新課程下的立體幾何復習方法探索

耿發文

摘要：新舊教材在內容、考試要求、教學重點難點等方面都有明顯的差異。數學教師應對新課程形式下的高考試題特點進行研究探索，制定相應的復習策略。本文就空間角與距離的解法談談設想和思考。

關鍵詞：新課程；空間；轉化；向量

數學在新課程下的高考試題，對立體幾何的考查一直是以能力為主，對能力考查的要求有一年比一年提高的趨勢，題型也相對較為穩定。但新舊課程在內容、考試要求、教學要求、教材的編排體系等方面都有相當大的改變，因此我們進行立體幾何復習時，有必要對新舊教材在內容、考試要求、教學重點難點，以及近幾年來的新舊課程的高考試題特點等進行研究，制定相應的復習策略，爭取來年高考中獲得全面豐收。

一、新舊教材比較

在考試內容方面：新教材中刪除了棱臺，旋轉體（圓錐、圓柱、圓臺、球冠及球缺等）。增加了正多面體與歐拉定理；增加了空間向量及其加、減法，與數乘運算；空間向量的數量積；空間向量的坐標表示，及其對應的加減法，數乘與數量積運算；平面法向量等內容。

在考試要求方面：刪除了棱臺，旋轉體（圓錐、圓柱、圓臺、球冠及球缺等）的面積與體積公式，淡化了三垂線定理及其逆定理的要求，增加了理解空間向量與空間向量坐標的概念，掌握空間向量的加減法、數乘與數量積的概念及其對應坐標的加減法，與數乘運算等內容。突出了利用空間向量知識解決求空間角、空間距離。新考試在證明平行與垂直的問題上，明確了對傳統幾何的量化思想，同時也體現了解決問題方法的靈活性。重點讓學生掌握向量代數法，同時也兼顧傳統幾何綜合推理方法。

二、高考考點剖析

立體幾何三大考點：

（1）空間角。

（2）空間距離。

（3）線面位置關系的推理判斷（小題）、證明及計算（大題）。

線面位置關系突出平行和垂直，又側重于垂直關系。因為空間直角坐標系的建立和空間角的平面角的構造與求解離不開垂直，空間距離也離不開垂直?？荚嚂r主要以三棱柱、四棱柱（正方體）、三棱錐、四棱錐為載體。與球有關的問題也是高考常考點。立體幾何大題不獨立考查單純的線面位置關系，而明確以多面體為載體，綜合考查概念、性質、線線關系等。

三、考題特點分析

每年的數學高考立體幾何題中，有2～3道選擇題，1道填空題及1道解答題。分值占全卷的18%～20%?？碱}屬于“理解”和“掌握”這兩個層次，難度中等，試題常有課本背景?？偨Y歷年來新教材高考卷與全國高考卷的立體幾何題可以看到以下幾個特點。

1.新教材立體幾何試題中大題以棱柱或棱錐為載體，融線面關系于幾何體中。繼續采取傳統的小步設問、逐層加深的模式。第一小問考查線線、線面、面面的位置關系，后幾問考查空間角，空間距離等度量關系。解題方法是向量代數法，其解題思路：建立坐標系——求向量坐標——用公式計算。舊教材相對穩定。

2.在考查空間概念的基礎上，強調作圖、證明和計算相結合，融推理論證于幾何量的計算中，邏輯思維能力、空間想象能力的考查存在于運算中。對空間想象能力的要求進一步提高，試題直接對空間想象能力的考查；立體幾何證明試題需從不同的角度來觀察圖形，直接體現了對空間想象能力的考查。如，2007年天津高考卷第11題；2007年全國卷第16題。

3.重點考查基礎知識的同時，也注重形式的多樣性。如與簡易邏輯、排列組合等小綜合題型也常出現，這也是一種傳統。如：2003年江蘇卷第16題是與簡易邏輯相關的題。

4.重視對數學素質的基本數學思想方法的考查；試題體現了立體幾何學科特點的通性、通法，突出和加大了對轉化、化歸思想，類比思想及等積變化等基本方法的考查力度。

如：（2003年江蘇卷第12題）一個四面體的所有棱長都為■，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為（ ）

A.3π B.4π C.3■π D.6π

此題的最優解法是：將這個正四面體放入一個正方體中，再將這個正方體放入球中與球相外接。因為正方體的對角線就是球的直徑，而正四面體的棱就是正方體的側面對角線。所以，設正方體的棱長為a，則有■a=■，a=1，∴2R=■a=■，∴R=■，S球=3π。故選A。此題是典型的考查轉化、化歸思想。

四、制定合理的復習計劃

（一）復習重點

1.線線、線面、面面平行和垂直的判定與性質；三垂線定理及其逆定理的應用；

2.空間向量的概念、性質與運用；

3.空間角與距離的概念和計算；

4.特殊棱柱、棱錐的定義、性質。

（二）棱柱、棱錐中線線、線面與面面的位置關系，線線、線面與面面所成角的構造與計算（特別注重向量代數法來計算角）復習建議

由于高考立體幾何題是中低檔題為主，所以在復習時一定要抓好基礎。嚴抓解題的表述與書寫的規范性。在傳統的邏輯推理方法中的基本步驟是：“一作（作輔助線），二證明（如證明直線與平面所成的角），三求（求解角或距離等）”。在用向量代數法時，必須按照“一建系（建立空間直角坐標系），二求點的坐標，三求向量的坐標，四運用向量公式求解”。如在證明線面垂直時，應證線線垂直時，學生容易只證與平面內一條直線垂直就下結論，這里應強調證兩條相交直線，缺一不可；用空間向量解決問題時，需要用建立坐標系時，一定要說清楚；用三垂線定理作二面角的平面角時，一定得點明斜線在平面上射影。書寫解題過程的最后都必須寫結題語。

在面積、體積計算中，要抓住基本圖形的基本量，利用基本量可用方程思想處理計算問題。長方體的長、寬、高；正三棱錐的側棱與底面邊長；球的半徑等等，這些基本量是列關系式的基本元素。

復習時，我們還應注重與球有關的問題。球內接長方體的對角線等于球的直徑；球內接正四面體的棱長與球的直徑的關系則可以通過相應的球內接正方體來作中間橋梁，即正四面體的棱長等于正方體的側面對角線長。如2003年全國卷第12題便是考查這一點。球與截面的問題可類比于圓與弦的問題。

以上是筆者一些膚淺的看法，由于水平有限，不妥之處，敬請專家斧正。

參考文獻：

1.高中數學教材《數學》第二冊下冊

2.《2010高中總復習導與練·理科數學》主編韓清海，張鳳，民陜西人民出版社

3.《狀元之路·數學B版》策劃梁國順，李利軍，黃穎，北京教育出版社

【責編 閆 祥】