)，這時的認識水平就是直覺水平。

(3)經驗水平。

經驗中一種實踐知識。簡單說就是。經驗=經歷事實(信息)+直覺，這樣認識事物比僅憑直覺的準確性更強。不同的數學學習內容，要求學生要有相應的活動經驗。

如教學“時、分、秒”(二上)，學生必須要結合自己生活中有關鐘表認識的經驗來進行。這就是說學生的數學

活動水平此時處在經驗水平。又如教學“統計與可能性”(二上)，學生有一定的此方面的生活經驗，如知道天陰時下雨的可能性要比天晴時下雨的可能性大等。諸如此類的生活或學習經驗。對學習該新知識雖有一定的幫助。但是較模糊的。這就要求教師還應該要創造一定的課堂現場學習情境(如創設摸球活動)，作為數學學習活動的補充，幫助學生獲得學習新知必備的數學活動經驗，這樣的數學活動教學是符合學生所處的經驗水平層次要求的。

(4)知識經驗水平。

知識是前人經驗的整理與升華。因而更為可靠。處于這一層次水平的學生，進行數學學習時都必須要有足夠的知識和經驗。

如教學“認識分數”(三下)，要求學生既要有認識一個物體(圖形)的幾分之一或幾分之幾的知識基礎，又必須具有一定的多個物體的平均分(結果是整數)經驗，在這里學生已有的經驗與知識必須有機結合才能學好新知。

(5)邏輯水平。

處于此層次水平的學生，應該能夠(或說應該能達到)依據概念、規則(法則、公式、定律等)和相關程序步驟，通過邏輯推理得出科學結論，這是僅憑經驗、觀察得不到的事實。中高年級(尤其是高年級)學生的數學活動通常應該能達到此水平層次，這一水平層次上學生的認識達到更深層、更抽象的地步。這時的認識屬于實證論范疇。但是需要說明的是，在這一水平層次上雖然要加強學生邏輯思維能力的培養，但由于受知識、年齡等諸多因素影響。許多數學問題小學生還不能給出嚴格的證明，因此，在小學階段學生邏輯思維能力的培養還只是初步的，許多數學問題的解決有時更多地依賴于合情推理。

如教學“正方形的認識”(三上)時，不能單純停留在測量、對折等操作層面上得出正方形的特征，而應基于長方形已有的特征，通過操作(測量、對折等)得出正方形鄰邊相等，再結合正方形(特殊長方形)也應有“兩組對邊分別相等”這一特征。推出正方形的“四條邊都相等”這一特征。這里，數學活動的教學并非僅憑學生已有的經驗知識，而是在學生已有的知識經驗基礎上作進一步簡單的邏輯推理，當然這種推理(合情推理)還只是初步的，因為學生畢竟還不能給出嚴格的證明。

(6)方法論水平。

當一般認識論與實證論經升華成為思想方法、思維工具和思維觀念時即成為方法論，具有此水平層次的學生能夠更廣泛、更深刻、更抽象地認識世界。數學思想方法也可歸屬于方法論的范疇。小學數學教學內容中雖然蘊含著豐富的數學思想方法。但由于小學生的數學活動水平還達不到方法論的認識水平，因此小學數學教學中。數學思想方法的教學雖重要但還處于滲透教學階段。

比如。教學“圓的認識”(五下)時，我們曾設計出如下的“投石子”比賽活動：讓8個小朋友分別位于長方形地的頂角、各邊的中點向中心的簍子中投石子，誰投的多誰就獲勝。通過引導學生討論、思考，發現這種比賽對站在頂角的小朋友來說是不公平的，要做到比較公平，可將長方形地改為正方形地，進一步改為圓形地才能做到絕對公平，因為此時每個小朋友到簍子的距離都一樣。最后通過多媒體課件演示隨著參與“投石子”公平游戲人數的不斷增加，最終(由無數個人)形成了一個圓，從而較自然地揭示了圓的本質特征(圓周上任一點到圓心的距離都相等)，這樣的活動教學滲透了集合思想、極限思想。

上述6個水平層次中，(1)至(4)屬于一般認識論階段(層次)，也叫做思辨認識階段，其特點在于憑直接的思維去認識對象。這樣的認識范疇和深度自然是有限的；(5)屬于實證論階段(層次)，它比一般認識論更為實在、更為深刻、更能深入到直觀和經驗不可及的深度和廣度，因而更為準確；(6)屬于方法論階段(層次)，它的特點是憑借“軟”的思想方法去抽象地從而更為寬廣、深邃地認識問題。

由上還可以看出。小學數學活動水平的6個層次并非嚴格地與小學生的年齡、學習年級層次相對應。而是由學生的年齡特征、數學學習內容的難易程度、學生已有的知識經驗等因素共同決定的。認識到這一點。才能在數學教學中視具體教學內容和學生實際，準確確定學生已有水平層次和可應達到的水平層次，以便采取相應的有效教學策略。

二、對當前有效開展小學數學活動教學的幾點建議

數學活動教學要想有效促進學生數學思維的發展，就應該精心設計有利于學生數學思維發展的各種數學活動，使學生通過數學活動和其他輔助活動實現自身認識、思維、個性等的形成和發展。對此，就當前小學數學活動的有效教學，提出如下幾點建議：

1善于引起學生觀念上的不平衡。

數學教學是思維教學，要注重數學活動過程教學，充分暴露學生的數學思維過程，以準確把握學生的真實思維水平，促使學生由感性認識到理性認識的轉化，由不知到知的轉化。注重數學活動過程教學。除了把學生組織到數學教學過程中來，讓他們動手操作，討論解疑，更重要的是教師要善于引起學生觀念上的不平衡。做一個“理智的引路人”。這是由于學生的認知發展就是觀念上的平衡狀態不斷遭到破壞。并又不斷達到新的平衡狀態的過程。因此。教師應當十分注意如何去引起學生觀念上的不平衡。給學生充分暴露數學思維活動過程的機會。也即應當善于設定這樣的環境。在其中。學生已有的知識和能力不足以解決所面臨的問題(達到目標)，從而產生觀念上的不平衡，能夠較為清楚地看到自身已有知識的局限性，并努力通過新的學習活動達到新的、更高水平上的平衡。顯然。從這樣的角度去分析，除了提供正面(標準)的范例，還必須通過適當的質疑或反例(或變式)設計去引發出學生的“觀念沖突”，并幫助學生將正確觀念和錯誤觀念進行比較，促其作出自覺的“選擇”。

比如，教學過“梯形”的概念后，在出示幾個梯形圖形的正面(標準)范例和反例后，還應出示如下的變式圖形(兩腰“同向”)，讓學生去辨析。這種充分全面的變式教學。能充分暴露學生已有的數學思維活動。并經過教師的有效教學引導，促使學生突破定勢性的干擾，從具體到抽象概括的思維活動趨于完善。對“梯形”概念的理解進入更高的概括化程度。

2給學生提供可“再創造”的數學活動機會。

有效的數學活動教學要能激發學生主動質疑的內在動機。訓練學生自我談話或彼此之間互問老師要問的問題。即自己提問題：“我要寫什么”、“我寫給誰看的”、“我要解釋什么”、“有什么步驟”、“別人能看得懂嗎”。激發學生主動質疑的內在動機，一個行之有效的做法就是給學生提供可“再創造”的數學活動機會。正如著名數學教育家弗賴登塔爾(H.Freudenthal)所提出的：“數學教學的核心是學生的‘再創造，這就是說，數學學習事實上就是這樣的‘再創造過程。我們在此并非是要機械地去重復歷史中的‘原始創造，而應根據自己的體驗并用自己的思維方式重新去創造出有關的數學知識。”由于小學數學教材經過了教學法的加工，通常是用演繹的方

法把概念、公式、法則等內容互相聯合起來成為一個統一體，這種形式在一定程度上顛倒了數學的實際發現過程。這就使得學生對知識的理解和抽象概括、邏輯推理等能力的表現處于暫時滯后狀態。對此，教師應為學生創設合適的“再創造”情境，使學生經歷數學活動(數學思維)的學習，了解數學結論背后的豐富事實，從而對數學概念、法則、公式、定律等數學結論的發生發展有充分的認識。

例如，教學“化分數為小數”(五下)時，出示如下教例：“把3/4、7/25、9/40、2/9、5/14化成小數(除不盡的保留三位小數)。”為學生創設如下的可“再創造”的數學活動：即通過“固定分母，改變分子”的學習活動，如將7/25、9/40(均可化為有限小數)分別改為11/25、13/40(仍都可化為有限小數)，使學生認識到一個分數能否化成有限小數與分子無關(暫時結論)；接著通過“固定分子，改變分母”的學習活動，如將。3/4(可化為有限小數)、5/14(不能化為有限小數)分別改為3/7(不能化為有限小數)、5/8(能化為有限小數)，使學生認識到一個分數能否化成有限小數一定與分母有關(暫時結論)。在此基礎上，學生探索得出一個分數能化成有限(無限)小數應具備的條件。但由于學生所得結論與教學目標仍有一定的差距(結論中缺少“最簡分數”這個條件)，因此可以讓學生思考“3/15的分母含有2、5以外的質因數3，卻能化成有限小數，這是為什么”，這一問題打破了學生剛剛建立起的“知識結構”(分母只含有質因數2或5的分數能化成有限小數，否則不能化成有限小數)，既為下面進一步學習“分數的基本性質”埋下了伏筆。又使學生受到了“運動、變化、發展”的辯證唯物主義觀點的啟蒙教育，(在后續學習中)認識到“最簡分數”這一條件的重要性，使學生在知識上逐步逐層地達到了終極目標。

3向學生提供挑戰性認知任務。

根據維果茨基的“最近發展區”理論，為了確保數學活動教學的有效性，數學教學應該向學生提供挑戰性認知任務。挑戰性認知任務是指那些稍微超出學生能力、但在專家的幫助下可以完成的任務，即處在最近發展區內。與學生的能力形成了一種積極的不匹配狀態。維果茨基認為，教學要重視學生“學習的最佳期限”，不應盲目拔高和遲滯。以免錯過“最近發展區”。這就要求教師在進行教學設計和教學時，必須要考慮學生現有的水平層次，所提供的教學內容或任務應該能給學生造成積極的認知沖突。

由此看來，數學教師在設計數學活動教學時，所選擇的問題及安排的數學活動不但要適合于學生現有的數學思維水平，更應該要考慮到促進學生的數學思維向下一個數學思維階段發展，即要考慮到學生數學思維能力水平的限制，又要考慮到數學思維發展的潛力。從而，加強學生對整理知識和重組知識能力的培養。使學生能從知識材料間的問題和矛盾中不斷探索發現和解決問題。實現認識的深化和發展。

比如，教學“小數乘法”(五上)時，在學生已基本掌握小數乘法計算法則后。可設計如下的開放題：“根據積的小數位置。在因數上點上小數點，使算式724×303與積219.372相等。”雖然積的小數點已定位，但因數是幾位小數會有多種情況，具體可以讓學生充分進行數學活動與交流，充分地發揮想象，作出多種不同的解答。這樣的教學符合維果茨基的“最近發展區”理論。有助于促進學生的數學活動水平由“知識經驗層次”上升為“邏輯層次”。

4幫助學生正確表征數學問題。

要促進學生的數學活動水平上層次。就必須要幫助學生正確表征數學問題。一方面，數學活動教學必須要重視3個關鍵要素：問題、語言和方法。問題。要與學生現實水平相符但又要高于學生實際水平。且學生經過教師的引導和自己努力又能解決問題(最近發展區理論)；語言，要重視加強對學生的數學語言表達能力的培養；方法，要注意問題高于學生實際水平時，如何引導學生采取有效的數學方法來解決問題。另一方面，必須要訓練學生陳述自己的假設及步驟，引導學生用所學知識解釋所要解決的問題，培養學生從引述別人的言語到自行思考表達，特別要重視數學語言(文字、符號、圖形等)表達能力的培養，促進學生自我強化，加深對數學知識的理解。

不過，有必要指出的是，這里的問題具有相對性。同一個問題，對有的學生來說可能不構成問題；相反，一般人認為不成問題的問題，對有的學生來講，有時反而倒構成問題。這就要求教師開展數學活動教學時，要重視幫助學生消除影響數學活動效果的因素(如背景知識經驗、智慧水平、認知特性、動機強度、氣質性格等)，以有助于學生正確地表征數學問題。

5引導學生“數學地思維”。

為了有效地引導學生“數學地思維”。教師在數學活動教學中的主要任務應當是教會學生數學地看、數學地想、數學地做。教會學生數學地看，主要指的就是觀察；數學地想。就是要在引導學生數學地觀察事物的基礎上，提出數學問題，建立相應的數學模型，從而找到解決問題的途徑和方法，并獲得廣泛的數學活動經驗；數學地做，就是要培養學生應用數學的意識和應用數學的能力。

鑒于小學生的邏輯水平還只是處于初步水平。因此，為了引導學生“數學地思維”，有效的教學方法之一就是開展“合情推理”或“常識推理”教學。合情推理的基本格式是，首先給出一個猜想，然后通過種種方式找出理由去證實(或證明，至少要說明)增強或否定其猜想的合理性。通常一個數學結論之得來。最初往往都要經過這樣一個合情推理的過程，這就是著名數學教育家波利亞所說的名言“數學是猜出來的”原理所在。合情推理有時雖不能得到數學的最終結論，但卻是數學發現的前期過程。

比如，教學“平行四邊形”(四下)時，雖然學生的數學活動水平(相對于此問題)基本處于第四層次(知識經驗水平)，但可以通過操作教學，引導學生進行如下的合情推理。使學生解決問題的思維水平盡可能上升到“第五層次”(邏輯水平)上。具體做法是，給學生一組不同類型、不同大小的平行四邊形。引導學生探索發現“兩組對邊分別平行”、“兩組對邊分別相等”、“兩組對角分別相等”、“兩組鄰角的和都是180°等許多重要性質，再通過操作(測量、對折、平移等)、交流與討論，使學生進一步發現這些性質之間的邏輯聯系。在此基礎進行邏輯組織，最終發現其中一個“基本性質”可以“推出”(合情推理)其他部分或全部性質(這里不同的學生會選擇不同的“基本性質”)。顯然，這樣的數學活動教學，雖沒有進行嚴格的邏輯論證，但卻抓住了平行四邊形概念內涵的本質，而且還能使學生領悟到“學會定義”這種數學活動。

要引導學生“數學地思維”，還必須要重視對學生的“體驗性教育”，回歸尊重學生本性的追求，側重使學生形成獨立的問題意識和思考能力，培養學生的創新思維，促進學生理解能力和個性的健全發展。對學生進行數學“體驗性教育”的目的，就是要促進學生數學思維“積極化”發展，這是當前數學活動教學應該值得重視的問題。為了確定學生是否能實現某種積極性的數學活動以及教師的數學教學活動應當是什么，必須要了解學生現有的真實思維水平以及必須要教給學生的數學活動水平，比較這兩個水平的目的就是要把學生的數學活動水平提高到我們要教的水平。教師必須要明確什么時候提高或降低所要教的數學活動水平。以確保學生與教師的數學思維水平同步(平衡)甚至超前，為學生進行“數學地思維”創造良好的可能條件。