善用錯誤資源 促進目標落實

馬小海+呂佳

學生由于受到家庭環境、思維方式、個性特點等方面的影響，且表達方式又不準確，學習中難免會出現各類的錯誤。同時，數學學習過程是一個自主建構的過程，常常需要學生自己提出假設、修正假設，因而出現錯誤是在所難免的。布魯納說過：“學生的錯誤都是有價值的。”教育名家華應龍老師的融錯教學理念中也指出“教師需要正確對待學生的錯誤，錯誤是一種寶貴的教學資源”。所以，學生的“錯”是自然現象，是不可避免的，更是“有利可圖”的。

那么，作為數學教師應怎樣通過行之有效的智慧調控，利用錯誤中有價值的因素，促進學生三維目標的實現呢？下面，筆者嘗試從知識技能、數學思考、解決問題、情感態度四方面加以闡述。

一、利用錯誤，完善知識技能

建構主義教學理論認為：人的知識不是被動地接受的，而是通過自己的經驗主動地建構的。特別是課堂上學生出現典型性錯誤時，是一個借鑒、完善知識的好時機。這時教師不應急于告訴學生解決問題的方法，而是要給學生留有探索的余地，讓他們在主動的交流中尋求解題的策略。

例如，教學“畫角”一課時，在自主探究、相互交流的基礎上，學生學會了畫角的初步方法，然后教師讓學生獨立嘗試畫角。但在巡視中，教師發現有幾個學生把100°的角畫成了80°，這是畫角時很容易出現的一個錯誤。于是教師把這個錯誤拋給學生，讓出現錯誤的一位學生將畫角的過程在實物投影儀上演示，引導學生發現改進的方法。

師：在剛才這位同學畫角的過程中，你發現了什么？

生1：他數量角器上的刻度時數錯了，所以就畫錯了。

生2：0刻度在內圈的，就要數內圈的100°，不能數到外圈去。

師：從他的錯誤中，你受到什么啟發？

生3：0刻度在內圈的，就要數內圈的度數；0刻度在外圈的，就要數外圈的度數。

生4：我覺得畫好后要再去檢查一下題目要求畫的是銳角還是鈍角，看看自己畫的角是否差不多。

生5：一條邊要對著0刻度，然后數刻度，從另一條邊找到100°，就不會出錯了。

……

上述教學中，學生畫角時出現的錯誤看似平常，卻是很多學生經常出現的錯誤，既是不良學習習慣所引起的錯誤，也是畫角技能掌握不清晰、不熟練的表現。“在剛才這位同學畫角的過程中，你發現了什么？”通過提問，讓學生深究出現錯誤的原因，直抵問題的本質。學生的發言不僅指向了學習習慣，而且指向了知識技能的誤區。但教師并沒有到此結束，而是繼續提問“從他的錯誤中，你受到什么啟發”，引發學生的共鳴，這樣既有對畫角技能、方法的準確敘述，也有對學習習慣的善意提醒。心理學家蓋耶認為：“誰不考慮嘗試錯誤，不允許學生犯錯誤，就將錯過最富有成效的學習時刻。”這樣做，不但使學生明確了畫角的方法和技能，而且培養了他們學習數學的自信心和探究精神。

二、放大錯誤，深化數學思考

鄭毓信先生有一個重要的教育思想，即學生的錯誤不可能單純依靠正面的示范和反復的練習得到糾正，而必須是一個“自我否定”的過程。由此可見，“自我否定”是學生數學學習中的一項重要品質，更是落實數學思維培養目標的重要環節。因此，教學中教師應該放大學生普遍存在的錯誤，把學生的思維“聚焦”到錯誤上，在認知沖突和自我反省的過程中，實現有深度的數學思考。

例如，華應龍老師教學“平行四邊形面積的計算”一課時，在學生盡情猜想、動手驗證后，讓全班學生交流匯報。

生1：因為平行四邊形可以轉化成長方形，所以面積應該是長乘以寬。

師：你是怎么想的？

生1：我們搭了一個長方形，輕輕一推就成了平行四邊形。因為長方形的面積是長乘寬，所以平行四邊形的面積就是長乘以寬。

師：因為長方形可以拉成平行四邊形，所以平行四邊形的面積就是長乘以寬。你們同意嗎？（同意的學生比原先多了一些）

生2：老師，你看，還可以這樣拉。（學生又將平行四邊形框架反向拉成長方形）

師：他又找到“行”的例子，證據更加明顯，同意平行四邊形面積等于鄰邊相乘的請舉手。（很多學生都舉起了手）那你們再看——（師舉起平行四邊形框架，繼續慢慢拉動，直到邊與邊幾乎重合）

生3：我覺得有問題。兩條鄰邊的長度沒有變，那么鄰邊的乘積也沒變，但是框框里面的面積卻越來越少。

生4：現在框架里的面積幾乎為零。

生5：老師，求平行四邊形的面積不能用鄰邊相乘。

……

在探求平行四邊形面積時，用相鄰兩條邊的長度相乘，這是學生最初的也是最真實的想法。面對這種錯誤的想法，華老師沒有直接否定，因為華老師認識到這是許多學生的錯誤，只有讓學生在現實操作的過程中認識錯誤并幡然醒悟才是上策。黑格爾也說過：“錯誤本身乃是‘達到真理的一個必然環節。”所以，華老師將錯就錯，用學生兩個想當然的錯誤例子誤導大家“上當”，再通過“他又找到‘行的例子，證據更加明顯，同意平行四邊形面積等于鄰邊相乘的請舉手。那你們再看——”的提問和操作，提供了適當的外部情境變化因素，促進學生自我反省，讓學生慢慢發現“兩條邊長度沒變，乘積也就沒變，可是框架里面的面積變了”這么一個現象。截然相反的結論，深深刺激著學生固有的認識，促使他們更深入地思考，直至發現正確的平行四邊形面積計算公式。

三、推進錯誤，促進解決問題

《數學課程標準》中所指的“解決問題”，其核心是需要學生通過觀察、思考、猜測、交流、推理等富有思維成分的活動才能解決問題。贊可夫說過：“只有學生在對教材的理解上還有這樣或那樣的銜接不上的地方，他們求知的渴望才會產生和增長起來。當某些不相符合的地方引起學生的警覺，當他們感到還需要增加某些成分才能使知識相互‘吻合的時候，這就是好事。”所以，教師應創造并利用這些“銜接不上的地方”或是“不相符合的地方”大做文章，讓學生以積極的熱情投入學習活動，引導學生圍繞問題進行深度探索，正確解決問題。endprint

例如，教學“平行四邊形的面積”一課時，教師設計了一道練習題（如下圖），讓學生獨立思考如何求這個平行四邊形的面積。

■

在巡視中，教師發現大部分學生的方法是正確的，但有一小部分學生卻寫成了4.8×4或者6×5。于是教師先讓方法正確的學生交流自己的算式，然后提問：“老師這也有幾個算式，大家看看對嗎？”教師邊寫邊說：“4.8厘米是底，4厘米是高，那么底乘高等于19.2平方厘米，正確嗎？”有個別學生輕輕說正確。“6厘米是底，5厘米是高，那么底乘高等于30平方厘米，正確嗎？”說正確的學生多了幾個。

師：這個長方形的面積是20×18，那么平行四邊形的底是20厘米，高是19厘米，面積可以寫成20×19？

■

生1：不能這么寫，照這樣寫的話，反而是平行四邊形的面積大了。

生2：剛才面積是19.2平方厘米和30平方厘米的算式是錯的，面積不可能變來變去。

生3：底乘以高，這底和高應該相互垂直，才可以相乘。

……

大部分學生求平行四邊形面積時，只知道用底乘高，所以當教師說“4.8厘米是底，4厘米是高，那么底乘高等于19.2平方厘米”“6厘米是底，5厘米是高，那么底乘高等于30平方厘米”，部分學生認為是對的。如果教師直接說“這是錯的，應該……”，這樣不僅將學生的原生態思維扼殺在起始階段，而且會導致學生沒有進行真正的思考。于是教師先是欲擒故縱，讓學生認為平行四邊形面積只要用底乘高就行了，然后提供一個平行四邊形、一個長方形，讓學生計算這兩個圖形的面積，使學生在巨大的面積反差中思考自己的做法，糾正自己的錯誤認識，并在進一步的思考、推理等思維活動中解決問題。

四、善待錯誤，培養情感態度

一些學生認為錯誤意味著失敗，意味著丟人，并在錯誤的體驗中逐漸產生消極的學習體驗。現代數學論的研究表明，學生的學習效果與學習活動中的情感、意志等非智力因素密切相關。同時，《數學課程標準》指出：“數學課堂就是素質教育課堂，許多素質是可以通過數學教學活動來培養的。”因此，教師要通過自己的教學藝術，讓學生在出錯的現實面前，仍然有積極的情感體驗，依然對數學產生好奇心、求知欲，樹立自信心，主動地參與數學活動。

例如，教學“小數四則計算”的練習課，我出示題目：“有兩摞同樣的紙，第一摞500張，厚4.7厘米；第二摞厚7.05厘米，有多少張紙？”我發現數學水平一般且不愛發言的生1也舉起來了手，于是點頭示意他發言。

生1：7.05減4.7等于2.35……（原本安靜的課堂，馬上傳來學生說“錯了、錯了”的竊竊私語聲，生1的臉一下子紅了，垂下頭不安地站在那里）

看著生1難受的表情，再看著自己寫下的板書（2.35正好是4.7的一半），我眼前一亮，關切地說：“孩子，你沒有說錯，只是沒有說完。”他聽后抬起頭看著我。

師：結合黑板上的圖想一想，2.35表示什么？

生1：第二摞紙比第一摞紙多出來的厚度。

師：非常好！善于觀察的你們，難道沒有發現2.35和4.7有什么關系嗎？

生2：2.35是4.7的一半。

生3：第二摞紙比第一摞紙多一半，就是多250張，所以第二摞紙有750張。

生4：題目中說是一模一樣的紙，2.35是4.7的一半，紙的厚度多了一半，那么紙就多了一半。（其他學生恍然大悟）

師：這種方法怎么樣？（生答“好”）通過大家的討論，我們找到了如此聰明的辦法。你們說，這種辦法同學們是怎樣得到的？（大家把目光聚集到了生1身上，隨即由衷地響起了掌聲，生1臉上露出了笑容）

……

學生出錯是常有的事，我們糾正錯誤，讓學生獲得清晰的認識，這無可厚非，但有些時候，我們忽視了出錯學生的心理感受。如果我們能努力挖掘錯誤中的閃光因子，引導學生從錯誤走向正確，那么學生就能獲得正確的認知，培養了積極的情感態度。心理學家告訴我們：“一個人只要體驗一次成功的喜悅，便會激起無休止的追求意念和力量。”“孩子，你沒有說錯，只是沒有說完。”雖是只言片語，卻為生1點燃了一盞學習的心燈，從他感動的神情和喜悅的眼神中可見一斑。這樣帶給學生的是對學習積極性的呵護與信賴，是成功的啟示與引路，是對熱愛數學的肯定與饋贈。

作為與新課改同行的教師，我們應該具備民主平等的教育品質、睿智從容的教育藝術，在課堂教學出現錯誤時，善于發現并利用學生錯誤中的“價值點”，隨機應變地沉著處理，激活學生沉睡的潛能。

（責編 杜 華）endprint

例如，教學“平行四邊形的面積”一課時，教師設計了一道練習題（如下圖），讓學生獨立思考如何求這個平行四邊形的面積。

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在巡視中，教師發現大部分學生的方法是正確的，但有一小部分學生卻寫成了4.8×4或者6×5。于是教師先讓方法正確的學生交流自己的算式，然后提問：“老師這也有幾個算式，大家看看對嗎？”教師邊寫邊說：“4.8厘米是底，4厘米是高，那么底乘高等于19.2平方厘米，正確嗎？”有個別學生輕輕說正確。“6厘米是底，5厘米是高，那么底乘高等于30平方厘米，正確嗎？”說正確的學生多了幾個。

師：這個長方形的面積是20×18，那么平行四邊形的底是20厘米，高是19厘米，面積可以寫成20×19？

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生1：不能這么寫，照這樣寫的話，反而是平行四邊形的面積大了。

生2：剛才面積是19.2平方厘米和30平方厘米的算式是錯的，面積不可能變來變去。

生3：底乘以高，這底和高應該相互垂直，才可以相乘。

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大部分學生求平行四邊形面積時，只知道用底乘高，所以當教師說“4.8厘米是底，4厘米是高，那么底乘高等于19.2平方厘米”“6厘米是底，5厘米是高，那么底乘高等于30平方厘米”，部分學生認為是對的。如果教師直接說“這是錯的，應該……”，這樣不僅將學生的原生態思維扼殺在起始階段，而且會導致學生沒有進行真正的思考。于是教師先是欲擒故縱，讓學生認為平行四邊形面積只要用底乘高就行了，然后提供一個平行四邊形、一個長方形，讓學生計算這兩個圖形的面積，使學生在巨大的面積反差中思考自己的做法，糾正自己的錯誤認識，并在進一步的思考、推理等思維活動中解決問題。

四、善待錯誤，培養情感態度

一些學生認為錯誤意味著失敗，意味著丟人，并在錯誤的體驗中逐漸產生消極的學習體驗。現代數學論的研究表明，學生的學習效果與學習活動中的情感、意志等非智力因素密切相關。同時，《數學課程標準》指出：“數學課堂就是素質教育課堂，許多素質是可以通過數學教學活動來培養的。”因此，教師要通過自己的教學藝術，讓學生在出錯的現實面前，仍然有積極的情感體驗，依然對數學產生好奇心、求知欲，樹立自信心，主動地參與數學活動。

例如，教學“小數四則計算”的練習課，我出示題目：“有兩摞同樣的紙，第一摞500張，厚4.7厘米；第二摞厚7.05厘米，有多少張紙？”我發現數學水平一般且不愛發言的生1也舉起來了手，于是點頭示意他發言。

生1：7.05減4.7等于2.35……（原本安靜的課堂，馬上傳來學生說“錯了、錯了”的竊竊私語聲，生1的臉一下子紅了，垂下頭不安地站在那里）

看著生1難受的表情，再看著自己寫下的板書（2.35正好是4.7的一半），我眼前一亮，關切地說：“孩子，你沒有說錯，只是沒有說完。”他聽后抬起頭看著我。

師：結合黑板上的圖想一想，2.35表示什么？

生1：第二摞紙比第一摞紙多出來的厚度。

師：非常好！善于觀察的你們，難道沒有發現2.35和4.7有什么關系嗎？

生2：2.35是4.7的一半。

生3：第二摞紙比第一摞紙多一半，就是多250張，所以第二摞紙有750張。

生4：題目中說是一模一樣的紙，2.35是4.7的一半，紙的厚度多了一半，那么紙就多了一半。（其他學生恍然大悟）

師：這種方法怎么樣？（生答“好”）通過大家的討論，我們找到了如此聰明的辦法。你們說，這種辦法同學們是怎樣得到的？（大家把目光聚集到了生1身上，隨即由衷地響起了掌聲，生1臉上露出了笑容）

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學生出錯是常有的事，我們糾正錯誤，讓學生獲得清晰的認識，這無可厚非，但有些時候，我們忽視了出錯學生的心理感受。如果我們能努力挖掘錯誤中的閃光因子，引導學生從錯誤走向正確，那么學生就能獲得正確的認知，培養了積極的情感態度。心理學家告訴我們：“一個人只要體驗一次成功的喜悅，便會激起無休止的追求意念和力量。”“孩子，你沒有說錯，只是沒有說完。”雖是只言片語，卻為生1點燃了一盞學習的心燈，從他感動的神情和喜悅的眼神中可見一斑。這樣帶給學生的是對學習積極性的呵護與信賴，是成功的啟示與引路，是對熱愛數學的肯定與饋贈。

作為與新課改同行的教師，我們應該具備民主平等的教育品質、睿智從容的教育藝術，在課堂教學出現錯誤時，善于發現并利用學生錯誤中的“價值點”，隨機應變地沉著處理，激活學生沉睡的潛能。

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例如，教學“平行四邊形的面積”一課時，教師設計了一道練習題（如下圖），讓學生獨立思考如何求這個平行四邊形的面積。

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在巡視中，教師發現大部分學生的方法是正確的，但有一小部分學生卻寫成了4.8×4或者6×5。于是教師先讓方法正確的學生交流自己的算式，然后提問：“老師這也有幾個算式，大家看看對嗎？”教師邊寫邊說：“4.8厘米是底，4厘米是高，那么底乘高等于19.2平方厘米，正確嗎？”有個別學生輕輕說正確。“6厘米是底，5厘米是高，那么底乘高等于30平方厘米，正確嗎？”說正確的學生多了幾個。

師：這個長方形的面積是20×18，那么平行四邊形的底是20厘米，高是19厘米，面積可以寫成20×19？

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生1：不能這么寫，照這樣寫的話，反而是平行四邊形的面積大了。

生2：剛才面積是19.2平方厘米和30平方厘米的算式是錯的，面積不可能變來變去。

生3：底乘以高，這底和高應該相互垂直，才可以相乘。

……

大部分學生求平行四邊形面積時，只知道用底乘高，所以當教師說“4.8厘米是底，4厘米是高，那么底乘高等于19.2平方厘米”“6厘米是底，5厘米是高，那么底乘高等于30平方厘米”，部分學生認為是對的。如果教師直接說“這是錯的，應該……”，這樣不僅將學生的原生態思維扼殺在起始階段，而且會導致學生沒有進行真正的思考。于是教師先是欲擒故縱，讓學生認為平行四邊形面積只要用底乘高就行了，然后提供一個平行四邊形、一個長方形，讓學生計算這兩個圖形的面積，使學生在巨大的面積反差中思考自己的做法，糾正自己的錯誤認識，并在進一步的思考、推理等思維活動中解決問題。

四、善待錯誤，培養情感態度

一些學生認為錯誤意味著失敗，意味著丟人，并在錯誤的體驗中逐漸產生消極的學習體驗。現代數學論的研究表明，學生的學習效果與學習活動中的情感、意志等非智力因素密切相關。同時，《數學課程標準》指出：“數學課堂就是素質教育課堂，許多素質是可以通過數學教學活動來培養的。”因此，教師要通過自己的教學藝術，讓學生在出錯的現實面前，仍然有積極的情感體驗，依然對數學產生好奇心、求知欲，樹立自信心，主動地參與數學活動。

例如，教學“小數四則計算”的練習課，我出示題目：“有兩摞同樣的紙，第一摞500張，厚4.7厘米；第二摞厚7.05厘米，有多少張紙？”我發現數學水平一般且不愛發言的生1也舉起來了手，于是點頭示意他發言。

生1：7.05減4.7等于2.35……（原本安靜的課堂，馬上傳來學生說“錯了、錯了”的竊竊私語聲，生1的臉一下子紅了，垂下頭不安地站在那里）

看著生1難受的表情，再看著自己寫下的板書（2.35正好是4.7的一半），我眼前一亮，關切地說：“孩子，你沒有說錯，只是沒有說完。”他聽后抬起頭看著我。

師：結合黑板上的圖想一想，2.35表示什么？

生1：第二摞紙比第一摞紙多出來的厚度。

師：非常好！善于觀察的你們，難道沒有發現2.35和4.7有什么關系嗎？

生2：2.35是4.7的一半。

生3：第二摞紙比第一摞紙多一半，就是多250張，所以第二摞紙有750張。

生4：題目中說是一模一樣的紙，2.35是4.7的一半，紙的厚度多了一半，那么紙就多了一半。（其他學生恍然大悟）

師：這種方法怎么樣？（生答“好”）通過大家的討論，我們找到了如此聰明的辦法。你們說，這種辦法同學們是怎樣得到的？（大家把目光聚集到了生1身上，隨即由衷地響起了掌聲，生1臉上露出了笑容）

……

學生出錯是常有的事，我們糾正錯誤，讓學生獲得清晰的認識，這無可厚非，但有些時候，我們忽視了出錯學生的心理感受。如果我們能努力挖掘錯誤中的閃光因子，引導學生從錯誤走向正確，那么學生就能獲得正確的認知，培養了積極的情感態度。心理學家告訴我們：“一個人只要體驗一次成功的喜悅，便會激起無休止的追求意念和力量。”“孩子，你沒有說錯，只是沒有說完。”雖是只言片語，卻為生1點燃了一盞學習的心燈，從他感動的神情和喜悅的眼神中可見一斑。這樣帶給學生的是對學習積極性的呵護與信賴，是成功的啟示與引路，是對熱愛數學的肯定與饋贈。

作為與新課改同行的教師，我們應該具備民主平等的教育品質、睿智從容的教育藝術，在課堂教學出現錯誤時，善于發現并利用學生錯誤中的“價值點”，隨機應變地沉著處理，激活學生沉睡的潛能。

（責編 杜 華）endprint