巧用數學美激發學生學習興趣的研究

裴會琴

摘 要：歸納總結了某些事物和數學之間的聯系，以及數學概念的簡單性、統一性，結構系統的協調性、對稱性，數學命題與數學模型的概括性、典型性和普遍性等，并從中體現出一種和諧而統一的數學美，通過讓學生欣賞數學美以激發學習數學的興趣。

關鍵詞：數學美；中職；成才；學習興趣

數學課程是中等職業學校學生必修的一門公共課程。本課程的任務是：使學生掌握必要的數學基礎知識，具備必需的相關技能和能力，為學習專業知識、掌握職業技能、繼續學習和終身發展奠定基礎。從學生狀況來看，來中職學校讀書的學生，有的數學基礎薄弱，又沒有良好的學習習慣。隨著教學難度的逐步增加，不懂的內容越積越多，久而久之，對數學的興趣也越來越淡，形成了惡性循環。另一方面，有些學生產生數學無用論的思想。這種思想導致許多學生不用心學數學或根本不學數學。作為中職學校的一名數學教師，我一直在思考：愛美之心人皆有之，特別是處于青春期的中職學生，要是能對他們適時進行美育，使學生在學習數學的過程中不斷獲得美的享受，就會大大激發學習數學的興趣，促進中職生早日成才。

數學有什么美呢？“到處都是美，對于我們的眼睛，不是缺乏美，而是缺少發現。”面對0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這十個阿拉伯數字時，也許不會產生任何美感。但若聯想到，正是這幾個簡單數字不同的排列組合，展示小到微生物大到天體宇宙的時候，我們胸中也許會充滿一種與天地并立的浩然正氣，這不正是數學中簡單與偉大之美嗎？直線的剛勁平穩，曲線的對稱柔和，波浪起伏的正弦圖像，目不暇接的極坐標方程，蝴蝶定理，黃金分割等等，無不給人一種數學美。數學美即蘊藏了數學所特有的抽象概念、公式符號、命題模型、結構系統、推理論證、思維方法的簡單、和諧、嚴謹、奇異等形式的美。

一、數學中的黃金分割美

（1）美妙的黃金分割。古希臘學者發現了“黃金”長方形，即長方形的長和寬之比為1.618最佳（即看起來賞心悅目），這個比叫作黃金分割比。1.618的倒數的近似值即為0.618，這個數被稱為黃金分割數。1.618這個比例值于1854年由德國美學家蔡辛正式定為“黃金分割律”。這個美妙的比例，實質上是將一條單位長的線段分成兩段，使=，這就是眾所周知的分線段比為中外比。

設大線段長為x，則小線段長為1-x，于是有=，解得x=，取其正值≈0.618。中外比（黃金分割比）的作圖并不難，如圖，只需取一個直角三角形，它的兩條直角邊分別為1與，則斜邊為，再將它減去的直角邊，得AD，然后在AC上取AE=AD，則點E分線段AC為中外比（黃金分割比）。

（2）將黃金數表示為連分數。由線段的黃金比=，有x2=1-x，x（1-x）=1，得x=。對等式右邊分母中的x又以代替，可得x=；依次類推，可得連分數：x=。這樣一個簡潔的連分數給人以有序而無窮的印象，具有美感。黃金數與連分數之間竟有如此迷人的聯系，怎不讓人驚嘆！

（3）人體也有黃金分割點。意大利數學家菲波那契曾注意到數學界不屑一顧的“冷門”——人體黃金分割。他說，一般人人體肚臍上下的長度比值為0.618或者與此相近，這是人體上下結構的最優數字。此外，他發現，人體結構還有三個黃金分割點，上肢的分割點在肘關節，肚臍以下部分的分割點在膝蓋，肚臍以上的部分在咽喉。這一發現，為評價體形提供了一定依據。

二、數學中優美而巧妙的等式

（1）巧妙而正確的等式。有一些運算，在恒等變換時，看似“奇怪”而“荒謬”，但結果卻是正確的。請看以下幾個不同尋常的演算。

①可“約去”指數的等式。如果有學生在做數學演算時，作出以下的演算： ==、==、===，粗心的老師可能說是錯的。而學生說是對的。老師不相信，自己做了幾遍，發現學生做的這個等式是正確的。如果是“碰巧”，怎會幾個等式都會這樣呢？如果觀察式子的特點，可以作出如下猜想：= ，看看是否能證明呢？= = =。事實上，只需將a、b代入不同的實數（不一定是整數）都可以得出以上類似的結果。而這個運算，好像是把等式左邊分子、分母上的指數約掉了一樣。

②可“約去”對數符號的等式。如果說=，=，你相信嗎？事實上，等式是對的。這是因為，恒等式=是對的。證明如下：左式=×=，右式=-1=。當m=1、2時，便是上面的兩個等式。它們好像是將分子、分母中的對數符號約去了一樣。

③兩數積等于兩數和的等式。我們說×8=+8、×11=+11，這不是很神奇嗎？事實上，等式×（n+1）=+（n+1）是成立的。因為左式=，右式==，所以當等于7、10時，便是以上的兩個等式了。

④可把帶分數的整數部分提到根號外的等式。請看等式=5，=7，=10，這不是把帶分數的整數部分提到根號外了嗎？等式是否成立呢？這要看下面等式是否成立：=a。因為左邊===a=右邊，說明等式成立。因此，只需令a=5、7、10，便可得到前面的三個等式。事實上，對上面的等式還可進一步推廣（篇幅所限，略）。

（2）優美的算式與優美的答案。

請看算式：=

==111111111×111111111=12345678987654321。這個算式整齊、勻稱、和諧、平衡，給人以美的感受。這個答案顯然具備分式的特點，使人感到驚奇。事實上，只需在上述算式中改變一個數字，就會有類似結果：===11111111×11111111=123456787654321.你如果認真進行觀察、歸納，是不難寫出它們的一般形式的：=123…（n-1）n（n-1）…321.

所有這些，都體現了等式巧妙結構本身所具有的對稱、和諧和奇異的內在美。恒等變換是一種平淡、枯燥的運算，只要認真鉆研，你會感到趣味無窮，說不定你還會發現一些奇異的等式呢。

三、數學中出人意料的結論給人以美

在教學過程中，一些出人意料的結論也給人以美的享受。

①學生學習集合時都知道：集合是指由一些事物組成的整體，而這些事物中的每一個稱為這個集合的一個元素。比如小明的家里有五個人，像這種只含有限個元素的集合，叫做有限集。自然數有無窮多個，像自然數集這種含有無窮多個元素的集合，叫做無限集。而要比較兩個集合的大小，也就是看這兩個集合中的元素哪個多。我們知道，全體整數有無窮多個，全體正整數也有無窮多個。那么，試問“全體整數和全體正整數都有無窮多個，它們是不是一樣多呢？”或者我們又會想到，全體正整數是全體整數的一部分，難道一部分和全體一樣多嗎？

對有限個元素組成的集合比較大小，只需要看看兩個集合間的元素是否有一一對應關系。在比較兩個由無窮個元素組成的集合大小時，要看這兩個無限集的元素間能否建立起某種“一一對應”關系，如果可以，這兩個集合是相等的。請看下面的圖示：

0 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4 ……

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ……

從這個圖示我們看出，可以在全體整數集和全體正整數集之間建立“一一對應”關系，也就知道它們之間的元素是一樣多的，也就得出一個出人意料的結論：全體整數集和全體正整數集是相等的。這時，一種輕松興奮的感覺油然而生，讓人感覺數學有無窮的美讓人來享受。

②學判斷命題真假的時候，偶爾在課間聽見兩個學生在打鬧時說：“我什么都可以做到。”于是，上課時我給學生出這樣一個命題：“甲說他什么都可以做到。”讓學生判斷真假。學生有的說是真命題，有的說是假命題，爭論不休，課堂氣氛很活躍。我適時引導他們思考：甲能否制造出一個可以打敗他的對手？學生陷入沉思。隨后我引導學生進行分析。這個命題及其否定均可用邏輯上等效的推理加以證明，而其推導又無法明確指出錯誤，這種矛盾稱為悖論，我們以后在大學會學到的。雖然學生似懂非懂的，但他們被神奇而美妙的數學吸引了，個個臉上露著微笑。悖論是一個涉及數學、哲學、邏輯學等的非常廣泛的論題，在“荒誕”中蘊含著哲理，給人以啟迪，給人以奇異的美感。

四、數學在名言中的比喻所蘊含的美

數學有著自己獨一無二的語言體系，它的文化魅力已經滲透到各個知識領域。比如，不少名家學者喜歡用數學語言來喻事論理。①成功的秘訣：大科學家愛因斯坦以“A=X+Y+Z”的數學公式來揭示成功的秘訣。他說：“A 代表成功，X 代表艱苦的勞動，Y代表正確的方法，Z 代表少說空話。”②天才公式：大發明家愛迪生說：“天才=1%的靈感+99%的汗水。”③人生分數：大文豪托爾斯泰說：“一個人好比分數，他的實際才能好比分子，而他對自己的估價好比分母，分母越大，則分數的值就越小。”④大圓與小圓：古希臘哲學家芝諾對學生說：“如果用小圓代表你們所掌握的知識，用大圓代表我所掌握的知識，那么，大圓的面積是多一點，也就是說，我的知識比你們多一些。但兩圓之外的空白，都是我們的無知面，圓越大，其圓周接觸的無知面就越多。”

數學巧妙和諧的體系，嚴密而無懈可擊的說服力，以及它在解決實際問題時所表現出來的神奇力量，使得數學能夠貫穿整個人類文化。在教學過程中，要引導學生用欣賞的眼光看待數學，巧妙運用教材中的內在美，喚起學生的審美體驗，用數學美來喚起學生的求知欲望，激發他們的學習興趣，從而促進中職生早日成才。

參考文獻：

[1]易南軒.數學美拾趣[M].北京：科學出版社，2002.

[2]丘維聲.數學（基礎版）第一冊[M].北京：高等教育出版社，2002.

（浙江省鄞州職業高級中學）