運用圖示語言，提升解題能力

蔡杰

《義務教育數學課程標準（實驗稿）》在前言中指出：“數學學習是從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與運用的過程，進而使學生獲得對數學的理解。”解決問題教學的難點就在于讓學生學會理解、分析抽象的數量關系。如何提高學生解決數學問題的能力，就需在從問題情境到解決問題這個通道上建立一個中介，去幫助學生理解和分析問題中的數量關系。而圖示語言，就是一個很好的中介和橋梁。圖示語言可以是線段圖、表格，也可以是幾何圖形，也可以是等量關系式，圖示語言可以用運算符號、圖形、字母表示，也可以用方框、箭頭等直觀的符號來表示。因此圖示語言具有形象具體又簡單抽象的雙重性的特點，它比語言文字更直觀，能有效地過濾問題情境中的凌亂的、情節性的、非本質的信息，使得問題情境數學化，凸顯問題中的數量關系，因此能夠有效地幫助學生找到解決問題的思路。

蘇教版新教材特別安排了“解決問題的策略”單元的教學，這是培養學生解決問題能力的重要載體。下面結合四、五年級“解決問題策略”單元的教學，談談運用圖示語言提高學生解決問題能力的做法和體會。

一、有意滲透，讓學生喜歡圖示語言

在小學低年級時教材還沒有提到解決問題的策略，但有些較復雜的實際問題就已經需要用圖示語言來幫助分析理解了。

例如“媽媽買來一些桃，上午吃了一半，下午又吃了剩下的一半，盤里還剩下3個，媽媽原來買了多少個桃？”一些學生對逆向思考的數量關系難以理解。教學時教師可以畫出用正方形表示的示意圖（如圖1），幫助學生理解題意。有了這個模型的支持，學生很容易得出原來桃子的個數：3×2=6（個），6×2=12（個）。解答完成后教師再讓學生說說畫示意圖分析的好處，也讓學生學著畫一畫。

再如， “姐姐有l0本書，給弟弟2本后兩人同樣多，弟弟原來有多少本書？”教師同樣可以畫出直觀的示意圖幫助學生理解。從這個用圓圈表示的示意圖（如圖2）中，學生就清楚地看出：姐姐原來的10本書減去2等于8本，是姐姐現在的本數，也就是現在弟弟也有8本，要求原來弟弟的本數還要再減去2本，列式為10-2-2=6（本）。從而順利解決問題。

在低年級的解決問題的教學中，教師首先要有意識地引導學生學會看懂圖示語言，體會到示意圖既簡潔又形象，通過示意圖容易找到解決問題的思路，讓學生對圖示語言產生好感和有積極的畫圖愿望，并且鼓勵學生解決問題時多畫圖，培養學生畫示意圖解決問題的意識。

二、有效引導，讓學生學會運用圖示語言

從四年級開始，蘇教版教材正式編排了“解決問題策略”單元的內容。“列表整理解決問題的策略”是解決問題策略的起始單元，表格是一種常用的圖示語言，列表整理問題中的信息是解決問題的基本策略。所以這一單元不單是要教會學生解答“歸一”和“歸總”數量關系的數學問題，還要承擔更多的教學任務：讓學生喜歡圖示語言，產生畫圖的需要，學會列表的方法，體會到列表畫圖的好處和作用。

首先要讓學生產生運用表格這種圖示語言的需要。課堂引入環節可設計讓學生看用文字抄寫的課程表與表格整理后的兩種課程表，并找出星期三第三節課是什么課的活動環節。通過對比讓學生發現用列表的方法整理信息能更清楚明了。這樣的設計能夠重視學生的內心感受，讓學生真正產生列表整理的需要。

二是要讓學生經歷列表整理條件和問題的過程，鍛煉學生列表的能力。用列表方法整理信息，重點是要指導學生學會收集題目中的條件和問題，并按一定的順序填寫在表格里。因此在學習列表整理條件和問題時分三個層次進行教學，首先師生討論表格中需要整理哪幾個方面的內容，讓學生有個思考方向，并嘗試整理；然后匯報整理的結果，對學生不同的整理結果進行比較，討論怎樣摘錄更好；讓學生再次修改自己的表格，學會列表整理方法；最后把整理過的條件問題和原題進行比較，體會列表簡潔有序的優點，學會列表整理的方法。

三是對比、體會列表的優點，增強運用圖示語言的意識。讓學生體會列表策略的價值，并自覺應用這一方法解決問題也是本單元的重點，要適時引導學生對比、反思、總結。例如讓學生學習列表整理的過程中，就將列表整理與情境圖進行對比。通過對比使學生明白，情境圖里的信息是復雜的、凌亂的、情景化的，有的信息還是多余的，而表格里的信息是簡潔的、有序的、數學化的，是經過篩選后的重要信息和有用數據，都與要解決的問題直接相關，有助于把握實際問題里的數學內容，能夠簡化思路。例題教學后又教給學生畫簡化表格的方法，通過對簡化的表格的認識，使學生明白列表整理信息更簡潔有序，從而形成自愿運用列表法解決問題的積極情感。

三、重視訓練，讓學生養成用圖示語言分析問題的習慣

蘇教版教材四年級下冊的解決問題策略單元安排的是幾何圖形面積和行程問題的實際問題的教學。解決這些問題時，運用圖示語言來幫助理解和分析就顯得更加重要了。所以教學中要充分制造讓學生畫示意圖的機會，讓畫示意圖成為學生的一種習慣。

比如出示例題“梅山小學有一塊長方形花圃，長8米。在修建校園時，花圃的長增加了3米，這樣花圃的面積就增加了18平方米。原來花圃的面積是多少平方米？”后，讓讀了一遍后覺得已經理解題意的學生舉手。顯然，舉手的人不多。教師接著說：“遇到這種比較復雜的面積計算的問題，大家覺得應該怎么辦，有沒有好的方法幫助我們來理解題意？”從而引出通過畫示意圖來幫助分析。看到示意圖（如圖3），學生很容易就理解了題意。這時再讓學生自己學著畫一畫示意圖，并最終解決問題。最后請學生交流解題思路時，帶領學生回顧剛才解決問題的過程，讓學生體會到畫圖的價值和作用。

再如“張莊小學原來有一個長方形操場，長50米，寬40米。擴建校園時，操場的長增加了10米，寬增加了8米。操場的面積增加了多少平方米？”這個問題，有些學生容易理解成為增加的面積是10×8=80（平方米）。讓學生畫出示意圖（如圖4）后，他們就能理解增加的面積不是一個長方形，而是一個“L”形，要通過分割成幾個長方形來求增加部分的面積。

比較復雜的行程問題，關系到兩個物體的運動方向和路程，數量關系比較復雜，此時用箭頭、線段來表示行走的方向和路程就能直觀形象地表示出路程之間的數量關系。通過相對而行、相背而行、同向而行的行程問題也能鍛煉學生畫線段圖的能力。例如“一艘貨輪和一艘客輪同時從南京開往武漢。客輪每小時行23千米，貨輪每小時行28千米。經過20小時貨輪到達武漢，此時客輪距離武漢有多少千米？”這個問題，學生自己根據題目的敘述，逐步畫出線段圖（如圖5），就會知道，要求客輪距武漢有多少千米，就是求貨輪與客輪的路程差，從而列出算式“28×20-23×20=100米”。示意圖的作用顯而易見。

圖5

像這樣的數學問題還有很多，比如圓形、組合圖形等復雜的圖形面積計算問題，畫示意圖幾乎成了解題最好的助手。通過平時課堂中有意識的訓練，讓學生養成邊讀題，邊畫示意圖的習慣，會給學生解決問題帶來很大的好處，同時在這樣訓練的過程中學生解決問題的能力也有了進一步的提高。

四、突出優勢，提升學生運用圖示語言解決問題的能力

倒推解決問題的策略是五年級下冊的內容，對于較復雜的倒推問題，學生卻不容易理解其中的數量關系。所以教會學生畫倒推示意圖來分析題意尤為重要。倒推問題的種類很多，不同的示意圖對理解題意、解決問題的幫助大小也不同。所以在教學畫示意圖時要引導學生學會比較、選擇，體會不同示意圖對解決問題的作用，從而畫出合適的示意圖。

1.單一數量變化的倒推問題，用方框和箭頭的方法來畫示意圖比較合適

比如，“小明原來有一些郵票，今天又收集了24張，送給小軍30張后，還剩52張。小明原來有多少張郵票？”畫出這種方框加箭頭的圖（如圖6）讓人更加容易理解。

圖6

遇到比較復雜的單一量倒推的問題，用這種方框和箭頭的示意圖分析更能體現它的作用。又如“李白喝酒”的一道趣題：“李白街上走，提壺去買酒。與店加一倍，見花喝一斗，三遇店和花，喝光壺中酒。借問此壺中，原有多少酒？”學生順著題意畫出箭頭方框示意圖（如圖7），都不難一步一步倒推算出原來酒壺中有0.875斗酒。

圖7

2.“比一半多幾或少幾”的倒推的問題，用畫線段圖的方法分析更容易理解

比如，“小明看一本故事書，已經看了一半還少3頁，還剩53頁沒看。這本書有多少頁？”引導學生畫出這樣的線段圖（如圖8）來理解題意，顯然就比畫方框箭頭的示意圖來得直觀，容易理解。學生很容易明白是用“53-3”求出這本書一半的頁數，而不是“53+3”。

圖8

3.有些倒推問題用表格示意圖更簡單、清楚

比如，“一種毛毛蟲，從幼蟲長到成蟲身長每天增加一倍，到第15天時長到8厘米。問第幾天長到0.5厘米？”這個問題用列表的方法來解決會更清楚有效。

4.多種數量變化的倒推實際問題，用多行方框加箭頭的示意圖來表示會更有效

比如，“有一個書架有上、中、下三層，共有360本圖書。從上層拿30本到中層，再從中層拿45本到下層，再從下層拿35本到上層后，三層的圖書同樣多。原來三層上各有多少本書？”這道題中的三個數量都有兩次變化，比較復雜。引導學生用方框和箭頭示意圖的方法，畫出三層書架中圖書的變化情況，問題就一目了然。看著這個示意圖（如圖9），學生不難列出算式：上層“120-35+30=115（本）”，中層“120+45-30=135（本）”，下層“120+35-45=110（本）”。

圖9

總之，培養學生運用圖示語言解決問題是一個長期的過程，教師要在平時的教學中有目的、有計劃地持續訓練，讓學生喜歡圖示語言，體會圖示語言的好處，養成運用圖示語言來分析問題的習慣。