空間向量在高考解題中的作用

張亞菲

摘要：縱觀近幾年及2013年高考數學試題，不論是全國卷還是北京市、天津市、浙江省、山東省等其他15個省市的試卷，立體幾何解答題是必考題，一般一題兩問，第一問一般是證明線線、線面、面面位置關系，對此，我們可以利用綜合法，通過“作、證、求”三步求解。第二問是求線面角、面面角、距離等問題，而對于第二題，利用傳統方法，要正確運用有關的定理，找出足夠的條件進行推理，否則不易找出線面的垂直關系，從而造成考試時時間的浪費，甚至丟分。而空間向量法能較好地避開這一難點。直接通過平面的法向量，根據向量數量積的坐標運算就可以達到事半功倍的效果。

關鍵詞：空間向量；坐標運算；作用

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）03-0121

采用空間向量進行解題，第一要正確建立空間直角坐標系，寫（設）出相關點的坐標，及面內線段（向量）的坐標，然后就是一個面或兩個面的法向量的確定。第二是利用平面向量中兩個非零向量的內積公式 ■·■= ■·■cos ■·■ ，即cos ■·■ =■，求出法向量和面內一線段（向量）或兩法向量所成的角的三角函數值，最后根據題設條件，轉化為所求的量。另外，對動態的找點問題也可以通過設點的坐標，利用線線垂直化歸為向量的數量積等于零來求解。下面是幾道例題。

例1. 2013年新課標全國卷I理科數學第18題

如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中 ，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°，

證明：（1）AB⊥A1C

（2）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值。

證明：（I）取AB的中點O，連接OC，OA1，A1B，∵CA=CB，∴OC⊥AB，∵AB=AA1，∠BAA1=60°，

∴ △AA1B為等邊三角形 ?！郞A1⊥AB，∵OC∩OA1=O，∴AB⊥平面OA1C，又A1C 平面OA1C，∴AB⊥A1C。

（2） 由（I）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交線AB，∴OC⊥平面AA1B1B，∴OA、OA1、OC兩兩相互垂直。以O為坐標原點，■的方向為X軸的正方向 ，■為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系O-XYZ。由題設知：

例2. 北京卷第17題

如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是邊長為4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5，

（1）求證：AA1⊥ 平面ABC；

（2）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；

（3）證明：在線段BC1上存在點D，使得AD⊥A1B，并求■的值。

解：改（1）因為AA1C1C為正方形，所以AA1⊥AC。平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于這兩個平面的交線AC， ∴AA1⊥平面ABC。

例3. 浙江卷第20題

如圖，在四面體A-BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2■，M是AD的中點，P是BM的中點，點Q在線段AC上，且AQ=3QC。

（1）證明：PQ∥平面BCD。

（2）若二面角C-BM-D的大小為60°，求∠BDC的大小。

第一小題既可以用傳統方法解，也可以用空間向量的方法解。第二小題，需要通過作輔助線，再證明，就不難找出這個二面角，但相比較而言，存在三線兩兩互相垂直，用建標設點利用兩向量垂直的代數公式和兩向量的內積公式求角比較方便。，綜上所述，筆者認為在以后的教學中，我們應在引導學生對基本概念、基本公式完全掌握的前提下，鍛煉我們解決問題的能力，將立體幾何與解析幾何很好地結合起來，掌握通法，以不變應萬變，以“不動”（方法）應“動”（題目），從而提高解題的穩定性和準確性。所以，掌握空間向量的解題方法至關重要。

（作者單位：浙江省寧波市寧?？h正學中學 315600）