著眼整體，輕松解題

徐四化

摘 要： 整體思想是最常用、最基本的數學思想之一，它是研究問題的整體形式、整體結構，并對其進行調節和轉化，使其簡單化的一種方法.它是數學解題的一種重要策略，是提高解題速度的一種重要途徑.

關鍵詞： 整體思想 初中數學解題 運用

數學思想方法是數學的靈魂，指導著數學問題的解決.整體數學思想方法，就是在研究和解決有關數學問題時，通過研究問題的整體形式、整體結構、整體特征，從整體上認識問題、思考問題，從而對問題進行整體處理的解題方法.在解決數學問題時，我們往往習慣于將問題“化整為零”；但有時候若能仔細觀察問題的特點和具體要求，從大處著眼，由整體入手，利用整體思想對問題實施調節與轉化，通過整體代入、整體換元、整體變形、整體構造等方式，常常能化繁為簡、變難為易，使問題快速獲解，提高解題效率.下面我結合實例談談整體思想在初中數學解題中的應用.

一、整體代入，化難為易

有些習題，如果孤立地利用條件，則雖可以得到解決，但解題過程比較復雜；如果把已知條件看做一個整體，直接或變形以后代入求解，問題就容易解決多了.

整體構造，就是根據已知條件和所求，整體構造相應的式子，通過對兩個式子的聯合研究解決問題.有些問題直接去求，無從下手，但通過整體構造，就能迅速得出答案.

例7：已知關于x，y的方程組2x+3y=m （1）3x+5y=1-m （2）的解滿足x+y=2（3），求m的值.

分析：一般解法是求出方程組的解（用含m的代數式表示），然后代入x+y=2求出m的值.這樣做對于學生來說是較難理解的.通過整體觀察，整體變形后整體代入，避免了復雜繁瑣的計算，簡捷易懂.

解：（1）×2-（2）得x+y=3m-1（4），將（3）代入（4）得3m-1=2，m=1.

例8：甲、乙、丙三種商品，若買甲4件，乙5件，丙2件，共用69元；若買甲5件，乙6件，丙1件，共用84元.問買甲2件，乙3件，丙4件，共需要多少元？

分析：如果想求出甲、乙、丙的單價后再求甲2件，乙3件，丙4件共需要多少元，顯然是行不通的，因為條件不夠，所以應該將所求問題作為一個整體來考慮.

解：設甲、乙、丙的單價分別為x、y、z，根據題意，得

4x+5y+2z=69 （1）5x+6y+z=84 （2）

（1）×3-（2）×2得2x+3y+4z=39

答：買甲2件，乙3件，丙4件，共需要39元.

五、整體配湊，巧辟捷徑

在解題過程中，常會碰到這樣的問題，待求的式子不滿足解題所需的形式.此時，往往可以應用整體思想按預定的解題方向對式子施行配湊成可應用某個公式或配湊成可利用題設條件，或配湊成要出現結論的式子，或配湊成我們熟悉的題型等，從而達到解決問題的目的.

六、數形結合，相得益彰

數形結合，就是通盤考慮題設條件，構造相應圖形幫助解題.一些代數問題僅僅用代數知識解，既繁又難.如果對題設和結論進行綜合考慮，構造相應圖形幫助解題，問題就能化難為易.

例12：已知五個半徑為1的圓的位置如圖所示，各圓心的連線構成一個五邊形，求陰影部分的面積.分析：由于五邊形不具備特殊性，因此各個扇形的圓心角的度數均未知，不能分別求出各個扇形的面積.為此，要求陰影部分的面積就要將幾個陰影部分（五個扇形）整體考慮.注意到五邊形內角和為720°，所以五個扇形的圓心角的和為720°，又因為各個扇形的半徑相等，所以陰影部分的面積為兩個半徑為1的圓的面積.

整體思想在初中數學解題中的應用，不僅僅局限于上述幾種類型，還涉及其他的各種題型.在平時的教學過程中，我們要指導學生學會從整體上考慮問題，對問題的條件、結論的表達式、結構特征等做深入細致的觀察分析，更好地把握整體思想的本質和規律，逐步養成應用整體思想解題的習慣，提高解決數學問題的能力.