數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用分析

王艷紅

【摘要】 隨著教學(xué)改革的不斷深入，加強(qiáng)大學(xué)生數(shù)學(xué)思想認(rèn)識(shí)，提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，已經(jīng)逐漸成為各大高校的主要教學(xué)任務(wù)，也是各大高校數(shù)學(xué)老師較為關(guān)心的問題.而數(shù)形結(jié)合就是一種非常有效的教學(xué)方法，通過在數(shù)學(xué)解題過程中的應(yīng)用，可以加強(qiáng)對(duì)概念、定理、題目的了解，并且將抽象內(nèi)容轉(zhuǎn)變?yōu)榫呦螅行Ы档蛯W(xué)習(xí)難度，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)效果的提高.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)形結(jié)合；數(shù)學(xué)解題；應(yīng)用

數(shù)學(xué)是一門具有高度抽象性、嚴(yán)密邏輯性的學(xué)科，在各高校開展數(shù)學(xué)教學(xué)的時(shí)候，一定要利用簡練的表達(dá)方式，突破教學(xué)難關(guān)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)成績的提高.針對(duì)這一情況而言，可以加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，將復(fù)雜問題簡單化，提高學(xué)生分析問題與解決問題的能力.本文主要對(duì)數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用進(jìn)行分析，促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提高.

一、轉(zhuǎn)變抽象概念

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，存在著很多的抽象概念，在進(jìn)行教學(xué)的時(shí)候，存在著很大的難度，并且一些主要概念的抽象程度也非常高，針對(duì)這些概念，學(xué)生在進(jìn)行理解的時(shí)候，存在著一定的困難.在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，如果只重視數(shù)學(xué)知識(shí)的講解與演繹，沒有重視教學(xué)方法的運(yùn)用，顯然是不適合學(xué)生學(xué)習(xí)的，在一定程度上，增加了學(xué)生理解的難度，經(jīng)常感到一頭霧水，進(jìn)而降低了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性，無法取得良好的教學(xué)效果.

根據(jù)相關(guān)學(xué)習(xí)心理學(xué)研究成果表明，數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生與發(fā)展均是對(duì)實(shí)踐的一種感知，所以，加強(qiáng)對(duì)這些概念的還原，可以幫助學(xué)生進(jìn)行更好的學(xué)習(xí)，加深對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，實(shí)現(xiàn)預(yù)期的教學(xué)效果.而數(shù)形結(jié)合就是有效還原數(shù)學(xué)概念的一種教學(xué)方法，并且通過數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用，可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)與掌握，進(jìn)而提高自身的數(shù)學(xué)水平.例如，在高等數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)、微分、定積分、二重積分等概念的學(xué)習(xí)，可以加強(qiáng)對(duì)幾何意義的分析，在課堂教學(xué)過程中，進(jìn)行一定的引入，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣與積極性，進(jìn)而提高學(xué)生的解題能力.

二、定理教學(xué)直觀化

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合不僅可以幫助學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行理解，還可以讓學(xué)生對(duì)定理內(nèi)容進(jìn)行深入的理解，從而明確定理證明的思路.比如，在學(xué)習(xí)“積分中值定理”這一內(nèi)容的時(shí)候，如果函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，n]上連續(xù)，那么至少存在一點(diǎn)θ∈[m，n]，使∫mnf（x）dx=f（θ）（n-m）.此定理推導(dǎo)對(duì)學(xué)生而言，存在著一定的難度，主要原因就是其太過抽象，再加上學(xué)生素質(zhì)參差不齊，所以在教學(xué)過程中，一定要利用數(shù)形結(jié)合的思想，對(duì)這一定理進(jìn)行解釋，讓學(xué)生可以進(jìn)行充分的理解.如圖所示.

如圖，學(xué)生可以直觀理解定理幾何意義：如果f（x）在區(qū)間[m，n]上是非負(fù)連續(xù)，那么就可以得到y(tǒng)=f（x）在區(qū)間[m，n]上的曲邊梯形面積=f（θ）[m，n]，也就是y=f（x）在區(qū)間[m，n]上的曲邊梯形是以[m，n]為底，以f（θ）為高的矩形面積.通過圖示，學(xué)生可以更快地抓住要點(diǎn)，理解y=f（x）在區(qū)間[m，n]上的曲邊梯形面積和以f（θ）為長，[m，n]為寬的長方形面積的關(guān)系.

三、簡化計(jì)算過程

數(shù)形結(jié)合不僅可以將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w化，還可以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)邏輯推理的簡單化.在實(shí)際教學(xué)過程中，如果只是重視數(shù)的教學(xué)，加強(qiáng)對(duì)煩瑣問題的解決，可能會(huì)陷入困境，無法有效解決問題.此時(shí)，一定要加強(qiáng)幾何意義的重視，在數(shù)學(xué)教學(xué)中充分利用幾何意義，實(shí)現(xiàn)問題的有效解決.在充分了解問題條件的情況下，根據(jù)其和結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系，分析數(shù)式特征，并且明確數(shù)學(xué)問題的幾何意義，利用數(shù)量與圖形這兩個(gè)元素解決實(shí)際問題，提高數(shù)學(xué)教學(xué)效果.

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，積分求法是一種較難的教學(xué)內(nèi)容，特別是三角換元法，經(jīng)常讓學(xué)生無所適從，無法達(dá)到預(yù)期的教學(xué)效果.這樣長此以往，也就會(huì)打消學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣與積極性.為了有效避免發(fā)生此類現(xiàn)象，在進(jìn)行解題的時(shí)候，一定要結(jié)合題設(shè)畫出相應(yīng)的幾何圖形，進(jìn)而對(duì)其求法概念進(jìn)行深入的理解，并且在教學(xué)過程中，通過直觀圖形的利用，可以有效啟發(fā)學(xué)生的思維，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析，進(jìn)而解決實(shí)際問題.比如，在求積分I=∫1-1 x2+2sinx 1-x2 dx的時(shí)候，可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對(duì)稱轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換之后的形式為I=2∫10 x2 1-x2 dx.這時(shí)再啟發(fā)學(xué)生，利用三角換元法進(jìn)行解決，之后設(shè)x=sint.定積分∫10 1-x2 dx幾何意義就是x2+y2=1的圓與坐標(biāo)系中第一象限和縱軸、橫軸相交點(diǎn)構(gòu)成的平面圖形面積，進(jìn)而可以知道∫10 1-x2 dx= π[]4 ，通過這樣的簡化，就可以有效解決這一問題，計(jì)算得出其結(jié)果為 π[]2 .

結(jié)束語

總而言之，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，為了有效提高學(xué)生的解題能力，一定要加強(qiáng)多樣化教學(xué)方法的運(yùn)用，促進(jìn)課堂教學(xué)效率的提高.其中數(shù)形結(jié)合是一種非常有效的教學(xué)方法，其可以加強(qiáng)抽象知識(shí)的轉(zhuǎn)化，使其更加具體化，讓學(xué)生可以更加直觀、形象地理解數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)預(yù)期的教學(xué)效果.

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