高等數學的創新教學

陳杰

摘要：通過作者十多年從事高等數學教育教學的經驗體會從高等數學教學內容、教學方法方面探討如何在高等數學教學中創新，培養學生的創新思維和創新能力和應用數學解決實際問題的能力。

關鍵詞：創新教學；創新；數學活動

創新是現時代的主旋律，培養和發展學生的創新能力，是現代教育的最主要目標。然而，長久以來，高等數學一直被認為是一門高度抽象的學科。對大多數數學教學工作者來說，都是從公理化體系出發，沿著“定義——定理——證明——推論”這樣一條邏輯演繹的思路進行教學。公理化體系的建立，充分展示了數學的高度抽象性和嚴謹的邏輯性。但是，在完美的公理化體系的包裝下，數學家們發現問題，處理問題，解決問題的思維軌跡往往被掩蓋了。事實上，高等數學由于其高度的抽象性、嚴謹的邏輯性、結論的確定性和應用的泛在性等特征，決定了數學教學的難度，往往使學生視如畏途。如果一味按照這樣的思路去進行高等數學教學，難免會讓學生感覺數學太抽象，太難，也難免感覺單調和枯燥，因而失去學習的興趣，教學效果不高。因此，如何在高等數學教學中使學生聚精會神和一心一意聽課和思考，提高教學效果，如何在數學教學中培養學生的創新思維和創新能力，就成為當前數學教育工作者積極探討的研究課題。本文僅就數學教學中培養學生創新思維和創新能力，從教學內容、教學方法談談自己的看法和體會，以供同仁商榷。

一、教學內容的選取、改進和創新

高等數學課程在高等學校的人才培養中，不僅是一種工具、一種知識、一種語言，而且也是一種素質、一種思維模式、一種文化。在數學課程的教學中不僅要向學生傳授數學知識，而且要在傳授知識的同時，傳授數學的科學思想、科學方法和科學精神，培養學生的學習能力、分析和解決問題的能力以及創新精神與創新能力。這是高等數學課程教學內容改革和建設的出發點和落腳點。

新的高等數學教學理念是要促進學生的全面和諧發展，使不同的學生在數學方面達到不同的發展，而不是一定都要成為數學家。所以，應認識到數學應為學生的數學活動提供基本線索，基本內容和主要的數學活動機會。因此，學生的學習內容應該是現實的 ，有意義的，富有挑戰性的，應有利于學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數學活動，這就需要教學內容的設計應盡量來源于實際生活，源于自然，社會和科學中具有一定的數學價值的現象和問題。根據數學學科的特點和當代科學技術發展的趨勢，提出要吐故納新。積極探索用現代數學的思想、觀點和方法改造傳統教學內容的途徑。在講解經典內容的同時，要注意滲透現代的思想、觀念和方法，采用現代數學的術語和符號，為現代數學適當地提供內容展示的“窗口”和延伸發展的“接口”。

例如，積分是微積分中一個基本概念。大多數教材在內容上反映出來僅從幾個實例出發，歸納出需要研究和計算的一類和式極限，然后將這類和式極限定義為積分。但是我覺得要是通過對一兩個實例的深入淺出的分析，說明積分概念是為了適應科學技術的發展需要，從研究均勻分布量的求和問題（例如，物質均勻分布的物體質量）到解決某些非均勻分布量（例如，物質非均勻分布的物體質量）求和問題而產生的，這就深刻得多而且容易接受。揭示導數是求均勻變化量的變化率的除法在求非均勻變化的變化率中的推廣和發展。積分的思想方法就是解決均勻分布量求和問題的乘法在解決非均勻分布量求和問題中的推廣和發展，它在本質上就是局部線性化的思想。因此，初等數學中的除法和乘法這對矛盾在高等數學中就表現為導數和積分。我們應該把這種思想內容統一到各種類型的數值函數的積分之中，進而闡明積分應用中的微元法的思想就是局部線性化的思想。提高學生用各類積分解決相應實際問題的能力。這種內容的講授就會使學生感到數學并非是一堆僵化的、神秘莫測抽象難懂的定義、定理和公式，而是解決實際問題所需要的、威力無窮的工具。

在教學內容的選擇上，內容選取的原則是廣而淺，少而精、刪繁就簡。同時注意以下幾個突出：突出理論問題的深化與具體化。如處理極限概念時，加強收斂速度的直觀理解；突出近似計算的原理；突出信息技術，多媒體技術及數學軟件對數學問題的處理；突出數學的應用與建模能力的培養。采用實際應用問題作為研究對象。如政府稅率的制定，銀行利率的分析，公司運營的最優策略，牛頓發現萬有引力的過程等著重培養學生的綜合能力，分析能力和應用能力。教師應有意識地收集與教學內容相關的實例，盡可能多地將高等數學與工程技術、經濟學、生生態學、社會學、軍事學等領域聯系起來，展現高等數學的巨大魅力。教師在高等數學教學過程中，應當對課程中蘊含的一些數學方法加以闡述，如類比、演繹、遞推、構造、換元、化歸、建模等方法，對深化學生知識，提高學生的分析問題、解決問題的能力，增強學生的整體素質有著重要作用。就拿建模來說，一切數學概念和知識都是從現實世界中的各種模型中抽象出來的，利用建模思想進行教學是理論與應用相結合的重要手段。傳統的高等數學教學也強調從實際問題出發，建立模型，再引入概念和方法。我認為，創新教育中貫徹建模思想，應強調量的差異，應舉更多的有實際意義的例子。

二、教學方法的創新

新教學理念應教會學生如何學習，如何思考，如何發現，變“信息源泉”和“知識傳播者”為一個合作者和一個咨詢者，讓學生以生活中“找”數學，使數學生活化，從實踐中“做”數學，使數學活動化；在情景中“問”數學，使數學問題化。學生創新精神的培養，創新的課堂教學是主渠道。必須擯棄傳統的教學模式，采用科學探究性的教學模式和創造性培養的教學模式，如嘗試發現型，自學——探究型，引導——探索型等教學模式，在這樣的教學模式中進行創造性地教和學；必須改革傳統的注入式教學方法，采用以啟發式為指導思想的現代數學教學方法，如嘗試指導法、引導發現法、啟研法、自學輔導法等。

要組織好一堂課，教師需具備兩個最基本的條件，一是要有較好的表達能力，二是吃透教學內容。但是僅僅具備上述兩點只是最低層面的要求。一個教師如果僅僅能夠把知識準確無誤地傳授給學生，而不能告訴學生為什么要做某些事，學生就不能真正理解所學的內容從而將其自身的能力，素質教育就無從談起。在教學過程中，我們要教給學生如何發現問題，分析問題和解決問題。因為一切科學的研究，毫無例外地都要經歷提出問題、分析問題、解決問題的過程。

科學研究是由問題驅動的。費馬和巴斯卡的關于“賭金問題”的討論引發了“概率論”。牛頓對萬有引力的思考導致微積分的創立，歌得巴赫猜想驅動許多人去思考。因此，數學的創新教學應該用一系列的問題組織起來，在數學問題的驅動下呈現數學。我這里提到的數學問題是指本原的、觸及數學本質、對于在全局上增加學生的理解、能激發學生火熱的思考，發展學生的創新思維能力的問題。

例如在講導數時，可以用這樣的問題來驅動：“在函數y = f(x)中，描述的是自變量x與因變量y的對應關系。而微積分是處理增量分析。為什么要研究增量？設有兩個變量x和y，x—某商品的價格，y—該商品的銷量。在一定的條件下，y與x的關系可用價格——銷售函數y = f(x)來描寫。作為決策者，銷售經理雖然關心函數f，但是他首先要考慮的問題是，如果現在的價格是x0，在x0的基礎上調整價格?駐x時，市場的反應（銷量的增減量?駐y）如何？銷售經理應研究的是?駐x與?駐y的關系?駐y = f (x0+?駐x)- f(x0)。如何分析增量?駐x，?駐y，這是微積分的靈魂。”剛開始接觸微積分的學生。不知道為什么要研究增量，對增量?駐x的感受是“天上突然掉下個林妹妹”或者是“霧里看花開”。

在每一種數學理論和每一個重大定理的背后，都有一堆生動的故事，躁動著引人入勝的問題。正是數學問題，成為驅使數學家以畢生的精力，最美好的青春年華去追求答案的動因。

注重學生數學興趣的激發，培養學生的創新動力。在數學教學中滲透文化數學，可以從以下幾方面著手：

首先，史料書籍。讓學生了解數學發展過程中所蘊藏著的每一項重大發現的偶然性和必然性。以及其中所蘊藏著的不懈的追求與探索精神。眾多數學家們嚴謹，踏實，不畏艱難追求真理，敢于創新的科學精神，會給學生極大的啟示和教育，使其受益終身。其次，讓學生了解數學發展的過去，現在和未來，了解數學發展的前沿和動態，有助于學生產生使命感。這些不僅豐富了學生的頭腦，更重要的是啟迪了學生的智慧，開闊了他們的視野。

其次，數學名人和數學故事。榜樣的力量是無窮的。在學生學習過程中，讓學生了解一些數學名人，一方面對學生進一步學習數學樹立了榜樣；另一方面也為學生學習數學指明了方向。讓他們感受到數學不僅僅是名人的游戲，是名人的執著信念，熱愛科學，堅強不屈，忘我投入，才使他們取得了令人矚目的成就。數學故事引人入勝。貼近生活與個體知識背景，經驗背景，能激起學生的某種愿望，情感，興趣。使學生輕松擷取數學中的小珍寶。小故事往往蘊藏大智慧，能在愉快的閱讀中得到人生的啟迪，探討思維的竅門。

當學生了解定理，原理誕生的時代背景，艱苦歷程，以及科學家為此付出的心血、汗水之后，再去學習和品味定理的內涵，感受會大不一樣，展現在他們眼前的不算是孤零零的符號和枯燥的推演，而是有血有肉的科學寶庫中的珍品，從中還能悟出一些閃光的東西。激勵他們更加自覺地掌握前人經過奮斗而得來的知識。

數學興趣是學生的一種力圖接近、探究了解數學知識和數學活動的心理傾向，它是學生學習數學的自覺性和積極性的核心因素。它不僅對學生的數學學習有極大的推動作用，而且還使學生在集中精力獲得知識的同時，努力地去進行創造性的活動，成為創新的動力因素。學習的最好刺激，乃是對材料的興趣。因此，在數學教學中，都是要從教學素材中選取通俗生動的事例，采用適合學生實際情況的方式激發學生的興趣，如使用“外幣兌換中的損失”來引起學生對反函數概念的學習興趣，“多少顆通信衛星的信號可以覆蓋整個地球”來引起學生對學習“線面積分的”高度重視等。在興趣的形成過程中，激發學生的求知欲，引起學生的探究活動，進而成為創新的動力。