例談小學數(shù)學的習題教學

伏蕓蕓

習題是小學數(shù)學教材的重要組成部分，是學生進行有效學習的重要載體，教材中每一道習題的編排既有知識應用與技能形成的功能，也有為學生積累基本的活動經(jīng)驗，明晰數(shù)學基本思想，鍛煉思維的價值。在實踐中，一般教師比較重視教材中范例的教學，但不屑于對教材習題進行研究，有時僅僅把教材的習題作為作業(yè)布置給學生，缺少對習題的挖掘以及教學過程的整合，使得習題功能弱化，教材意圖不能凸顯。

課程標準提出教師要挖掘好習題背后隱藏的思維內(nèi)涵，在課堂教學中正確把握好數(shù)學知識的深度、廣度、梯度，合理利用教材中相關(guān)基礎(chǔ)習題進行必要的“還原”，優(yōu)化教材，豐富教學資源。

一、深究習題，展示思維

深究習題就是教師在分析學生現(xiàn)有知識經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，通過引導使學生對知識有更進一步的理解，對問題的思考更深刻。維果茨基的“最近發(fā)展區(qū)”理論告訴我們，學生在現(xiàn)有認知水平和教師引導下可能達到的水平之間有一個區(qū)域，這就是“最近發(fā)展區(qū)”。教學就要作用于學生的“最近發(fā)展區(qū)”，從而促進學生發(fā)展。

【案例1】四年級教材上有這樣一題：在得數(shù)相同的兩個算式后面畫“√”。

（1）（28+16）×7 28×7+16×7 □

（2）15×39+45×39 （15+45）×39 □

（3）74×（20+1） 74×20+74 □

（4）40×50+50×90 40×（50+90） □

學生答題后，教師指著第（4）題引導學生交流。

師：這題是左邊算式的結(jié)果大，還是右邊算式的結(jié)果大？你是怎樣看出來的？

生1：左邊等于2000+4500=6500，右邊等于40×140=5600，所以左邊算式結(jié)果大。

生2：40×50+50×90=50×（40+90）=50×130=6500，40×（50+90）=40×140=5600，所以左邊算式的結(jié)果大。

生3：40×（50+90）=40×50+40×90，和左邊的算式比較，都有40×50，而40×90比50×90小，所以左邊算式的結(jié)果比右邊大。

上述處理使習題中內(nèi)在的思維價值充分外顯，學生對乘法分配率的掌握得以深化，不再是為了解題而解題，而是通過讓學生獨立思考、自主探索、合作交流、猜測驗證等來提高學生的數(shù)學思維水平及問題解決的能力，學生在解題過程中獲得了成功的體驗，數(shù)學能力得到了發(fā)展。

【案例2】六年級教材中的一題：

■

分數(shù) 分數(shù) 分數(shù)

小數(shù) 小數(shù) 小數(shù)

一位教師是這樣教學的。

第一層次：讓學生用分數(shù)和小數(shù)表示陰影部分。這是對素材中基本要求的達成。

第二層次：讓學生用分數(shù)和小數(shù)表示空白部分。這是對素材進一步的開發(fā)，也是辯證統(tǒng)一思想的滲透。

第三層次：教師出示另一個空白圖形和0.3、0.35、0.012三個數(shù)，讓學生在空白圖形中分別表示出這三個數(shù)。這是對學生逆向思考能力的培養(yǎng)。

第四層次：教師繼續(xù)提供空白圖形，讓學生自主涂色，并用分數(shù)和小數(shù)表示陰影和空白部分。這是創(chuàng)造和提升。

在這個教學片斷中教師順著學生的思維特點，由淺入深對同一個素材進行了充分的挖掘和深究，從不同的角度來審視素材的內(nèi)蘊，使課堂變得簡約卻富有意蘊。

二、拆分習題，點撥思維

教材習題是對教學內(nèi)容的鞏固和發(fā)展。教師要領(lǐng)會教材意圖，優(yōu)化使用教材習題，放大習題資源功能，在新課程理念的引領(lǐng)下，將習題教學演繹得更加精彩。教材習題的呈現(xiàn)方式是多樣的，有的可以直接呈現(xiàn)，有的可以逐步呈現(xiàn)，有的需要設(shè)計一定的情境呈現(xiàn)，要根據(jù)教學的需要靈活選擇呈現(xiàn)的方式，使習題功能增值。

【案例3】有這么一節(jié)“百分數(shù)的認識”的公開課，讓人聽后不由得為教者對教材的教學資源的充分挖掘與利用贊嘆。

第一層次出示圖1，讓學生用三種數(shù)表示出陰影部分的面積。

■

圖1 圖2

分數(shù) 小數(shù) 百分數(shù)

師：你想先填哪一個？（讓學生根據(jù)自己喜好任選一種數(shù)先填）能把這三類數(shù)進行互化嗎？

（師先示范一個，學生自己開始填其余兩種數(shù)）

第二層次：用這樣的三種數(shù)你能表示出空白部分的面積嗎？

學生試一試，相互選一題說一說是如何想的。

教師選一題讓學生匯報。

第三層次：（電腦出示圖2）按要求在圖2中用陰影分別表示出0.4，■，0.012。

師：如何在圖2中把0.4表示出來？

生：先把0.4化為■。（學生試做）

師：■可以直接表示嗎？

師：0.012化為百分數(shù)是多少？化為多少便于表示，可以試著涂一涂。

第四層次：（電腦出示空白圖）

師：用自己喜歡的方式，自主在圖形中涂色，并說說小數(shù)、分數(shù)、百分數(shù)該如何表示。

綜觀教者對習題四個層次的設(shè)計，層層推進，思維逐步深入，提升與發(fā)展了學生的綜合能力。教師對書本習題資源進行挖掘與利用的處理方式，使得習題的內(nèi)涵更加豐富，教學不再停留在就題講題的層面上，有利于學生加深對問題的認識，點撥了學生的思維，拓展了學生的認知結(jié)構(gòu)，形成了一定的解題策略。

教學要以教材中的習題為依據(jù)，但又不拘泥于教材習題，教學中習題呈現(xiàn)方式的改變給學生提供了更多實踐、探索的空間，從而達到激活課堂、點化思維的教學目的。

【案例4】教學“7的乘法口訣”一節(jié)，教材上有一道習題設(shè)計了“每排七罐奶粉，共有六排，問一共有多少罐奶粉”的問題情境，教學時教師除了讓學生在解決問題中進一步熟練7的乘法口訣，同時還有意培養(yǎng)學生的估算意識，激活思維。（下圖中用○表示一個牛奶罐）endprint

■

出示圖3，請學生估計出這個盒子里可以放多少牛奶罐。在學生猜的基礎(chǔ)上給出圖4進行提示，多數(shù)學生的估計比較接近于答案。這時出示圖5，學生都能說出得到正確答案的原因。教師通過圖示，為學生估計、判斷提供了支點，讓學生感悟到估計時所考慮的相關(guān)因素越多，結(jié)果越準確。這一經(jīng)歷，學生對“估”的認識不僅僅停留在“猜”的經(jīng)驗上，而是提升了學生的思維，使估算有理。事實證明，靈活拆分、組合、調(diào)整習題的內(nèi)容，能較好地實現(xiàn)教材編寫者的意圖，切實體現(xiàn)了新課程的理念。

三、延伸習題，引深思維

教材中的習題是編者根據(jù)大部分學生的水平設(shè)計的，因此不可能面面俱到，不可能完全照顧到每個學生的實際情況。課程標準倡導：不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展。因此，教師要盡可能拓展習題的功能，既要鞏固基礎(chǔ)又能培養(yǎng)能力，使每個層次的學生都能有所發(fā)展。

【案例5】四年級上冊教材第97頁“想想做做”第5題是這樣的：□中可以填哪些數(shù)？

9□875≈10萬 39□0000000≈39億

在學生獲得準確結(jié)果后，教師提出：老師也想了一個整數(shù)，它四舍五入到萬位后也是10萬，這個數(shù)最大可能是多少？最小可能是多少呢？

學生迅速思考、動筆嘗試。

生1：這個數(shù)最大是99999，最小是95000。

生2：不對，最大應該是104000。

師：你是怎樣想的？

生2：要想原來這個數(shù)最大，顯然不能五入得到10萬，而應四舍得到10萬。所以，原數(shù)千位上應該是4，這個數(shù)最大是104000。

生3：我覺得還可以更大，應該是104999。因為千位上是“4”后，百位、十位和個位上的數(shù)不會影響結(jié)果。

生4：我也覺得是104999，因為如果再比它大1，那就成105000了，而這個數(shù)四舍五入到萬位是11萬，不符合題目要求。

盡管原題已經(jīng)具備了一定的開放性，但這種開放性更多的是建立在嘗試、歸納的基礎(chǔ)上，思維含量并不豐富。而延伸后的習題，無論從其答案的開放性，還是其思維容量上來看，都有了更多的超越，在培養(yǎng)學生思維的縝密、有序、合理性等方面，都是原題所無法比擬的。

【案例6】四年級上冊第101頁有這樣一道習題：先用計算器算出前四題的得數(shù)，再直接填出后兩題橫線上的數(shù)。

1×1=

11×11=

111×111=

1111×1111=

× =

一位教師在教學中，對習題進行了改編與延伸。

師：既然同學們都會用計算器進行計算了，下面就請大家拿出計算器，試著算出下面這道題的結(jié)果。

111111111×111111111=

很快，學生通過操作紛紛發(fā)現(xiàn)這道題的“問題所在”。

生1：我的計算器只能顯示8位，9個1顯示不了。

生2：我的計算器只能顯示10位，但計算結(jié)果顯示不出來，大概是數(shù)位不夠吧。

師：看來，計算器也不是萬能的。我們是否能想點法子進行研究呢？

生3：我們可以從11×11算起。

師：那你們就研究吧！

（學生在邊研究邊討論）

生4：11×11=121，111×111=12321，1111×1111=1234321。

生5：我知道了，這題的結(jié)果為12345678987654321。

師：說說你的想法。

（學生交流了自己發(fā)現(xiàn)的規(guī)律）

在這個教學中教師不是讓學生按部就班地去“發(fā)現(xiàn)”規(guī)律，而是先引出認知沖突，激發(fā)學生進行自主思考，并讓學生在教師的引導下自覺建構(gòu)模型，并最終利用模型解決相關(guān)問題。這種教學方式給了我們豐富的啟示，值得我們深思、借鑒。

四、拓展習題，發(fā)散思維

數(shù)學是思維的體操，數(shù)學思維在數(shù)學學習中具有重要的作用。教師應將思維訓練貫穿于整個教學過程，當然，在教學習題時也不能例外，教師要用足用好每一道練習題，認真鉆研教材，理解編排意圖，明確每一道習題的作用和功能，有效地加以拓展、發(fā)散學生的思維。

【案例7】四年級下冊教材第81頁有這樣一道習題：4個任意的小球，分別標上數(shù)字1、2、3、4。每次任意摸出2個小球，兩數(shù)之和為偶數(shù)算小紅贏，兩數(shù)之和為奇數(shù)算小明贏。這樣的游戲規(guī)則公平嗎？

看到這道習題，生1忍不住回答：當然公平啦。

師（及時給他表達的機會）：那你說說自己的想法。

生1：因為兩個數(shù)相加的和可能是奇數(shù)，也可能是偶數(shù)，所以可能性同樣大，也就是這個游戲規(guī)則公平。

生2：我也認為這個游戲規(guī)則公平，因為給我們的4個數(shù)當中有2個奇數(shù)和2個偶數(shù)，當然是公平的。

師：你們說的似乎很有道理，其他同學有不同看法嗎？

生3：不一定吧，雖然是2個奇數(shù)和2個偶數(shù)，但是它們的和也不一定正好一半是奇數(shù)，一半是偶數(shù)吧。

師：那我們就動筆來算算，用數(shù)據(jù)說話吧。

（學生探究的欲望被調(diào)動起來了，紛紛在作業(yè)本上計算起來）

生4：我知道了，這個游戲規(guī)則不公平。它們?nèi)我鈨蓚€數(shù)字的和有6種不同情況，分別是“1+2=3，1+3=4，1+4=5，2+3=5，2+4=6，3+4=7”。在這6種和之中，偶數(shù)的只有2種情況，而奇數(shù)的卻有4種情況。

師（適時進行引導，將學生的思維引向深處）：可是剛才幾個同學的回答聽起來也挺有道理的，怎么就會不公平了呢？

生5：因為只要是奇數(shù)加偶數(shù)就得到奇數(shù)，而偶數(shù)加偶數(shù)或者奇數(shù)加奇數(shù)才得到偶數(shù)，但是偶數(shù)加偶數(shù)或者奇數(shù)加奇數(shù)的情況比較少。

教師并沒有結(jié)束此題的教學，而在原有問題的基礎(chǔ)上進行了發(fā)散。因為只要有了開放的交流，學生的思維一定會在發(fā)散中得到提升。

師：那有什么辦法讓這個游戲變得公平呢？

（學生立刻在作業(yè)本上驗算起來，過了一會，他們又有了新的收獲）

生6：只要將這4個數(shù)字改成1個偶數(shù)和3個奇數(shù)就公平了。比如改成1、2、3、5。

生7：或者將這4個數(shù)字改成3個偶數(shù)和1個奇數(shù)也公平。比如改成2、3、4、6。

真為學生精彩的發(fā)言和獨到的見解而驕傲。在這個教學過程中，教師讓學生通過訓練不斷探索解題的捷徑，使學生思維的廣闊性得到不斷地擴充，而多次的漸進式的拓展訓練，又使學生進入了廣闊而又發(fā)散思維的佳境。

教材習題是整合知識的重要載體，也是提升學生數(shù)學能力的重要工具。教學中教師要充分挖掘好習題的內(nèi)涵，放寬教學思路，引導學生參與分析、類比、歸納等數(shù)學活動，將知識系統(tǒng)化，實現(xiàn)解題思路的自我發(fā)現(xiàn)、自我構(gòu)建和自我創(chuàng)造，將知識轉(zhuǎn)化成智慧。

（責編 金 鈴）endprint

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出示圖3，請學生估計出這個盒子里可以放多少牛奶罐。在學生猜的基礎(chǔ)上給出圖4進行提示，多數(shù)學生的估計比較接近于答案。這時出示圖5，學生都能說出得到正確答案的原因。教師通過圖示，為學生估計、判斷提供了支點，讓學生感悟到估計時所考慮的相關(guān)因素越多，結(jié)果越準確。這一經(jīng)歷，學生對“估”的認識不僅僅停留在“猜”的經(jīng)驗上，而是提升了學生的思維，使估算有理。事實證明，靈活拆分、組合、調(diào)整習題的內(nèi)容，能較好地實現(xiàn)教材編寫者的意圖，切實體現(xiàn)了新課程的理念。

三、延伸習題，引深思維

教材中的習題是編者根據(jù)大部分學生的水平設(shè)計的，因此不可能面面俱到，不可能完全照顧到每個學生的實際情況。課程標準倡導：不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展。因此，教師要盡可能拓展習題的功能，既要鞏固基礎(chǔ)又能培養(yǎng)能力，使每個層次的學生都能有所發(fā)展。

【案例5】四年級上冊教材第97頁“想想做做”第5題是這樣的：□中可以填哪些數(shù)？

9□875≈10萬 39□0000000≈39億

在學生獲得準確結(jié)果后，教師提出：老師也想了一個整數(shù)，它四舍五入到萬位后也是10萬，這個數(shù)最大可能是多少？最小可能是多少呢？

學生迅速思考、動筆嘗試。

生1：這個數(shù)最大是99999，最小是95000。

生2：不對，最大應該是104000。

師：你是怎樣想的？

生2：要想原來這個數(shù)最大，顯然不能五入得到10萬，而應四舍得到10萬。所以，原數(shù)千位上應該是4，這個數(shù)最大是104000。

生3：我覺得還可以更大，應該是104999。因為千位上是“4”后，百位、十位和個位上的數(shù)不會影響結(jié)果。

生4：我也覺得是104999，因為如果再比它大1，那就成105000了，而這個數(shù)四舍五入到萬位是11萬，不符合題目要求。

盡管原題已經(jīng)具備了一定的開放性，但這種開放性更多的是建立在嘗試、歸納的基礎(chǔ)上，思維含量并不豐富。而延伸后的習題，無論從其答案的開放性，還是其思維容量上來看，都有了更多的超越，在培養(yǎng)學生思維的縝密、有序、合理性等方面，都是原題所無法比擬的。

【案例6】四年級上冊第101頁有這樣一道習題：先用計算器算出前四題的得數(shù)，再直接填出后兩題橫線上的數(shù)。

1×1=

11×11=

111×111=

1111×1111=

× =

一位教師在教學中，對習題進行了改編與延伸。

師：既然同學們都會用計算器進行計算了，下面就請大家拿出計算器，試著算出下面這道題的結(jié)果。

111111111×111111111=

很快，學生通過操作紛紛發(fā)現(xiàn)這道題的“問題所在”。

生1：我的計算器只能顯示8位，9個1顯示不了。

生2：我的計算器只能顯示10位，但計算結(jié)果顯示不出來，大概是數(shù)位不夠吧。

師：看來，計算器也不是萬能的。我們是否能想點法子進行研究呢？

生3：我們可以從11×11算起。

師：那你們就研究吧！

（學生在邊研究邊討論）

生4：11×11=121，111×111=12321，1111×1111=1234321。

生5：我知道了，這題的結(jié)果為12345678987654321。

師：說說你的想法。

（學生交流了自己發(fā)現(xiàn)的規(guī)律）

在這個教學中教師不是讓學生按部就班地去“發(fā)現(xiàn)”規(guī)律，而是先引出認知沖突，激發(fā)學生進行自主思考，并讓學生在教師的引導下自覺建構(gòu)模型，并最終利用模型解決相關(guān)問題。這種教學方式給了我們豐富的啟示，值得我們深思、借鑒。

四、拓展習題，發(fā)散思維

數(shù)學是思維的體操，數(shù)學思維在數(shù)學學習中具有重要的作用。教師應將思維訓練貫穿于整個教學過程，當然，在教學習題時也不能例外，教師要用足用好每一道練習題，認真鉆研教材，理解編排意圖，明確每一道習題的作用和功能，有效地加以拓展、發(fā)散學生的思維。

【案例7】四年級下冊教材第81頁有這樣一道習題：4個任意的小球，分別標上數(shù)字1、2、3、4。每次任意摸出2個小球，兩數(shù)之和為偶數(shù)算小紅贏，兩數(shù)之和為奇數(shù)算小明贏。這樣的游戲規(guī)則公平嗎？

看到這道習題，生1忍不住回答：當然公平啦。

師（及時給他表達的機會）：那你說說自己的想法。

生1：因為兩個數(shù)相加的和可能是奇數(shù)，也可能是偶數(shù)，所以可能性同樣大，也就是這個游戲規(guī)則公平。

生2：我也認為這個游戲規(guī)則公平，因為給我們的4個數(shù)當中有2個奇數(shù)和2個偶數(shù)，當然是公平的。

師：你們說的似乎很有道理，其他同學有不同看法嗎？

生3：不一定吧，雖然是2個奇數(shù)和2個偶數(shù)，但是它們的和也不一定正好一半是奇數(shù)，一半是偶數(shù)吧。

師：那我們就動筆來算算，用數(shù)據(jù)說話吧。

（學生探究的欲望被調(diào)動起來了，紛紛在作業(yè)本上計算起來）

生4：我知道了，這個游戲規(guī)則不公平。它們?nèi)我鈨蓚€數(shù)字的和有6種不同情況，分別是“1+2=3，1+3=4，1+4=5，2+3=5，2+4=6，3+4=7”。在這6種和之中，偶數(shù)的只有2種情況，而奇數(shù)的卻有4種情況。

師（適時進行引導，將學生的思維引向深處）：可是剛才幾個同學的回答聽起來也挺有道理的，怎么就會不公平了呢？

生5：因為只要是奇數(shù)加偶數(shù)就得到奇數(shù)，而偶數(shù)加偶數(shù)或者奇數(shù)加奇數(shù)才得到偶數(shù)，但是偶數(shù)加偶數(shù)或者奇數(shù)加奇數(shù)的情況比較少。

教師并沒有結(jié)束此題的教學，而在原有問題的基礎(chǔ)上進行了發(fā)散。因為只要有了開放的交流，學生的思維一定會在發(fā)散中得到提升。

師：那有什么辦法讓這個游戲變得公平呢？

（學生立刻在作業(yè)本上驗算起來，過了一會，他們又有了新的收獲）

生6：只要將這4個數(shù)字改成1個偶數(shù)和3個奇數(shù)就公平了。比如改成1、2、3、5。

生7：或者將這4個數(shù)字改成3個偶數(shù)和1個奇數(shù)也公平。比如改成2、3、4、6。

真為學生精彩的發(fā)言和獨到的見解而驕傲。在這個教學過程中，教師讓學生通過訓練不斷探索解題的捷徑，使學生思維的廣闊性得到不斷地擴充，而多次的漸進式的拓展訓練，又使學生進入了廣闊而又發(fā)散思維的佳境。

教材習題是整合知識的重要載體，也是提升學生數(shù)學能力的重要工具。教學中教師要充分挖掘好習題的內(nèi)涵，放寬教學思路，引導學生參與分析、類比、歸納等數(shù)學活動，將知識系統(tǒng)化，實現(xiàn)解題思路的自我發(fā)現(xiàn)、自我構(gòu)建和自我創(chuàng)造，將知識轉(zhuǎn)化成智慧。

（責編 金 鈴）endprint

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出示圖3，請學生估計出這個盒子里可以放多少牛奶罐。在學生猜的基礎(chǔ)上給出圖4進行提示，多數(shù)學生的估計比較接近于答案。這時出示圖5，學生都能說出得到正確答案的原因。教師通過圖示，為學生估計、判斷提供了支點，讓學生感悟到估計時所考慮的相關(guān)因素越多，結(jié)果越準確。這一經(jīng)歷，學生對“估”的認識不僅僅停留在“猜”的經(jīng)驗上，而是提升了學生的思維，使估算有理。事實證明，靈活拆分、組合、調(diào)整習題的內(nèi)容，能較好地實現(xiàn)教材編寫者的意圖，切實體現(xiàn)了新課程的理念。

三、延伸習題，引深思維

教材中的習題是編者根據(jù)大部分學生的水平設(shè)計的，因此不可能面面俱到，不可能完全照顧到每個學生的實際情況。課程標準倡導：不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展。因此，教師要盡可能拓展習題的功能，既要鞏固基礎(chǔ)又能培養(yǎng)能力，使每個層次的學生都能有所發(fā)展。

【案例5】四年級上冊教材第97頁“想想做做”第5題是這樣的：□中可以填哪些數(shù)？

9□875≈10萬 39□0000000≈39億

在學生獲得準確結(jié)果后，教師提出：老師也想了一個整數(shù)，它四舍五入到萬位后也是10萬，這個數(shù)最大可能是多少？最小可能是多少呢？

學生迅速思考、動筆嘗試。

生1：這個數(shù)最大是99999，最小是95000。

生2：不對，最大應該是104000。

師：你是怎樣想的？

生2：要想原來這個數(shù)最大，顯然不能五入得到10萬，而應四舍得到10萬。所以，原數(shù)千位上應該是4，這個數(shù)最大是104000。

生3：我覺得還可以更大，應該是104999。因為千位上是“4”后，百位、十位和個位上的數(shù)不會影響結(jié)果。

生4：我也覺得是104999，因為如果再比它大1，那就成105000了，而這個數(shù)四舍五入到萬位是11萬，不符合題目要求。

盡管原題已經(jīng)具備了一定的開放性，但這種開放性更多的是建立在嘗試、歸納的基礎(chǔ)上，思維含量并不豐富。而延伸后的習題，無論從其答案的開放性，還是其思維容量上來看，都有了更多的超越，在培養(yǎng)學生思維的縝密、有序、合理性等方面，都是原題所無法比擬的。

【案例6】四年級上冊第101頁有這樣一道習題：先用計算器算出前四題的得數(shù)，再直接填出后兩題橫線上的數(shù)。

1×1=

11×11=

111×111=

1111×1111=

× =

一位教師在教學中，對習題進行了改編與延伸。

師：既然同學們都會用計算器進行計算了，下面就請大家拿出計算器，試著算出下面這道題的結(jié)果。

111111111×111111111=

很快，學生通過操作紛紛發(fā)現(xiàn)這道題的“問題所在”。

生1：我的計算器只能顯示8位，9個1顯示不了。

生2：我的計算器只能顯示10位，但計算結(jié)果顯示不出來，大概是數(shù)位不夠吧。

師：看來，計算器也不是萬能的。我們是否能想點法子進行研究呢？

生3：我們可以從11×11算起。

師：那你們就研究吧！

（學生在邊研究邊討論）

生4：11×11=121，111×111=12321，1111×1111=1234321。

生5：我知道了，這題的結(jié)果為12345678987654321。

師：說說你的想法。

（學生交流了自己發(fā)現(xiàn)的規(guī)律）

在這個教學中教師不是讓學生按部就班地去“發(fā)現(xiàn)”規(guī)律，而是先引出認知沖突，激發(fā)學生進行自主思考，并讓學生在教師的引導下自覺建構(gòu)模型，并最終利用模型解決相關(guān)問題。這種教學方式給了我們豐富的啟示，值得我們深思、借鑒。

四、拓展習題，發(fā)散思維

數(shù)學是思維的體操，數(shù)學思維在數(shù)學學習中具有重要的作用。教師應將思維訓練貫穿于整個教學過程，當然，在教學習題時也不能例外，教師要用足用好每一道練習題，認真鉆研教材，理解編排意圖，明確每一道習題的作用和功能，有效地加以拓展、發(fā)散學生的思維。

【案例7】四年級下冊教材第81頁有這樣一道習題：4個任意的小球，分別標上數(shù)字1、2、3、4。每次任意摸出2個小球，兩數(shù)之和為偶數(shù)算小紅贏，兩數(shù)之和為奇數(shù)算小明贏。這樣的游戲規(guī)則公平嗎？

看到這道習題，生1忍不住回答：當然公平啦。

師（及時給他表達的機會）：那你說說自己的想法。

生1：因為兩個數(shù)相加的和可能是奇數(shù)，也可能是偶數(shù)，所以可能性同樣大，也就是這個游戲規(guī)則公平。

生2：我也認為這個游戲規(guī)則公平，因為給我們的4個數(shù)當中有2個奇數(shù)和2個偶數(shù)，當然是公平的。

師：你們說的似乎很有道理，其他同學有不同看法嗎？

生3：不一定吧，雖然是2個奇數(shù)和2個偶數(shù)，但是它們的和也不一定正好一半是奇數(shù)，一半是偶數(shù)吧。

師：那我們就動筆來算算，用數(shù)據(jù)說話吧。

（學生探究的欲望被調(diào)動起來了，紛紛在作業(yè)本上計算起來）

生4：我知道了，這個游戲規(guī)則不公平。它們?nèi)我鈨蓚€數(shù)字的和有6種不同情況，分別是“1+2=3，1+3=4，1+4=5，2+3=5，2+4=6，3+4=7”。在這6種和之中，偶數(shù)的只有2種情況，而奇數(shù)的卻有4種情況。

師（適時進行引導，將學生的思維引向深處）：可是剛才幾個同學的回答聽起來也挺有道理的，怎么就會不公平了呢？

生5：因為只要是奇數(shù)加偶數(shù)就得到奇數(shù)，而偶數(shù)加偶數(shù)或者奇數(shù)加奇數(shù)才得到偶數(shù)，但是偶數(shù)加偶數(shù)或者奇數(shù)加奇數(shù)的情況比較少。

教師并沒有結(jié)束此題的教學，而在原有問題的基礎(chǔ)上進行了發(fā)散。因為只要有了開放的交流，學生的思維一定會在發(fā)散中得到提升。

師：那有什么辦法讓這個游戲變得公平呢？

（學生立刻在作業(yè)本上驗算起來，過了一會，他們又有了新的收獲）

生6：只要將這4個數(shù)字改成1個偶數(shù)和3個奇數(shù)就公平了。比如改成1、2、3、5。

生7：或者將這4個數(shù)字改成3個偶數(shù)和1個奇數(shù)也公平。比如改成2、3、4、6。

真為學生精彩的發(fā)言和獨到的見解而驕傲。在這個教學過程中，教師讓學生通過訓練不斷探索解題的捷徑，使學生思維的廣闊性得到不斷地擴充，而多次的漸進式的拓展訓練，又使學生進入了廣闊而又發(fā)散思維的佳境。

教材習題是整合知識的重要載體，也是提升學生數(shù)學能力的重要工具。教學中教師要充分挖掘好習題的內(nèi)涵，放寬教學思路，引導學生參與分析、類比、歸納等數(shù)學活動，將知識系統(tǒng)化，實現(xiàn)解題思路的自我發(fā)現(xiàn)、自我構(gòu)建和自我創(chuàng)造，將知識轉(zhuǎn)化成智慧。

（責編 金 鈴）endprint