關于高三數學復習例題教學的幾點認識

杜振義

【摘要】 高三數學復習主要是通過例題的教學來加強學生對數學知識的掌握和能力的提高，那么選擇怎樣的例題才能更有效地帶領學生達到事半功倍的復習鞏固效果，本文從幾個方面談談個人的認識.

【關鍵詞】 高三數學；例題；教學

高中數學知識的學習是一個不斷深化、擴展的過程，一個數學對象在學生的不同學習階段有著不同的學習要求.復習課上的例題的分析、探索、講解都給學生提供某些示范，如解題的規范性、思想方法的運用等，極大影響著學生的學習方式.例題教學是數學復習的主要手段，直接影響著復習效果，選擇好的例題，并充分利用好例題，讓學生在探究學習中得到極大的提高是我們每一位教師的追求.

一、例題教學要加強數學思想滲透

思想是數學的核心，沒有了思想，數學可能就是一些公式、公理等的簡單集合，對于學生收獲的只是一些機械的記憶和解題上的技巧，而沒有能力的提高.表現在解題中，學生只是就題論題，看了很多例題但不會解題，更不能觸類旁通、舉一反三，就是舉三也不能反一這種現象.相反，例題教學若有了思想性，引導學生從思想方法的高度來把握題目，對問題的理解才會深入于心，持續的例題教學貫穿整個高三數學教學的始終，例題的思想性就會反復影響著學生，逐步地形成良好的思維品格，對于一個個問題學生才會思如泉涌、駕輕就熟.例如 “已知x>0，y>0， 1 x + 4 y =1，求x+4y的最小值”這個問題大多出現在基本不等式教學課堂上，常要求學生利用基本不等式進行套用，加強了學生對公式運用的能力，強調了解題的技巧；如果在這一題講解中能注入函數思想，把二元函數化成一元函數，學生就會在學習中體會數學的思想性，從而牢牢掌握這類習題的通用解題方法.

數學的思想會在例題教學中得以體現，我們需在每一道精心編擬的數學例題中注入思想性，不斷滲透，適時講解，從思想上找到共性通法，淡化特殊技巧，避免在高三復習即將結束時去講一兩個思想專題就了事的做法.

二、靈活運用好“一題多解、多變”“多題一解”多種形式，激活學生思維

高三數學復習是要求通過少而精的習題教學，讓學生在知識、能力上得到訓練與提高；復習中如果對一個問題能從多角度進行分析、解決，學生就會在對同一數學問題的多角度的審視中產生不同思維活動，也會給他們的學習注入新的興趣點，讓他們在不同的解法中有所想、有所感，他們會比較哪種解法更好，好在哪里？哪種解法更具有一般性？哪種解法帶有一定的技巧性？在注重通法、淡化技巧的學習中更應要掌握哪種解法？這些解法的理論基礎是什么？是如何想到的？從而鞏固學生的多項知識，加深對數學的理解.

適當的時候進行一題多變，改變其中部分條件或數字，可能會形成一個全新的數學問題，由于思維的習慣學生對這類形似的問題很難很快適應過來，他們對待問題要么生硬地照搬，要么無所適從，這時對學生加以引導，讓他們發現各種類似問題的聯系和差異，掌握和消化多個數學問題，掌握解題一般規律與方法，觸類旁通，提高學生的應變能力，同時也能給課堂注入新的活力.

進行“一題多解或多變”，要充分地照顧到學生能力水平，在能力范圍進行，否則由于太過發散、靈活，重點不夠突出，學生可能會感到無所適從，加重學生學習負擔，又淡化了某種思想應有的作用.如cosα+2sinα=- 5 ，求tanα.（2008年浙江省高考理第8題） 有教師在一節課里一口氣給出了7種解法：可與cos2α+sin2α=1組成方程組解；有平方后右邊改為5（cos2α+sin2α=1）再改tanα；有構造函數f（x）=cosx+2sinx討論最值的；有構造點P（cosα，sinα），Q - 1 5 ，- 2 5 后求得PQ=0，所以PQ重合；觀察 - 1 5 2+ - 2 5 2=1， cos2α+sin2α=1進行類比求解等，這些多種解法包括了豐富的數學思想方法，對于基礎不是太好的學生，思維能力可能跟不上，有時學生別說能想到，就是看了也會眼花，此時如果解法上又不能突出重點，他們的能力培養就更難以落實了.

把看似不同的例題解法進行歸納，尋求統一的解法，說是我們常說的“多題一解”，進行多題一解就是要去除問題的不同表象，尋求其中所蘊含的數學思想，在思想上進行統一才有方法上的統一，幫助學生積累數學思想與數學方法，針對高考題的特點，科學、適當地加以訓練，就一定能有效地避免學生投入到無窮的題海中.如下列幾個問題：

①判斷函數f（x）=2ax2-x-1的零點個數.

②方程2ax2-x-1=0在（0，1）內恰有一解，求a的取值范圍.

③在（0，1）存在x，使得不等式2ax2-x-1<0，求a的取值范圍.

可以進行解法上的統一，都轉化為函數f（x）=2ax2-x-1，利用函數的圖像與性質來解決，學生會在這種不同形式同一思想中找到解決問題的思路，認識到這些數學思想才是解決問題的關鍵.

三、加強思維的邏輯性，實現數學能力全面提高

數學能力的培養是教育教學的一個目標，受到了廣大教師的重視.對于運算能力作為數學的基本能力，它不僅包括數的運算，還包括代數式和一些超越式（指數式、對數式等）的恒等變形，以及大量的幾何量的計算等，重要性我們都能認識到，以至于出現有教師在高三數學課堂上愿意花費幾分鐘或更長時間和學生一起解二元二次方程組現象；在對數列求和時，也會設計多組練習，加強錯位相減法、裂項法、倒序求和法等多種變形方法的訓練.也能注意高考對空間想象等基本的數學能力等考查，復習中加強學生畫圖讀圖訓練，讓學生從圖形中基本元素及其相互關系構建思維的框架等.但邏輯思維 能力由于有更高的抽象度和難操作性等特點，很多時候被我們所忽視或做淡化處理，沒能認識它的重要性.而在高考數學中，要求學生會對問題或資料進行觀察、比較、分析、綜合、抽象與概括，會用演繹、歸納和類比進行推斷，能準確、清晰、有條理地進行表述.這些是對邏輯思維能力提出了三個層次的要求，也體現了邏輯思維能力是數學能力的核心.我們要重視這種能力的培養，要在例題教學中對每一個數學問題的解決，都要求考生進行必要的觀察、思考，正確領會題意，明確解題的目標和方向，采用適當的步驟，合乎邏輯地進行推理和演算，實現解題目標.有時有必要精選邏輯性強的例題加強學生的認識，如：

（1）已知數列{an}的前n項和an=n2（n為正整數），說明{an}不是等差數列.

（2）試證明 f（x）=x3-ax-1圖像不可能總在y=a上方.

對于這些問題學生容易產生推理上的錯誤，或題意不能領會而難以著手.如果在例題教學中讓學生認識到（1）“當n≥2時，an-an-1=1，則{an}是等差數列”這是一個任意性命題，其否定是“存在n∈ N *，an-an-1不是同一常數，則{an}不是等差數列”，然后用2a2≠a1+a3就很容易說明數列不是等差數列.對于（2）讓學生理解只要說明有函數值小于a就可以說明，然后尋求一個特定值如f（-1）=a-2就能解決問題.

四、把數學知識點教學滲透到例題教學中

高三數學復習開始為了數學知識網絡完整性，常進行對基礎知識的全面復習；為了節省時間有的教師復習課上習慣把知識點（如定義、公式、結論或定理等）進行系統的羅列，有時為了強調某個知識點的重要性，常讓學生單獨去用時記憶，去默寫.這樣幾次重復學生對這個知識點都能很好地記住，知識點是記住了，會用嗎？對于單調性定義有下列例子：

（1）定義在（-1，1）上的函數f（x）=-5x+sinx，如果f（1-a）+f（1-a2）>0，求a的取值范圍.

（2）函數f（x）= x[]1+|x| （x∈ R ），命題若x1≠x2，則一定有f（x1）≠f（x2）對嗎？

學生能把這兩個問題與單調性聯系起來嗎？這種能力上的考查是靠記憶學生是無法完成的.這種簡單地對知識點的再現，思維量不足，學生參與積極性也不高，復習效果難以保證.同時這種方式使用多了，有些學生也習慣了這種學習方法，把自己的自主學習變成了簡單地記憶了.

每個數學對象都有一個發生、發展和形成的過程，這些過程中常蘊含著一定數學思想和方法，復習時間緊，不可能把這些過程一一再現，但我們可以把知識點的數學思想和方法進行提煉，滲透到具體例題教學中，要讓學生明白復習的知識在問題中如何表現的，又是如何用來解決問題的，在解決問題過程中不斷地進行鞏固和加強.

【參考文獻】

[1]敬仕龍.新課標下高中數學習題教學的思考[J].教育教學論壇，2011（30）.

[2]張勇.新課程理念下高中數學習題教學的思考[J].中學數學雜志，2006（5）.