轉化——初中數學的法寶之一

賀景紅

摘 要：轉化思想是指把待解決或未解決的問題，通過轉化，歸結到已經解決或比較容易解決的問題中去，最終使問題得到解決的一種思想方法。轉化，是解決問題的一種最基本的思想，是初中數學的法寶之一。將生疏問題轉化為熟悉問題，利用換元轉化、整體代換轉化、化歸轉化、一般至特殊轉化、數形轉化、合同變換轉化等方法，將復雜問題轉化為簡單問題，對提高學生分析、解決問題的能力有積極的促進作用。

關鍵詞：轉化思想；初中數學；教學方法；數學問題

初中數學蘊含多種數學思想方法，但最基本的數學思想方法是數形結合的思想、分類討論思想、轉化的思想和函數的思想，突出這些基本思想方法，就相當于抓住了中學數學知識的精髓。其中，轉化思想是解決問題的一種最基本的思想，對提高學生分析、解決問題的能力有積極的促進作用。學生學會數學轉化的思想方法，有利于實現學習遷移，從而可以較快地提高學習質量和數學能力。下面就轉化思想在初中數學中的應用舉若干實例作簡單歸納。

一、生疏問題轉化為熟悉問題

生疏問題向熟悉問題轉化是解題中常用的方法。解題能力實際上是一種創造性的思維能力，而這種能力的關鍵是能否細心觀察，能否運用過去所學的知識將生疏問題轉化為熟悉問題。因此，教師應深刻挖掘量變因素，將教材的抽象程度利用學過的知識加工到使學生通過努力能夠接受的水平上來，減小學生接觸新內容時的陌生感，避免學生因研究對象的變化而產生心理障礙，從而收到事半功倍的效果。

例1：已知兩圓內切于T，過T點的直線交小圓于A，交大圓于B，求證TA：TB為定值。

分析：過T點的直線繞T旋轉形成無數個不同的位置，其中過T的直徑每個圓只有一條，要證TA：TB為定值，先將直線TAB過圓心，這時TA′：TB′=r：R，在過T點任作一條直線交小圓于A，交大圓于B，連接AA，BB′，即可把要求解的TA：TB為定值轉化為證明三角形相似或證明平行線對應線段成比例。

二、復雜問題轉化為簡單問題

復雜問題簡化是數學解題中運用最普通的思考方法。將一個難以直接解決的問題，通過深入觀察和研究，轉化為簡單問題迅速求解。教師通過合理設置問題，將一個復雜的問題分成幾個難度與學生的思維水平同步的小問題，再分析說明這幾個小問題之間的相互聯系，以局部知識的掌握為整體服務。問題與問題之間要有一定的梯度，以利于教學時啟發學生思維。

1.換元轉化

例2：解方程（xx-1）2-5（xx-1）+6=0

分析：此方程形式較復雜，可通過換元化為簡單方程。

令xx-1=y，則y2-5y+6=0，通過換元轉化為會解的一元二次方程可進一步求解。

例3：解方程x4-5x2+6=0

分析：這是一道一元高次方程，可通過換元進行降次，轉化為會解的一元二次方程。

設x2=y，則上式變為會解的一元二次方程y2-5y=0。

2.整體代換轉化

例4：設四位數abcd是一個完全平方數，且ab=2cd+1，求這個四位數abcd的值。

分析：設abcd=m2，則32≤m≤99，又設cd=x，則ab=2x+1，

于是100（2x+1）+x=m2，即67×3x=（m+10）（m-10），由于67是質數，故m+10與m-10中至少有一個是67的倍數。若m+10=67k（k是正整數），因為32≤m≤99，則m+10=67，即m=57，檢驗知572=3249，不符合題意，舍去；若m-10=67k（k是正整數），則m-10=67k，m=77，所以abcd=772=5929。

此問題中，我們在設未知數的時候，采取整體代換，即把cd=x看成整體，從而使問題簡化。

3.化歸轉化

“化歸”，即把不熟悉的問題轉化為與已熟練掌握的題目或定理聯系起來思考。化歸方法的特點是簡捷、明了、集約化思考。

例5：如圖，圓內接四邊形ABCD的對角線相交于P點。求證：AB·AD∶CB·CD=AP∶PC.

分析：這個題難度很大，很難下手，但方法對頭就由難轉易，如果我們采取化歸的辦法清理思路就不難了。從求證中看出比例式兩邊方次不同，可能是右邊約去了因式。

我們從求證中看到AB·AD與CB·CD都是相鄰兩邊乘積，于是可聯想到很容易的一道題，即：已知△ABC內接于⊙O，AD為△ABC中BC邊上的高，AE為△ABC外接圓的直徑（如右圖）。求證：AB·AC=AD·AE.

這個題目是很容易證的，只要連結BE，證明△ABE∽△ADC，或連結EC，證明△ABD∽△AEC即可。這個題用語言敘述就是“三角形兩邊之積等于其外接圓直徑與第三邊上的高之積”。用這個題的結論去證明本例可以發揮絕妙的作用。

4.一般到特殊轉化

例6：如圖，在△ABC中，AB=5，AC=7，∠B=60°，求BC的長。

分析：直角三角形是三角形中最特殊、最簡單的情形，因此，構造Rt△解題是轉化的重要策略。如圖，過A作AD⊥BC于D，此題便迎刃而解。

5.數形轉化

運用數形轉化，找出形中隱含的數量關系，即可轉化為數量關系解決問題。

例7：如圖，矩形ABCDAE=ED，若EF把矩形ABCD的面積分為1：2，則■=______

分析：學生對這樣的問題總覺得不好下手。如果設一些參數，用方程來解，就顯得非常容易。

設BC=a，AB=b，則AE=ED=■，再設BF=x，則FC=a-x，根據梯形面積公式，得方程：■=■，解得x=■，a-x=■a，故■=■.

6.合同變換轉化

對稱、平移、旋轉稱為合同變換，在幾何中經常出現。

例8：如圖，已知梯形ABCD中，CD∥AB，∠BAD+∠ABC=90°，M、N分別為AB和CD的中點。

求證：MN=■（AB-CD）.

分析：本題求證中線段的關系較分散。從題目特點考慮，注意到∠BAD+∠ABC=90°，則將AD、BC向內平移會出現基本圖形Rt△NEF，問題轉化為證明MN為Rt△NEF斜邊上的中線，又轉化為AB-CD=EF=2MN即可。

綜上所述，數學轉化思想是中學數學教育中最活躍、最實用的，許多數學問題的解決都要運用轉化思想。教師在平時的教學中要善于引導和鼓勵學生在學習上和生活中經常運用轉化思想。在解決數學問題時，我們要以不變應萬變，不斷去探索，通過不斷的把問題轉化，從而解決數學問題。

參考文獻：

[1]陶金瑞，霍鳳芹.淺談數學思想方法——化歸與轉化[J].成都大學學報（教育科學版），2007，（08）.

[2]張力瓊.初中數學教學中滲透數學思想方法的教學策略研究[D].西北師范大學，2007.