例談勾股定理的應用要點

陳柏梓

【摘要】 勾股定理是初中數學的一個重要內容，它通過直角三角形的三邊關系完美地揭示了幾何與代數之間的聯系，也反映出了幾何問題用代數方式解決的學習方向. 同時，也為今后的學習打下了基礎，特別是高中階段的解析幾何，就是利用計算的方式來研究和解決相關的幾何問題.

【關鍵詞】 初中數學；勾股定理；應用要點；方法技巧

勾股定理看似簡單，就一個公式c2 = a2 + b2，很多學生在學習這個公式之后，認為自己對勾股定理已經有非常好的掌握了，但在做題中還是會出現這樣或那樣的錯誤，原因就是學生們對這個簡單的公式放松了警惕，把勾股定理的運用當成一個非常簡單的問題在處理，而有關勾股定理的運用還有很多的要點，學生們一定要掌握好每個細節，才能靈活運用好勾股定理解決問題. 下面我們來談談運用勾股定理時要注意的幾個要點.

一、分清直角邊和斜邊

直角三角形的三邊關系并不是任意的，在公式c2 = a2 + b2中，c所表示的是斜邊，a，b分別是直角三角形的兩條直角邊，也就是斜邊的平方等于兩條直角邊的平方的和. 很多學生在解決問題時沒有分清這三個字母的區別，在給圖形標上字母的時候沒有注意正確性和對應性，在實際問題中沒有認真分析不同字母所表示的是哪條邊，很容易就導致錯誤.

例1 在直角三角形中，∠A = 90°，a = 13 cm，b = 5 cm，求以c為邊長的正方形的面積.

錯解 根據c2 = a2 + b2得：c2 = 132 + 52 = 194.

所以，所求正方形的面積為194 cm2.

分析 導致這種錯誤是因為學生們在看到字母之后沒有加以分析，而直接代入到公式中進行計算，忽略了實際問題中字母所表示的具體量. 公式中的字母c是代表斜邊，但在本題中，由于條件∠A = 90°，直角所對的邊a才是斜邊，因此公式應為c2 = a2 - b2 = 132 - 52 = 144，所求正方形的面積為144 cm2.

二、明確勾股定理的適用條件

在一些三角形的三邊問題中，要使用勾股定理進行解答，首先要確保該三角形是直角三角形. 其他任意三角形并不適用勾股定理，部分學生很容易忽視這一點. 不管是不是直角三角形，看到關于邊的問題就亂用勾股定理，同樣也是錯誤的.

例2 在一個邊長為整數的△ABC中，AC = 4 cm，BC = 3 cm，且AB > AC，求第三條邊AB的長.

錯解 根據勾股定理可得：

分析 出現上面這種錯誤是因為學生們一看到關于三角形的邊長問題就想到了勾股定理，而沒有仔細分析這個三角形是否能利用勾股定理來解決，忽視了勾股定理的適用條件. 在這道題中，由于沒有說明三角形是直角三角形，那我們只能根據一般三角形的三邊關系來求出第三邊，根據“兩邊之和大于第三邊”得到，即4 < AB < 7，又因為AB的長度是一個整數，所以AB的值可以是5 cm或6 cm.

三、對不明確的三邊關系要全面考慮

在一些直角三角形中，如果題目沒有明確說明哪條邊是斜邊或哪個角是直角，那么就要仔細分析和全面考慮可能存在的情況，很多學生會忽略這一點.

例3 在一個直角三角形中，有兩條邊分別為3 cm和4 cm，那么這個三角形的周長是多少？

錯解 設三角形的斜邊為c，則c2 = a2 + b2 = 32 + 42，解得c = 5，所以三角形的周長：3 + 4 + 5 = 12（cm）.

四、對三角形的高的位置要做好分類

三角形的高可以在三角形內，也可以在三角形外，很多沒有給出圖形的一些題目，需要學生們自己畫圖，那就要注意不能只畫特殊三角形，也要考慮到一些很普通的三角形. 我們都習慣畫一些銳角三角形，比較少畫鈍角三角形，而三角形的高，我們也習慣把它畫在三角形內，就因為這樣，在解題中常常會漏掉一些情況.

綜上所述，勾股定理的使用要注意很多細節，而不只是簡簡單單地代公式，而是要對三角形的邊、角等進行深入的分析，對可能存在的情況進行分類，在平時的解題過程中就要注重培養縝密的思維和良好的審題習慣，這不僅對知識點的掌握有益處，還可以更好地提高學生們的數學素質，啟迪學生的思維.