《幾何畫(huà)板》在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

王紫玉

摘 要： 《幾何畫(huà)板》是一款適用于幾何（平面幾何、解析幾何、射影幾何等）教學(xué)的軟件平臺(tái)。它為老師和學(xué)生提供了一個(gè)探索幾何圖形內(nèi)在關(guān)系的環(huán)境。本文在對(duì)《幾何畫(huà)板》這一軟件進(jìn)行基本介紹的基礎(chǔ)上，列舉了《幾何畫(huà)板》在高中代數(shù)、立體幾何、平面解析幾何等方面的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞： 幾何畫(huà)板 高中數(shù)學(xué)教學(xué) 應(yīng)用

現(xiàn)代信息技術(shù)的廣泛應(yīng)用，對(duì)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容、數(shù)學(xué)教學(xué)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)等產(chǎn)生了深刻的影響。以往的教學(xué)模式下，知識(shí)的掌握、重點(diǎn)和難點(diǎn)的突破，總是靠教師機(jī)械反復(fù)地講，學(xué)生機(jī)械反復(fù)地練，從而導(dǎo)致學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)過(guò)重。那么如何改變數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀呢？那就要用到數(shù)形結(jié)合的工具——《幾何畫(huà)板》。

“幾何畫(huà)板”被稱為二十一世紀(jì)的動(dòng)態(tài)幾何。它是每一個(gè)跨世紀(jì)的數(shù)學(xué)教師都必須了解和掌握的電腦教學(xué)軟件。它在表達(dá)數(shù)形關(guān)系，動(dòng)態(tài)而直觀地展示軌跡與函數(shù)圖像上，有著不可比擬的功能。而教師只要在開(kāi)始的時(shí)候利用幾節(jié)課或興趣小組活動(dòng)教會(huì)學(xué)生使用幾何畫(huà)板的基本功能，上數(shù)學(xué)課（特別是有圖像、圖形的幾何課）時(shí)，由學(xué)生自己動(dòng)手分析，就會(huì)取得意想不到的效果。學(xué)生使用幾何畫(huà)板的過(guò)程和物理、化學(xué)中的學(xué)生實(shí)驗(yàn)類似，物理、化學(xué)實(shí)驗(yàn)有演示實(shí)驗(yàn)、學(xué)生實(shí)驗(yàn)，用幾何畫(huà)板可以教師演示，也可以學(xué)生自己動(dòng)手操作。下面我就結(jié)合教學(xué)實(shí)例談?wù)勑畔⒓夹g(shù)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。

《幾何畫(huà)板》是一個(gè)很適合高中數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)的工具軟件平臺(tái)。本文試圖就《幾何畫(huà)板》高中數(shù)學(xué)教學(xué)的輔助作用作闡述。

一、幾何畫(huà)板簡(jiǎn)介

《幾何畫(huà)板》是一個(gè)適用于數(shù)學(xué)教學(xué)的軟件平臺(tái)，為教師和學(xué)生提供了一個(gè)探索幾何圖形內(nèi)在關(guān)系的環(huán)境。它以點(diǎn)、線、圓為基本元素，通過(guò)對(duì)這些基本元素的變換、構(gòu)造、測(cè)算、計(jì)算、動(dòng)畫(huà)和跟蹤軌跡等方式，能顯示或構(gòu)造出較為復(fù)雜的圖形。

《幾何畫(huà)板》操作簡(jiǎn)單，只要用鼠標(biāo)點(diǎn)取工具欄和菜單就可以開(kāi)發(fā)課件。它無(wú)需編制任何程序，一切都要借助幾何關(guān)系表現(xiàn)，因此它只適用于能夠用數(shù)學(xué)模型描述的內(nèi)容。很適合數(shù)學(xué)老師使用，這也正是數(shù)學(xué)老師所擅長(zhǎng)的。用《幾何畫(huà)板》進(jìn)行開(kāi)發(fā)速度非常快，一般來(lái)說(shuō)，如果有設(shè)計(jì)思路，則操作較熟練的老師開(kāi)發(fā)一個(gè)難度適中的軟件只需5～10分鐘。

二、《幾何畫(huà)板》在代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

函數(shù)是高中的重要知識(shí)體系，而函數(shù)又是最基本、最重要的概念，它的概念和思維方法滲透在高中數(shù)學(xué)的各個(gè)部分；同時(shí)，函數(shù)是以運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)對(duì)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的一種刻畫(huà)，這又決定了它是對(duì)學(xué)生進(jìn)行素質(zhì)教育的重要材料。正如華羅庚所說(shuō)：“數(shù)缺形少直觀，形缺數(shù)難入微。”而教師在函數(shù)教學(xué)中，倍感頭疼的是函數(shù)的圖像，為了解決數(shù)形結(jié)合的問(wèn)題，在有關(guān)函數(shù)的傳統(tǒng)教學(xué)中，大多數(shù)老師用手工繪圖，但手工繪圖有不精確、速度慢的弊端；而運(yùn)用《幾何畫(huà)板》快速直觀的顯示及變化功能，恰好可以克服上述弊端，從而大大提高課堂教學(xué)效率，收到事半功倍的效果。

例如，在上《對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)》這節(jié)課時(shí)，可安排學(xué)生到機(jī)房進(jìn)行上機(jī)操作，學(xué)生利用《幾何畫(huà)板》數(shù)學(xué)軟件探究對(duì)數(shù)函數(shù)圖像及其性質(zhì)，通過(guò)親自動(dòng)手繪制對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像改變a的大小，認(rèn)識(shí)指數(shù)函數(shù)的變化規(guī)律，總結(jié)出了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。還有的學(xué)生進(jìn)一步探究出了指數(shù)函數(shù)圖像與對(duì)數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系。又如在講《曲邊梯形面積求法》時(shí)，有這樣一題：已知函數(shù)，求它在[0，1]上與坐標(biāo)軸圍成的面積。利用《幾何畫(huà)板》展示“以直代曲”“逼近”的過(guò)程，學(xué)生從中體會(huì)“分割、近似代替、求和、取極限”是求曲邊梯形面積的基本步驟，理解定積分的概念。傳遞動(dòng)態(tài)使思維“可視”，為幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)提供了直覺(jué)材料，為發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)能力提供了必要的感性準(zhǔn)備。學(xué)生通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)、猜想、交流等多種形式的活動(dòng)，提高了思維能力，拓展了思維空間。

三、《幾何畫(huà)板》在立體幾何教學(xué)中的應(yīng)用

立體幾何主要是為了培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力而開(kāi)設(shè)的，初學(xué)立體幾何時(shí)，大多數(shù)學(xué)生不具備豐富的空間想象的能力和較強(qiáng)的平面與空間圖形的轉(zhuǎn)化能力，主要原因在于人們習(xí)慣于依靠對(duì)二維平面圖形的直觀來(lái)感知和想象三維空間圖形，而二維平面圖形不可能成為三維空間圖形的真實(shí)寫(xiě)照，平面上繪出的立體圖形的平面直觀圖因受其視角的影響，難以綜觀全局。而用《幾何畫(huà)板》則能輕松地達(dá)到意想不到的效果。

對(duì)于棱臺(tái)的教學(xué)，我們往往采用模型進(jìn)行教學(xué)，通過(guò)“模型”和“圖形”的聯(lián)系，加深對(duì)所授幾何體的概念和性質(zhì)的理解，但“模型”加“圖形”的教學(xué)方法仍不能直觀明了地向?qū)W生展示棱臺(tái)的性質(zhì)。倘若能通過(guò)《幾何畫(huà)板》在前面得到的三棱錐的基礎(chǔ)上，在大的棱錐上截取一個(gè)小棱錐，然后對(duì)這個(gè)小棱錐進(jìn)行移動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)棱錐的拆分得到棱臺(tái)，就能充分培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。

四、《幾何畫(huà)板》在平面解析幾何教學(xué)中的應(yīng)用

平面解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科，它研究問(wèn)題的基本思想和基本方法是：根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，借助形和數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，求出表示平面曲線的方程，把形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)來(lái)研究；再通過(guò)方程，研究平面曲線的性質(zhì)，把數(shù)的研究轉(zhuǎn)化為形來(lái)討論。而曲線中各幾何量受各種因素的影響而變化，導(dǎo)致點(diǎn)、線按不同的方式做運(yùn)動(dòng)，曲線和方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系比較抽象，學(xué)生不易理解。而展示幾何圖形變形與運(yùn)動(dòng)的整體過(guò)程在解析幾何教學(xué)中是非常重要的。這樣《幾何畫(huà)板》就以其極強(qiáng)的運(yùn)算功能和圖形圖像功能在解析幾何的教與學(xué)中大顯身手。

例如，在教《點(diǎn)的軌跡求法》時(shí)有這樣一題：已知一條定長(zhǎng)線段L其兩個(gè)端點(diǎn)分別在x軸和y軸上滑動(dòng)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程。學(xué)生利用《幾何畫(huà)板》作出了圖形探測(cè)出中點(diǎn)軌跡，并求出了方程。還有的學(xué)生進(jìn)一步探測(cè)出了線段上其他點(diǎn)的軌跡。

五、《幾何畫(huà)板》在算法、概率等中的應(yīng)用

例如算法的教學(xué)中，要求學(xué)生盡可能上機(jī)嘗試，上機(jī)能極大地提高學(xué)生學(xué)習(xí)算法的興趣，不但可以檢驗(yàn)算法的正確性及算法的好壞，而且可以通過(guò)改進(jìn)算法引起學(xué)生對(duì)算法的深入思考；要求學(xué)生能夠用學(xué)過(guò)的VB語(yǔ)言自編一些實(shí)用小程序，體會(huì)算法的實(shí)際應(yīng)用。在概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中，鼓勵(lì)學(xué)生用計(jì)算器和計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理、繪制圖表、圖像等，還可以進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)：如利用幾何概型，并通過(guò)隨機(jī)模擬方法可以近似計(jì)算不規(guī)則圖形的面積。

總之，《幾何畫(huà)板》在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的廣泛應(yīng)用和推廣，不僅引起教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)模式的深刻變革，而且使學(xué)生接受知識(shí)的被動(dòng)地位得以改變，真正體現(xiàn)課堂教學(xué)中學(xué)生的主體地位和教師的主導(dǎo)地位，對(duì)提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)和教師的教學(xué)能力有著重要作用，同時(shí)也對(duì)我國(guó)的素質(zhì)教育起到重要的推進(jìn)作用。