促進高中學生數學表達與交流的實踐研究

方東成

摘 要：數學學習本質上是數學思維活動，表達與交流是思維活動中的重要環節。嘗試以轉變師生觀念、加強語言學習為鋪墊，以數學糾錯本、數學作業本、數學寫作本為交流載體，讓“批、評、展”促進課外數學交流，讓“寫、說、講”鍛煉學生表達能力。實踐表明，學生表達的機會增多了，表達與交流的能力也增強了。結合教學實踐，介紹促進學生交流與表達的方法以供研討。

關鍵詞：師生關系；教學氛圍；語言學習；交流訓練

對于喜歡數學的學生而言，數學學習是一種樂趣，數學交流是他們展示個人能力、獲得自信與成就感的舞臺；對于想學好數學的學生而言，數學交流可以拓展思維、提高學習效率、取長補短；對于學困生而言，數學交流使更多的同行者為自己指點迷津、授業解惑。2003年4月頒布的《普通高中數學課程標準》（實驗稿）把“提高數學表達和交流能力”作為高中數學課程的目標之一。但從教學實踐來看，教學中缺乏師生、生生固定的交流載體，教師缺乏對學生的數學交流能力的培養，學生缺乏數學交流的鍛煉機會。由此，我們展開了旨在發展學生數學交流能力的實踐研究。

一、和諧師生關系，營造教學氛圍

從本校教學調查與觀察來看，與教師及同學關系良好的學生群體在數學交流與合作方面表現得更為活躍。與學生打成一片的教師有更多的學生提問，教學績效也有比較明顯的優勢。對教學而言，交往意味著對話，意味著參與，意味著相互建構，它不僅是一種教學活動方式，更為教學創造了教育情境和精神氛圍。新課程要求“以人為本”。對學生而言，交往意味著心態的開放、主體性的凸顯、個性的彰顯、創造性的解放。對教師而言，交往意味著上課不是傳授知識，而是一起分享理解；上課不是無謂的犧牲和時光的耗費，而是生命活動、專業成長和自我實現的過程。交往還意味著教師角色定位的轉換：教師由教學中的主角轉向“平等中的首席”，從傳統的知識傳授者轉向學生發展的促進者。因此，創設基于師生交往的互動、互惠的教學關系，是實現數學交流的必由之路。

由此，在教學實踐中，我們要求教師做好如下幾方面：第一，教師要為學生的發言營造良好氣氛。譬如在學生本人和同學們為他們的數學學習而承擔責任時給予支持，在數學交流中給予積極的評價。第二，合理分配教學時間。教學設計中必須要有教師緘默時間，師生、生生合作交流時間。強制規定教師連續講解時間不超過5分鐘，總發言時間不超過20分鐘。學生發言至少8分鐘。第三，教師要善于組織與促發有意義的數學交流活動。教師發起的課堂討論與數學交流應建立在對學生學習觀察的基礎上。譬如投影有爭議的解法、有獨特性的解題方法以及普遍存在的典型錯誤等來促進有效的數學交流。

二、加強語言學習，掃清交流障礙

1.強調概念定理，咬文嚼字，體驗嚴謹性

為了能使學生使用規范的數學語言進行交流，在教學中教師要力求做到用詞準確、敘述精練、前后連貫、邏輯性強，避免用日常用語代替數學專門術語，也不要為了說話方便而以簡略的形式代替完整的語句，結果遺漏了概念和定理的重要條件。對于重要條件和定理的講述要根據學生的認知實際，設置疑問或是加以強調，讓學生能更好領會數學語言的嚴謹。譬如：敘述直線與平面垂直的判定定理時用“線線垂直→線面垂直”進行概括。學生通過這個簡短的結論加以記憶會導致理解上的偏差，必須強調“直線與平面內的兩條而且是相交的直線垂直”。我們還可結合學生小時候玩過的竹蜻蜓作為生活實例加深印象，教學效果顯著。

2.重視數學符號，小題大做，體驗深刻性

每個數學符號的形成都有其獨特的背景與含義，抓住符號介紹的契機，揭示符號背后的背景與含義，既能吸引學生注意力，也能加深學生對數學語言的印象。正如第一個使用現代符號“=”的數學家雷科德所說：“再也沒有別的東西比它們更相等了。”他的巧妙構思得到了公認，從而相等符號“=”沿用了下來。如平行符號“//”簡單又形象，給人們抽象而豐富的想象，在同一個平面內的兩條線段各自向兩方無限延長，它們永不相交，揭示了兩條直線平行的本質。

將符號的起源及其應用情境向學生交代清楚，這其中既有聯系實際、會意的表達方式，也有來自英語的變形表達，有助于學生正確地理解符號和概念，加深對數學符號的印象，加速認知結構的建立。

3.狠抓圖形語言，數形互變，體驗科學性

利用圖形交流具有簡潔明了、言簡意賅的特點，在教學中，教師要在作圖與識圖上多花工夫，使學生利用圖形交流成為可能。譬如：在作圖上，同一個立體圖形可以有不同的畫法，至于采取哪一種畫法，得根據具體問題的實際情況，在作圖過程中不斷分析有關線、面、角之間的關系，盡量使所畫直觀圖有利于突出具體問題中要重點觀察的那部分圖形，并使之盡可能地有真實感。通過不同學生作品的對比，使學生自由評判與體會。生動鮮活的例子比教師的嘴巴更有說服力。

三、構建交流載體，組織數學交流

1.完善作業評價，發揮交流功效

②面批：挑選包括課代表在內的3個作業做得最好的學生以及作業很不理想的同學為面批對象。對優秀者的面批主要是肯定該生的學習成果，促進學生個人在數學學習中的成就感。同時也要轉變被評價者的角色，讓學生參與到作業的批改中來，提高數學學習的積極性。面批能及時解決學生在課堂學習中的困惑，及時為學生排憂解難，減少問題的積累。也能使學生感受到教師對學生個人的關心，提高數學學習的積極性。

③學生互批：教師與同學一起批改作業，遇到問題相互探討，防止出現誤判的情況發生。師生均對學生的作業給予若干正面的評價，提高學生完成數學作業的積極性。

（2）展示優秀作業，促進數學交流

我們通過黑板報、統一印刷、課堂上典型作業投影以及每周一次的作業本評分讓數學作業本流動起來，為數學交流提供可

能，讓交流成為常態。如此的操作能鼓舞學生的學習熱情，使學生對數學產生情感上的認同，能刺激學生更加投入到數學學習中去。通過學生的鼓勵性評價和教師的推薦，用于展示的作業已經有了廣泛的認同基礎，作為典型的優秀作業展出可以讓學生的自我價值得到體現，獲得精神上的滿足。

2.統一糾錯模式，展開糾錯交流

（1）養成糾錯習慣，建立糾錯檔案

我們從部分同學相互借閱糾錯本的情境中獲得啟發，讓更多學生參與到糾錯中來，規范糾錯本的模式，讓糾錯有更多的實質內容與思考，并在自我交流與生生交流中最大可能地發揮交流作用。糾錯本包括：①記錄錯誤信息；②指出錯誤之處；③設法糾正錯誤；④復習鞏固知識。通過糾錯本，不僅僅記錄錯題，給學生自我反思交流的機會，同時也使之成為數學交流的載體。

（2）利用糾錯檔案，擴大數學交流

我們要求學生定期翻閱自己的糾錯本，相互查看別的同學的經典糾錯案例，我們要求學生對其他同學的糾錯本作出鼓勵性的真誠的評價。通過糾錯本的翻閱整理，形成考前的第一手資料，以達到糾錯防錯的目的。同學間的數學交流也在互幫互助的討論、鼓勵性評價中實實在在地展開了。如圖1是學生糾錯本中摘入的一頁。我們嘗試由學生自主挑選來自同學們糾錯本中的典型錯誤組成試卷，用于日常教學的檢測。實踐發現，這種類型的試卷在提高糾錯防錯的意識的同時，也為學生做數學題目增添了動力，大多數同學看到自己的典型錯誤被采納之后會格外的興奮，也會加深對該錯誤的印象，提高糾錯的積極性。現展示學生錯題集中的一頁以及由糾錯本中的錯題組成的試卷以及糾錯（如圖2）：

3.設立數學隨筆，創建交流渠道

數學課堂上有來不及問的、不好意思說的、沒理解的內容，課余這些問題都去哪里了呢？學生是否會去思考，是否能問同學，是否能來問老師。現實是問老師的極少，問同學的更多停留在答案正確與否，自己能思考解決的有多少呢？于是，我們要增加師生、生生間的溝通與交流。

數學隨筆的形式多樣，目的不限。主要形式有：①提問。我們要求學生可以提問，但是不能只是提問，要分析自己的困惑所在，要說出與同學交流的嘗試之后失敗的原因，說出解決這一問題之后對自己的幫助。②反思。在師生交流、生生交流、生本交流、自我交流過程中會遇到特別值得記錄的反思性結論。譬如：反復性錯誤、解題失敗的原因、討論中的收獲、交流出來的經驗等等。③評價。在課堂教學過程中，師生的觀點不盡相同，為了能傾聽學生的聲音，應允許學生對課程的內容、解決問題的方法、答案的合理性等各方面作出評價。④自由發表意見。學生可以在此闡述自己關注的或者渴望傾訴的問題，發泄自己的情緒。包括自己的成功、不足以及不滿情緒。教師廣泛地傾聽學生的聲音是落實“以生為本”的教育理念的行為，是促進師生溝通交流的前提。我們希望能夠通過交流構建更為和諧的師生關系。

四、加強交流訓練，提供交流契機

1.“寫”——專題寫作錘煉語言

寫作是運用語言文字進行表達和交流的重要方式。相對于說而言，書面表達有更加充足的時間用于理性思考，更為嚴謹。相對與隨筆的自由，專題性的寫作更有指向性，也能促發學生更深層次的思考。寫是自我交流的一種體現，同時也為學生之間的交流增強了信心與底氣，為扮演教師角色作了鋪墊。

（1）寫專題

專題的寫作難度較大，概括性強，數學基礎薄弱的同學寸步難行。因此，我們要求學生盡量獨立完成的同時，也允許學生參考書本、課外資料，甚至利用網絡搜索引擎獲得相關材料。考慮到學生的實際，允許學困生摘抄部分有價值的內容，但必須要求自己能看得懂、講得出。

（2）曬專題

在教師的固定位置專門開辟一個專欄，我們把學生的專題寫作進行張貼，把自己的勞動成果與大家分享，精選那些優秀的數學寫作復印給學生，形成更大范圍的數學交流。學生的專題得到老師的推薦是對自己學習的充分肯定，能夠在每位同學面前展示更能激發學生的學習自信心與學習熱情。學生也更愿意參與到數學交流過程中來，有利于形成更廣泛的數學交流氛圍。運作流程：

2.“說”——發掘課堂交流潛能

課堂本應是學習共同體交流數學思想的舞臺，傳統的數學課堂可以認為是教師的專場演出，學生沒有機會發揮學習的主動性，知識的掌握效果會大打折扣。新課程理論強調學生的主體地位，學校新的導學案嚴格要求教師講述時間不超過20分鐘，那么如何激發學生說的欲望，把握住課堂交流時機最為關鍵。具體做法有：

（1）創設情境，交流于知識的形成過程中

建構主義學習理論認為：學習是一個積極主動的建構過程，學習者不是被動地接受外在信息，而是根據先前認知結構主動地有選擇性地知覺外在信息，建構當前事物的意義。知識的建構并不是任意和隨心所欲的。在建構知識的過程中，必須與他人磋商并達成一致，并不斷地加以調整和修正。現呈現教學片段如下：

總結與反思：在橢圓的定義形成過程中，學生經歷師生、生生、人機、生本交流及動手實踐，讓學生了解了橢圓形成的背景及條件，加速了概念的形成。“腰子藍的底”最終由學生歸結到兩個半圓與一個長方形而告一段落，但這一意外活躍了課堂氣氛，也讓學生從直觀感知上升為理性認識，幾何畫板演示加深了對橢圓的動態特征的印象，板演作圖過程是對書本知識的操作確認，從定點與定長的發現抓住了概念的核心。整個過程中學生的交流形式多樣，每位同學都有參與的機會，課堂氣氛活躍，學生的主體地位突出。遺憾之處是繩子長度都是定死的，要是長度不等的話是否能引發更多的對比與思考。該過程探索時機比較長，需要教師緊湊的安排，需要學生積極地參與，不然會影響教學進度。

（2）給予機會，交流于認知的沖突進行時

數學交流離不開學生的參與欲望，它是學生積極參與思維活動的重要原因。設置疑問，讓學生的認知與現有認知結構產生強烈的沖突，就能極大地刺激學生的學習動機并激發學生的參與熱情，引發學生積極主動地交流。

（3）給予信任，交流于復習的歸納整理中

每逢章末、小節或是典型的題型，學生先行即讓學生先練習，教師斷后即總結歸納。結合學校實際，我們發現更多的學生被教師牽著走，缺乏自主梳理的過程。即使是在師生合作下的歸納總結，最終的總結也是統一的，不是體現每個學生的知識結構和適應自身需要的有價值的總結。對于公式都記不住、代公式有困難的同學，他們需要的是公式的推導記憶方法以及簡單的常見類題型，對于基本功好的同學，他們需要的是基于常見題型、常用方法之上的較深層次的變化以及自身在解題過程中暴露出來的不足與易錯點等方面的總結。我們嘗試的課堂總結模式：

3.“講”——展示個人交流才能

美國學者艾德加·戴爾的“學習金字塔”理論認為：向別人講授以及相互教，快速使用，知識保留達90%，是學習效率最高的方式。我們嘗試讓學生走上講臺，以講促學，提供給學生交流的機會。

（1）講公式

（2）講題目

教師精選試題或是學生自選深有體會的習題或是教師批閱后部分作業的講解讓學生來承擔。課堂教學過程中學生有獨特的思維和優秀的作品呈現時，我們邀請學生來介紹自己的獨特理解；也故意設置一些錯誤引起學生的警覺，提高講題的參與度。在“嘖嘖稱贊”與“千夫所指”或是“刨根問底”中創造了氛圍，提高了學生交流的積極性。通過學生準備后的“講”，講出自己對題目的解法、思考方法、糾錯經驗，講出同學與個人的典型錯誤，引發眾人糾錯與反思等。既發揮了數學的語言功能，鍛煉了膽量，也在學生間的相互講與教過程中，促進學生對問題的鉆研與理解。最大限度地提高學生聽與質疑的積極性，使數學學習與交流的形式多樣化。

課堂內的講題目主要由數學功底較好、表達能力強的學生參與，以自愿為原則，保護與照顧學困生以及內向學生的心理。對于后者，我們單獨成立互助合作小組，在班級中成立數學顧問小團體，由那些性格開朗，特別愿意給其他學生排憂解難的同學組成。一般交流時間為晚自修走廊或者討論教室內互幫互助，并在制度上給予互助雙方一定的獎勵。

（3）講題型

在日常教學中，學生的解題一般是就題論題，對題目本身的發生發展是無人問津的，一旦題目產生些微小的變化就會給學生帶來不安與困惑，甚至有同學就覺得是新題目。這種就題論題的做題方法會讓學生掉進題海，達不到舉一反三的效果。而譬如三角函數、解三角形等常考題型又是學生必須啃下的硬骨頭。因此，我們對常考題進行講題型訓練，借此希望加強學生對重點題型的歸納終結，同時也希望能形成解常用題型的通性通法。

譬如某學生在講三角函數常考題型時，總結了一類典型的三角函數題型：“關于f（x）=Acos2ωx+Bsin2ωx+Csinωxcosωx+D探究”，該生總結了常用的公式、常規解法的操作步驟、涉及的數學思想方法、常規考試中頻率較高的問題，推薦學生做的題目、可能的易錯點、防范的方法等等。該團隊經歷的資料收集與歸納總結過程本身就促進了學生間的交流，講解過程中得到升華與提高，整個團隊的學生加深了對該部分內容的印象與理解。

上文是從發現教學中學生數學表達能力弱、數學交流氛圍缺乏、數學交流困難的學情出發，從學校教師的經典做法中汲取經驗教訓，從轉變師生觀念開始，通過構建載體、應用載體、提供展示機會等方法與途徑來提高學生表達與交流能力。從實踐來看，學生學習的興趣有提高，數學語言的應用與表達有提升，學習習慣有改善。

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| 編輯 趙飛飛