馬爾科夫隨機過程理論在通信系統中的應用

王云鵬　裴淑麗　劉志強

摘 要 隨著科學的發展，數學在我們日常的通信體系中有著越來越重的地位，因為在科學研究中，只有借助于數學才能精確地描述一個現象的不同量之間的關系，從最簡單的加減乘除，到復雜的建模思想等等。其中，隨機過程作為數學的一個重要分支，更是在整個通信過程中發揮著不可小覷的作用。

關鍵詞 隨機過程 通信系統 應用

中圖分類號：TN91 文獻標識碼：A

1馬爾科夫隨機過程

在當代科學與社會的廣闊天地里，人們都可以看到一種叫作隨機過程的數學模型，從銀河亮度的起伏到星系空間的物質分布、從分子的布朗運動到原子的蛻變過程，從化學反應動力學到電話通訊理論、從謠言的傳播到傳染病的流行、從市場預測到密碼破譯，隨機過程理論及其應用幾乎無所不在。早在20世紀初，%：.%：.馬爾可夫研究過一列有特定相依性的隨機變量，后人稱之為馬爾可夫鏈。1931年，%：.%@.柯爾莫哥洛夫發表了《概率論的解析方法》；三年后，%：.%？辛欽發表了《平穩過程的相關理論》。這兩篇重要論文為馬爾可夫過程與平穩過程奠定了理論基礎。1953年，J.L.杜布的名著《隨機過程論》問世，它系統且嚴格地敘述了隨機過程的基本理論。1951年伊藤清建立了關于布朗運動的隨機微分方程的理論，為研究馬爾可夫過程開辟了新的道路；60年代，法國學派基于馬爾可夫過程和位勢理論中的一些思想與結果，在相當大的程度上發展了隨機過程的一般理論，包括截口定理與過程的投影理論等，中國學者在平穩過程、馬爾可夫過程、鞅論、極限定理、隨機微分方程等方面也做出了較好的工作。

2 馬爾科夫隨機過程與通信系統

通信就是互通信息。現代意義上的通信指的是電信，國際上稱為遠程通信，即通過電信號或光信號傳送信息。眾所周知，通信系統中用于表示信息的信號不可能是單一的、確定的，而是具有不確定性和隨機性，這種具有隨機性的信號就是隨機信號。

過去對隨機現象的研究只是用一兩個隨機變量來描述，然而現在在工程技術中必須研究動態系統中的隨機現象，這需要研究隨時間變化的無窮不可數的一族隨機變量，即隨機過程。通信系統中存在各種干擾和噪聲，這些干擾和噪聲的波形更是隨機的、不可預測的，我們稱之為隨機干擾和隨機噪聲。當然，盡管隨機信號和隨機噪聲是不可預測的、隨機的，但它們還是具有一定的統計規律性。研究隨機信號和隨機噪聲統計規律性的數學工具就是隨機過程理論，隨機過程是隨機信號和隨機噪聲的數學模型。

隨機過程是與時間有關的隨機變量，在確定的時刻它是隨機變量。隨機過程的具體取值稱作樣函數，它是時間函數，其所有實現構成的集合稱作隨機過程的樣函數空間（%R），所有樣函數及其統計特性即構成了隨機過程，以大寫字母X（t）、Y（t）等表示隨機過程，以對應的小寫字母x（t）、y（t）等表示隨機過程的樣本函數。

在實際的通信過程中，不僅我們用到的信號與噪聲是隨機信號，而且當我們為無線信道進行數學建模時也必須用到隨機過程。

3馬爾科夫隨機過程在通信中應用

許多服務系統，如電話通信，船舶裝卸，機器損修，病人候診，紅綠燈交換，存貨控制，水庫調度，購貨排隊，等等，都可用一類概率模型來描述。這類概率模型涉及的過程叫排隊過程，它是點過程的特例。排隊過程一般不是馬爾可夫型的。當把顧客到達和服務所需時間的統計規律研究清楚后，就可以合理安排服務點。

在通信、雷達探測、地震探測等領域中，都有傳遞信號與接收信號的問題。傳遞信號時會受到噪聲的干擾，為了準確地傳遞和接收信號，就要把干擾的性質分析清楚，然后采取辦法消除干擾。這是信息論的主要目的。噪聲本身是隨機的，所以概率論是信息論研究中必不可少的工具。信息論中的濾波問題就是研究在接收信號時如何最大限度地消除噪聲的干擾，而編碼問題則是研究采取什么樣的手段發射信號，能最大限度地抵抗干擾。在空間科學和工業生產的自動化技術中需要用到信息論和控制理論，而研究帶隨機干擾的控制問題，也要用到馬爾可夫隨機過程。

在通信系統中，編碼過程分為信源編碼和信道編碼兩種，信源編碼是為了壓縮信息之間的相關性，最大限度提高傳信率，目的在于提高通信效率；而信道編碼則相反，通過引入相關性，使信息具有一定的糾錯和檢錯的能力從而提高傳輸信息的可靠性。

對于信源編碼，實現降低相關性有兩種途徑，一種是信源概率分布均勻化，另一種是信源獨立化。從概率論和隨機過程的角度來說，概率分布均勻化就是每個事件發生的概率大致相同，這樣就會使每個信源攜帶的信息量基本相同，那么不確定性就達到最大，即傳輸過程中產生的信息量就最大；類似的信源獨立化是通過對信源進行擴展達到的，通過信源的高次擴展，是擴展信源中每個符號出現的概率大致相同，這樣也實現信息量最大化。

對于信道編碼，由于信道中存在隨機噪聲，或者隨機干擾，使得經過信道傳輸后所接收到的碼元與發送碼元之間存在差異，這種差異就是傳輸產生的差錯。一般，信道噪聲，干擾越大，碼元產生差錯的概率也就越大。

所以信道編碼的任務就是構造出以最小冗余度代價換取最大抗干擾性能的碼字組合。從信道編碼的構造方法看，其基本思路是根據一定的規律在待發送的信息碼中加入一些人為多余的碼字。這些碼字的引入時信息之間具有相關性，雖然降低了信息所能攜帶的信息量，但是通過相關性可以克服由于隨機噪聲引入的誤碼情況。

參考文獻

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[2] 工則.馬爾科夫轉移矩陣法[J].科技咨詢導報，2005（02）.