精心設計反例，把握問題本質

王國軍

摘 要： 反例在知識能力生成的教學中有著重要的作用，它不但可以強化學生對基本知識的理解和掌握，還可以培養學生的建構意識和創造能力。要重視反例的運用，這是讓學生進行探究、比較、加深對概念認知理解的有效手段。反例的施教一定要遵循錯誤轉化的原則，根據某些數學知識易致錯的特點和學生認識過程中所處的不同狀態，把握最佳時機。重視和體驗反例構造的過程，不僅能將所學知識進行有效的整合，拓寬思路，活躍思維，而且能提高學生的自學能力、辨別能力和解題速度。

關鍵詞： 反例 批判性思維 高中數學教學

新課程標準對“數學觀”的描述是：數學觀是世界觀的一部分。課程目標提出要使學生“具有一定的數學視野，逐步認識數學的科學價值、應用價值和文化價值，形成批判性的數學思維習慣，崇尚數學的理性精神，體會數學的美學意義，從而進一步樹立辯證唯物主義世界觀”。同時在能力目標中也提到反思建構的培養目標。在教學過程中，反例的建構和運用在促進知識的正確生成，培養學生的批判性思維習慣和反思建構的數學能力方面具有不可替代的教育價值。

“數學中的反例通常指的是符合某個命題的條件，但又與命題結論矛盾的例子。反例和論證是數學證明中的兩種重要的方法。論證是用已知為真的判斷確定另一個判斷的真實性，而反例則是用已知為真的事實去揭露這一判斷的虛假性”。二者都在努力揭示事物的本質和內在聯系，在數學理解中相互依存，相互作用。反例往往是對命題結論或命題證明進行批判的結果。本文擬從反例在高中數學教學中的意義、反例的構造方法、反例的教學價值、反例的教育時機等角度結合教學實踐展開論述。

1.反例在高中數學教學中的意義

曾有人對著名的哥德巴赫猜想用電子計算機驗證3.3×10■以內的全部偶數，猜想都是成立的。作這種驗證絕對不是為了證明猜想正確，恰恰相反，作這種努力正是為了尋求反例。正如美國數學家蓋爾鮑姆所指出的：“數學是由兩大類——證明與反例組成，而數學的發展也朝著兩個主要的目標——提出證明與構造反例。”

1.1反例對理解和深化概念、形成正確認知有重要意義。

一個正確的認識往往要經過正反兩方面的比較和鑒別才能確立，而構造反例是一種從無到有的創造，它對人們的思維素質的錘煉和創造能力的培養有重要幫助。適時構造并使用生動、簡明、擊中要害的反例是教師教學機智運用的漂亮的一筆，能起到正面強調所無法達到的強化作用，從而使學生對概念的理解更確切、清晰和深刻。反例在否定錯誤命題，揭示矛盾方面往往比正面的說理來得更加刺激，可以簡潔明了地擊中學生思維誤區的要害，促使其進一步深入思考。

1.2反例能刺激學生的求知欲，引發濃厚的數學興趣。

興趣是求知的起點，學生的學習欲望和興趣，總是在一定的情境中發生的。教學中，為了充分調動學生的學習積極性，對有些問題的條件或結論稍作改變，再交給學生，在新舊的比較和思索中，往往能引起學生的興趣。再通過教師有效引導和學生積極討論，許多反例將被指出。學生一旦發現這一反例中的惡性循環，便感到驚奇，產生濃厚的解題的興趣。像這種易犯而又意識不到的錯誤，一經提出，就會激發學生強烈的了解“為什么”的愿望和求知欲。

1.3反例能誘發學生的創造力，提升學生的思維素質。

反例的尋找與構造過程是一項積極的、創造性的思維活動，是一個探索與發現的過程。在數學教學中，恰當開發和利用反例，將能有效地提高教學質量。教學過程中通過引導學生尋找反例，一方面可以排除一些錯誤的認識，走出陷阱，另一方面可以更好地領會數學思維的規律和方法，發展學生敏銳的觀察力和豐富的想象力，提高數學思維的嚴密性、靈活性、批判性、深刻性等良好的數學品質。除此之外，反例在培養學生逆向思維能力中也占有重要地位。教學過程中可以啟發學生從一個相反的角度考慮問題，而不僅僅是將思維定勢在某個模式，這對于解題方面將起到不可忽視的作用。教師在教學中，不但要適當地使用反例，更重要的是要善于引導學生構建反例，這實際上是為學生創設了探索情境。

2.高中數學中反例的構造方法

2.1通過對問題的分類討論，構造反例。

一個似真實假的命題，往往是由于分類不全或錯誤的潛在假設而致。對條件恰當地分類，就可以發現不真條件，反例隨手可得。例如，過圓錐的頂點所作的一切截面中，以軸截面的面積最大嗎？分析：軸截面的頂角小于或等于90°時命題為真，大于90°時，命題不成立。

2.2通過簡單運算的疊加或疊乘，構造反例。

在說明許多性質的真偽時，?？捎靡恍┖唵蔚氖聦?，通過巧妙的疊加或疊乘來獲得反例，特別是在函數性質的教學中，這種方法經常用到。

（1）f（x）為奇函數，g（x）為奇函數，則f（x）+g（x）必為奇函數。

對于這個命題，我們只需尋找兩個奇函數，使其和產生新的變化就可以了，于是隨手可得反例。如，令f（x）=x，g（x）=-x，其定義域均為R，顯然f（x）和g（x）都是奇函數，但f（x）+g（x）=0，卻既是奇函數又是偶函數。

（2）增函數之積仍為增函數

2.3在解題的過程中尋找反例。

2.4尋覓“特殊”，構造反例。

特殊與一般屬于對偶范疇，它們既相互對立，又相互聯系和相互依賴。因此，利用它們之間的聯系，可由“特殊”發現“一般”，利用它們之間的對應，又可由“特殊”否定“一般”，尋覓“特殊”——特殊形式或特殊關系，構造反例的主要途徑之一。

例如（1）周期函數必有最小正周期？

2.5借助幾何“模型”，發現反例。

研究立體幾何問題，聯想相關的典型例題或基本圖形，以它們為幾何模型進行探究，是化“虛”為“實”，抽象為具體的基本策略。成“圖”在胸，感覺自然充實；模型在握，“虛無”化作“實在”。于是，產生理想的反例便在情理之中了。立體幾何中大量關于線面位置關系的似是而非的錯誤命題基本上都要通過舉反例予以澄清。

構造反例具有一定的技巧性，有時也是費力的。它不僅與基礎知識的掌握程度有關，還涉及知識面的寬窄等。所以在教學中適時讓學生自己構造反例，也是一種很好的鍛煉。重視和體驗這樣的過程，不僅能將所學知識進行有效整合，拓寬思路，活躍思維，提高自學能力，而且能提高分析問題、解決問題的能力。當然，反例的構造方法遠不止這些，只要我們在平時的教學中多留意，多從學生的角度考慮問題，大膽鼓勵學生以批判的眼光審視數學問題，一定會有許多新的收獲。

3.反例在高中數學教學中的價值

3.1利用反例澄清對概念的理解偏差。

反例可以幫助學生深刻理解數學中概念。通常在引入數學概念之后，還必須有一個去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里的加工過程，必須在感性認識的基礎上對概念作辨證的分析，用不同的方式進一步揭示概念的本質屬性，使學生消化吸收。通過列舉或構造反例，往往能夠從反面消除一些容易出現的模糊認識，讓學生嚴格區分那些相近易混的概念，正確把握概念的本質，從而有效地促進數學概念的生成。

通過以上反例的呈現，可以比較清楚地化解這個難點，使學生感悟到在給定區間上的連續函數與分段函數單調性的差異，從而達到有效促進學生認知的完善和對概念理解的深刻性。

[案例2]過兩條異面直線a，b外任意一點P必有直線l與直線a，b都交。

這個命題高三復習時仍然有不少學生誤以為真，正面說理又顯得很難，這時舉出反例最能讓學生信服，既發展了空間想象能力，又體現了圖形建構的思維要求。反例如下圖：

直線c∥a，且c與b相交，則過點P的直線一旦與直線b相交，則必不與a相交。

只要我們站在學生的角度思考，想想學生在概念學習的過程中可能會出現的錯誤認識，適當的構造反例澄清概念，既可以效地扶正糾偏，給教學平添了生機。

3.2利用反例幫助學生明確定理的使用范圍。

3.3利用反例糾正錯誤命題，發現錯誤問題的實質。

反例在辨析命題真偽時，具有直觀、明顯、說服力強等突出的特點，所以利用反例在揭示命題錯誤時具有特殊的威力。所以正如數學家維奧拉所說：反例“可以檢驗你是否已經正確而深入地了解了數學的真諦，還可以鍛煉你的智力，并將你的判斷和推理嚴格地約束在一種秩序之中”。

分析：我們只要考察f（x）=c的情形，即可知道這道題是一個錯題。我們在平時應該多注意培養學生批判性的思維習慣，不迷信教材資料的科學意識，引導學生利用特殊反例去發現錯誤問題無疑對提高學生的思維品質大有益處。

再看看下面一則案例：

（1）設y=f（x）是定義在實數集上的一個函數，則函數y=f（x-1）與y=f（1-x）的圖像關于（？搖？搖）

A.直線y=0對稱 B.直線x=0對稱

C.直線y=1對稱 D.直線x=1對稱

這是我們在高三復習時遇到的一道試題，后來就有一位學生對此提出質疑，并成功地構造了反例：設f（x）=sin2πx，則f（x-1）=sin[2π（x-1）]=sin2πx，f（1-x）=-sin2πx，顯然，y=f（x-1）與y=f（1-x）的對稱軸可以是x=0，y=0，x=1等，正確的選項不唯一。我想這位同學的靈感與質疑的習慣絕不是一時的興致，其敏銳的洞察力和批判性的思維品質是值得大加贊揚的。

4.反例運用于教學的價值實現要把握時機

反例是數學認知活動得以順利進行的“調節器”，對學生的數學認知活動能起到定向糾錯、抑錯扶正，提煉升華的作用。為了有效地防止或否定學生的錯誤認識，幫助學生盡快走出認知誤區，運用反例時一定要遵循錯誤轉化的原則，根據某些數學知識易致錯的特點和學生認識過程中所處的不同狀態，把握最佳時機。

4.1當思維受負遷移影響時。

消極思維定勢表現為在定勢的妨礙下，學習者不易改變思維方向，而用既定的思路去解決已發生變更的問題，導致解題錯誤，此時可通過反例克服思維的負遷移，引導學生從實質上分析并解決問題，提高思維的靈活性。例：教二次函數時，關于切線問題得出這樣的結論：過一點與拋物線相切的直線一定不與拋物線相交。當然此結論是正確的，在后來教曲線方程時，學生由于受此影響，形成思維定勢，得出如下結論：過一點與曲線相切的直線一定不與曲線相交.可舉一反例說明這個結論是不正確的。

4.2當學生理解困難，面對錯誤“執迷不悟”時。

在數學認知活動中，由于學生知錯不深刻，常常不能洞察錯誤的本質，因此，總有一種“似錯非錯”的感覺，思維處于混沌狀態而不能自拔。此時，反例可使學生警覺、醒悟，排除錯誤的困擾。

5.反例運用于教學要注意的幾個問題

5.1反例必須精煉。

對于同一個認知領域選擇反例的數量不能過多。運用反例是為了使學生掌握抽象的數學概念、性質，不能不加選擇地大量羅列反例。在平常的教學中，對于一些核心的數學概念、定理、公式，我們的著力點當然要放在正面的類比、演繹推理上，充分揭示其產生的過程和與其他知識的聯系。需要時，反例一定要用在刀口上，鏗鏘有力，點到為止。

5.2反例必須典型且有針對性。

反例要能代表概念性質對象的特點，倘若隨手拈來幾個反例，則其意義和教育價值就有局限性，典型的反例可以是綜合知識量大的部分，也可以是概念、知識點的某個性質。反例必須有針對性，應該針對所講的教學內容、教學實際和學生的接受能力來選擇和編排反例。

5.3反例的分析與評價要得當。

對于同一個反例，每個學生可以發揮出不同的意義，有人只能找到淺層的信息，有人則能悟到深層次的知識聯系，從而對癥下藥。教師要引導學生發現揭示反例背后的錯因歸屬。分析反例的關鍵是學生和教師共同努力，把反例中的內容與相應的一個或幾個知識點聯系起來。為此，教師要做好啟發引導工作，讓學生綜合運用所學的知識積極地獨立思考，大膽地交流研討，同時教師要營造民主和諧的教學氣氛，即使學生的思考和回答偏離了正確答案，也不要急于評判，可以讓他們自己反省，自我更正，使學生在沒有壓力和顧忌的良好心態下進行創造性的探索。

一個數學問題用一個反例予以解決，給人的刺激猶如一出好的戲劇。實踐證明，在教學中，恰當地運用反例，對于促進數學理解，提高甄別能力，鞏固掌握概念、定理、公式，培養學生的邏輯思維能力，錘煉學生思維的縝密性，增強學生思維的批判性及創造性有著現實而又重要的意義。反例的構建過程要基于執教者對教學時機的把握和對學生感知困難或容易誤解和直覺出現偏差的認知基礎。反例的開發和應用是數學理解、數學發現的重要途徑。在研究反例的過程中，不僅豐富了我們的實踐經驗，還會獲得眾多理論知識，對自身創新素質的培養，對自身認知體系的重構，對自身意識形態的洗練都不無裨益。讓數學真正成為一門文化，一件蘊藏人文內涵的藝術珍品，讓數學創新思維的種子在陽光雨露滋潤下茁壯成長。

參考文獻：

[1]鄭隆忻，毛鄂宛.數學思維與方法論概論[M].武漢：華中理工大學出版社.

[2]肖德好.全品高考復習方案.北京：北京教育出版社.